第五節(jié) 條件概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計主講：秦茂玲手機(jī)mail：ml.qin@163.com2/1/20231一、條件概率二、關(guān)于條件概率的三個定理：乘法定理全概率公式與貝葉斯公式三、小結(jié)第五節(jié)條件概率2/1/20232第五節(jié)條件概率一、條件概率的定義

直觀上，用來表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的可能性大小的數(shù)，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。記為P(B|A).例設(shè)有100件的某一批產(chǎn)品，其中有5件不合格品，而5件產(chǎn)品中又有了3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)任意在100件產(chǎn)品中抽取一件，求

1）抽得的是廢品的概率；

2）已知抽得的是不合格品,它是廢品的概率。2/1/20233解：令B表示“抽得的是廢品”這一事件，A表示“抽得的是不合格品”這一事件按古典概率計算易得：由此看到P（B）≠P（B|A）

本例中條件概率P（B|A）是根據(jù)條件概率的直觀意義計算出來的，但一般地，條件概率如何定義呢？

通過簡單的運(yùn)算得：

2/1/20234上述關(guān)系具有普遍意義：(1)從古典概率看：(2)從頻率的穩(wěn)定性上看：設(shè)實(shí)驗(yàn)E做了n次，令：nA,nB,nAB分別表示事件A,B及AB在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，那么nAB/nA表示在A發(fā)生的那些結(jié)果中，B又出現(xiàn)的頻率，即：已知A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的條件頻率fn(B|A)。

如果n足夠大，

fn(AB)接近P(AB),fn(A)接近P(A),則nAB/nA接近P(B|A),因此，在統(tǒng)計概率中上式亦成立。2/1/202351．定義:

設(shè)，A，B是兩事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.注

（1）若P(B)>0，同樣可定義（2）條件概率P（?|A）滿足概率定義的三條公理，即

1.對于每一事件B，有P（B/A）≥0;2/1/20236

2.P（|A）=1

3.設(shè)B1，B2……兩兩不相容，則有2/1/20237

P（Φ|A）=0P（B|A）=1?P（B|A）

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)?P(B1B2|A)等等概率所證明的重要結(jié)果都適用于條件概率，例如：(3)P（B）與條件概率P（B|A）的關(guān)系：

P(B)>P(B|A)，P(B)<P(B|A),

P(B)=P(B|A)這三種關(guān)系都有可能成立。后一種情況就是以后討論的獨(dú)立性。2/1/202382．計算

一般有兩種方法：

(1)由條件概率定義：P(B|A)=P(AB)/P(A)

（在原樣本空間中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(B|A)=NAB/NA

（在壓縮后的樣本空間中考慮）

2/1/20239例1：100件產(chǎn)品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件廢品。在100件中任意抽一件。

求（1）抽得是廢品B的概率;

（2）已知抽得的是不合格品A，它是廢品

的概率P(B|A)。2/1/202310例2

一次擲10顆色子，已知至少出現(xiàn)了一個1點(diǎn)，求至少出現(xiàn)兩個1點(diǎn)的概率。解設(shè)A:擲10顆色子，至少出現(xiàn)一個1點(diǎn)，

B:擲10顆色子，至少出現(xiàn)兩個1點(diǎn)，

C:擲10顆色子，恰出現(xiàn)一個1點(diǎn)。則：B=A-C,且AB,AC.由古典概型：又P(B)=P(A)-P(C),于是所求概率為2/1/2023111.乘法公式

由條件概率定義，若P(B)>0，則P(AB)=P(A|B)P(B)

若P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)

上述公式可推廣到任意有窮多個事件時的情形，例如，設(shè)A，B，C為事件，且P(AB)>0，則

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

這里，注意到由假設(shè)P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，設(shè)A1,A2,…,An為n個事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，則有:P(A1A2…An)=

P(A1)?P(A2|A1)…?P(An-1|A1A2…An-2)?P(An|A1A2…An-1)二、關(guān)于條件概率的三個定理2/1/202312例1.盒中5個白球，2個黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。解：設(shè)Ai表示第i次取到黑球在利用條件概率求無條件P時，條件P往往用古典概型計算。2/1/202313例2.設(shè)某同學(xué)眼鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率。

解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”。

因?yàn)锽=ā1ā2ā3

，故有

P(B)=P(ā1ā2ā3)=P(ā1)P(ā2|ā1)P(ā3|ā1ā2)

=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/2002/1/202314

法二，按題意B=A1∪ā1A2∪ā1ā2A3

而A1，ā1A2，ā1ā2A3

是兩兩互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(ā1A2)+P(ā1ā2A3)2/1/202315例3:設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。解:以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到紅球”，則ā3，ā4

分別表示事件第三、四次取到白球。則所求概率為：

P(A1A2ā3ā4)=P(ā4|A1A2ā3)P(ā3|A1A2)P(A2|A1)P(A1)

2/1/202316

例3’

一袋中裝有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加進(jìn)c只與取到的球同色的球，如此連續(xù)取三次，試求三次均為黑球的概率．解

設(shè)A={三次取出的均為黑球}，Ai={第i次取出的是黑球}，i=1,2,3，則有A=A1A2A3．由題意得故上述概率顯然滿足不等式P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2).此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.2/1/202317這說明當(dāng)黑球越來越多時，黑球被抽到的可能性也就越來越大，這猶如某種傳染病在某地流行時，如不及時控制，則波及范圍必將越來越大；地震也是如此，若某地頻繁地發(fā)生地震，從而被認(rèn)為再次爆發(fā)地震的可能性就比較大．所以，卜里耶模型常常被用作描述傳染病傳播或地震發(fā)生的數(shù)學(xué)模型．2/1/202318

將復(fù)雜問題適當(dāng)?shù)姆纸鉃槿舾珊唵螁栴}，從而逐一解決，是常用的工作方法。全概率公式就是這種方法在概率論上的體現(xiàn)。2/1/202319先介紹樣本空間的劃分的定義。定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=S，

則稱B1，B2，…,Bn為樣本空間S的一個劃分。

例如，設(shè)試驗(yàn)E為“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。它的樣本空間為={1，2，3，4，5，6}。E的一組事件B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是的一個劃分，而事件組C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是S的劃分。任意試驗(yàn)的基本事件組構(gòu)成樣本空間的一個劃分。2/1/202320

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…Bn為S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)則

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

稱為全概率公式。

證：因?yàn)锳=AS=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn由假設(shè)P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且

(ABi)∩(ABj

)=，i≠j，于是

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)2.全概率公式2/1/202321圖示化整為零各個擊破

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…Bn為S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)則

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

稱為全概率公式。

2.全概率公式2/1/202322說明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.2/1/202323例一箱同類型的產(chǎn)品,由三家工廠生產(chǎn),其中1/2由甲廠生產(chǎn),乙丙廠各生產(chǎn)1/4,又甲乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品均有2%的次品率,丙廠有4%的次品率,求任取一產(chǎn)品是次品的概率P(A);任取一產(chǎn)品是次品且恰是由甲廠生產(chǎn)的概率P(AB1);任取一產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品,問它是由甲廠生產(chǎn)的概率P(B1|A)

甲B1乙B2丙B3解:S={箱中的全部產(chǎn)品}A:任取一產(chǎn)品是次品,Bi:取到的產(chǎn)品分別是由甲,乙,丙廠生產(chǎn)的.由題意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,2/1/202324P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,3.B1∪B2∪B3=S由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.025.2)由乘法公式

P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=0.01.3)P(B1|A)=P(B1A)/P(A),

由上面計算為0.4.

2/1/202325小結(jié):利用全概率公式求P(A)時,關(guān)鍵是1)找到S的一個劃分B1，B2，…，Bn,A總隨著Bi出現(xiàn),而

P(A|Bi)及P(Bi)容易求出.2)這個公式還可以從另外一個角度去理解，把Bi看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的一種可能途徑。對于不同的途徑，A發(fā)生的概率即條件概率P（A/Bi）各不同，而采取哪個途徑卻是隨機(jī)的。直觀上易理解，在這種機(jī)制下，A的綜合概率P（A）應(yīng)在最小的P（A/Bi）和最大的P（A/Bi）之間，它也不一定是所有P（A/Bi）的算術(shù)平均，因?yàn)楦魍緩奖皇褂玫臋C(jī)會P（Bi）各不同，正確的答案就是諸P（A/Bi）I=1,2,…n為權(quán)的加權(quán)平均值。

2/1/202326

3)全概率公式還可以從另外一個角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A結(jié)果P（Bi）全概公式P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加權(quán)平均值2/1/202327例盒中12個乒乓球，9個沒用過，第一次比賽從盒中任取3個球，用后放回，第二次比賽再從盒中任取3個球，求：第二次比賽時所取的3個球都是沒用過的概率。解：設(shè)A:第二次比賽時所取的3個球都是沒用過的;

Bi:第一次比賽時所取的3個球恰有i個是沒用過的。則A的發(fā)生依賴于Bi的情況，Bi構(gòu)成了任取3個球這一試驗(yàn)的樣本空間的一個劃分。2/1/202328于是2/1/202329定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

i=1，2，…，n.稱為貝葉斯（Bayes）公式。證：由條件概率的定義及全概率公式有i=1，2，…，n3.貝葉斯公式2/1/202330例1:某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠次品率及提供晶體管的份額

10.020.15

20.010.80

30.030.05

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志（1）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管求它是次品的概率。（2）在倉庫中隨機(jī)地取一只晶體管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少。

2/1/202331解:設(shè)A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”，易知，B1，B2，B3是樣本空間S的一個劃分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03（1）由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

=0.0125（2）由貝葉斯公式

P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.122/1/202332例2:對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？

解:設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率為P(B|A)，由貝葉斯公式先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率2/1/202333例3:據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，若記“該地區(qū)居民患肝癌”為事件B1并記B2=B1,則

P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996

現(xiàn)用甲胎蛋白法檢查肝癌，若呈陰性，表明不患肝癌，若呈陽性，表明患肝癌，由于技術(shù)和操作不完善以及種種特殊原因，是肝癌者還未必檢出陽性，不是患者也有可能檢出呈陽性，據(jù)多次實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計這二者錯誤發(fā)生的概率為：

P（A|B1）=0.99,P（A|B2