2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測：專題01 三角函數(shù)的圖象與綜合應(yīng)用（精講精練）（解析版）

專題01三角函數(shù)的圖象與綜合應(yīng)用【命題規(guī)律】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：1、三角函數(shù)的圖象，涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2、利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.3、三角恒等變換的求值、化簡是高考命題的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合在一起綜合考查，如果單獨(dú)命題，多用選擇、填空題中呈現(xiàn)，難度較低；如果三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合求解最值、范圍問題，多以解答題為主，中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：齊次化模型核心考點(diǎn)二：輔助角與最值問題核心考點(diǎn)三：整體代換與二次函數(shù)模型核心考點(diǎn)四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型核心考點(diǎn)五：的取值與范圍問題核心考點(diǎn)六：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)【真題回歸】1．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A2．（2022·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．3．（2022·全國·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.4．（2022·全國·高考真題（文））將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.5．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．6．（2022·全國·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【解析】因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：【方法技巧與總結(jié)】1、三角函數(shù)圖象的變換（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：（2）平移變換函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；（3）伸縮變換①沿軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標(biāo)不變）；②沿軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標(biāo)不變）．（4）注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移．2、三角函數(shù)的單調(diào)性（1）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；的單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）三角函數(shù)的單調(diào)性有時(shí)也要結(jié)合具體的函數(shù)圖象如結(jié)合，，，的圖象進(jìn)行判斷會很快得到正確答案．3、求三角函數(shù)最值的基本思路（1）將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.（2）將問題化為關(guān)于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.4、對稱性及周期性常用結(jié)論（1）對稱與周期的關(guān)系正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個(gè)對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個(gè)周期；正切曲線相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離是半個(gè)周期.（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.若為奇函數(shù)，則有．5、已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法（1）子集法：求出原函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過個(gè)周期列不等式（組）求解.【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：齊次化模型【規(guī)律方法】齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：（一次顯型齊次化）或者（二次隱型齊次化）這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個(gè)思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到.【典型例題】例1．（2022·廣東揭陽·高三階段練習(xí)）若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，，，故選：C.例2．（2022·江蘇省丹陽高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則,故選:D．例3．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，則則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，又傾斜角為所以則.故選：C.例4．（2022·湖北·襄陽五中高三開學(xué)考試）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，，所以．故選:C．核心考點(diǎn)二：輔助角與最值問題【規(guī)律方法】第一類：一次輔助角:=．（其中）第二類：二次輔助角【典型例題】例5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，（其中，）當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，得到，.故選：A.例6．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習(xí)（理））若，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.即函數(shù)的值域?yàn)?故選：A例7．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習(xí)（文））若，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故的值域?yàn)?，故選：A.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，，，因?yàn)?，則所以，因?yàn)椋?，一個(gè)為的最大值，一個(gè)為最小值，則，或解得，或所以（i），或（ii）對于（i），當(dāng)時(shí)，的最小值是，對于（ii），當(dāng)時(shí)，的最小值是，綜上，的最小值是，故選：D例9．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則最小值是______．【答案】【解析】，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，所以，即，則點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑大于等于的同心圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小值為，所以最小值時(shí).故答案為：.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】，設(shè)，可得，可得，其中，，因?yàn)椋?，，解?因此，的最小值為.故答案為：.例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為____.【答案】【解析】因?yàn)椋粤?，解得，所?因?yàn)?，所以的最小值?核心考點(diǎn)三：整體代換與二次函數(shù)模型【規(guī)律方法】三角函數(shù)和二次函數(shù)交匯也是一種常見題型，我們將其分為三類，第一類是最簡單的，就是，與之間的二次函數(shù)關(guān)系，第二類則有一點(diǎn)隱藏，就是與之間的關(guān)系，第三類則是與之間的關(guān)系.【典型例題】例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為___________．【答案】.【解析】，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為．例13．（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)的最大值為________.【答案】【解析】===，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，y取最大值，最大時(shí)為.【考點(diǎn)】二倍角公式和二次函數(shù)的性質(zhì).例14．（2022·全國·高考真題（理））函數(shù)的最大值是_________.【答案】【解析】令，則，由兩邊平方得則，配方得，當(dāng)時(shí)取最大值故答案為例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為___________.【答案】【解析】設(shè)，則，，，∴時(shí)，，即．故答案為：．例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)的最小值是A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因?yàn)槭侨切蔚淖钚?nèi)角，所以，設(shè)，則，原式，在上遞減，，故選B.核心考點(diǎn)四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型【規(guī)律方法】關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：，【典型例題】例17．（2022·安徽·銅陵一中高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的最小值為C． D．在上有解【答案】D【解析】，是以為周期的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，∴函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值為1，故AB錯(cuò)誤，由，故C錯(cuò)誤；由，∴在上有解，故D正確.故選：D.例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，給出下述四個(gè)結(jié)論:①是偶函數(shù);

②在上為減函數(shù);③在上為增函數(shù);④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【答案】D【解析】對于①，易得的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故正確；對于②和③，因?yàn)?，，且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，所以；?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，所以，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；故選：D例19．（2022·江蘇·泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的值域?yàn)?D．函數(shù)在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)周期，可取一個(gè)周期上研究值域，當(dāng)，，，所以，即；因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上的值域?yàn)椋蔆正確；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)可通過區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由，在圖像知由2個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，所以D錯(cuò)誤．故選:C.例20．（多選題）（2022·安徽·碭山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為C．在上單調(diào)遞減 D．在上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，觀察可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的最大值為，故B正確；函數(shù)在上先減再增再減，故C錯(cuò)誤；與x軸在上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選:BD．例21．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，綜上可知函數(shù)的最大值，故答案為：例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則①在上的最小值是1；②的最小正周期是；③直線是圖象的對稱軸；④直線與的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn).其中說法正確的是________________.【答案】①③④【解析】對于①，當(dāng)時(shí)，且，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，即，故①正確；對于②，∵，，，則：故函數(shù)的最小正周期不是，②錯(cuò)誤；對于③，若k為奇數(shù)，則；若k為偶數(shù)，則.由上可知，當(dāng)時(shí)，，所以，直線是圖象的對稱軸，③正確；對于④，因?yàn)椤撸詾楹瘮?shù)的周期.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上可知，.當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)與在上的圖象無交點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)與在上的圖象也無交點(diǎn).作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖像可知，直線與的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.例23．（2022·陜西·長安一中高一期末）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上遞增；③在上有4個(gè)零點(diǎn)；④的最大值為2.其中所有正確結(jié)論的編號__________.【答案】①④【解析】定義域?yàn)镽，，故是偶函數(shù)，①正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上遞減，②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，故時(shí)，，故在上有3個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；，，則，且存在時(shí)，，綜上：的最大值為2，④正確.故答案為：①④例24．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)函數(shù)，下述四個(gè)結(jié)論正確結(jié)論的編號是__________.①是偶函數(shù)；

②的最小正周期為；③的最小值為0；

④在上有3個(gè)零點(diǎn).【答案】①②③【解析】對①，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，故①正確；對②，因?yàn)?，最小正周期為，的最小正周期為，所以函?shù)的最小正周期為，故②正確；對③，.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取得最小值為，故③正確.對④，令，即，解得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，，解得或，所以在上有個(gè)零點(diǎn).故④錯(cuò)誤.故選：①②③核心考點(diǎn)五：的取值與范圍問題【規(guī)律方法】1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)2、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)3、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)4、已知一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．5、已知單調(diào)區(qū)間，則.【典型例題】例25．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，為的一個(gè)零點(diǎn)，為圖象的一條對稱軸，且在內(nèi)不單調(diào)，則的最小值為______.【答案】【解析】是的一個(gè)零點(diǎn)，；是的一條對稱軸，；由得：，，，；，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，在內(nèi)不單調(diào)，符合題意；的最小值為.故答案為：.例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，則，其中，所以，，解得，由，可得，因?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例27．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是_________．【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以必有一個(gè)零點(diǎn)為，所以，得，所以函數(shù)的圖象與直線在上有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，即，得，所以的最小值是2.故答案為：2例28．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三期中（理））已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)且有一個(gè)零點(diǎn)，則的最大值是______________．【答案】【解析】在內(nèi)單調(diào),則最小正周期，，,,所以,時(shí)，，由得，，而在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)且單調(diào)（因?yàn)閱握{(diào)有零點(diǎn)則只能有一個(gè)零點(diǎn)），所以且，解得，所以的最大值是．故答案為：．例29．（2022·湖南·永州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的最大值為________.【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，由正弦函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)時(shí)，區(qū)間長度不超過半個(gè)周期，即，結(jié)合，故，∵，設(shè)，，則關(guān)于單調(diào)遞增，故，而，，故最大可能取值區(qū)間是，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)于單調(diào)遞增，故只需求關(guān)于單調(diào)遞增區(qū)間即可，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，故需滿足，顯然此時(shí)只可取，則，解得，又，∴，則的最大值是.故答案為：.例30．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)的最小正周期為，的一個(gè)極值點(diǎn)為.若，則的最大值是_____.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，則且的一個(gè)極值點(diǎn)為，則即得又因?yàn)椋覄t所以當(dāng)時(shí)，故答案為:例31．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（文））將函數(shù)()的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到曲線.若關(guān)于軸對稱,則的最小值是______．【答案】【解析】設(shè)曲線所對應(yīng)的函數(shù)為,則,的圖像關(guān)于軸對稱,,,解得:,,的最小值是.故答案為:.例32．（2022·北京師大附中高三階段練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】【解析】由題意可知，所以，，因?yàn)椋瑒t，所以，，由題意可知，則，所以，，，故的最小值為.故答案為：.例33．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若是圖象的一個(gè)對稱中心，在區(qū)間上有最大值點(diǎn)無最小值點(diǎn)，且，記滿足條件的的取值集合為，則______.【答案】【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題得，則，又由在區(qū)間上有最大值無最小值，滿足，則，當(dāng)時(shí)，則，即，所以，又，故，所以，又，所以滿足條件的的取值集合.故答案為：.例34．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．【答案】17【解析】由，且在上有最大值，沒有最小值，可得，所以.由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當(dāng)時(shí)，，則的最大值為17，,故答案為：17例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，其中．且，則的最小值為________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得或，因?yàn)椋沟萌〉米钚≈?，且，所以函?shù)關(guān)于對稱，可得，所以，若時(shí)，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得；若時(shí)，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得.故答案為：.例36．（2022·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，y有最小值，即，則，所以.因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值，無最大值，所以，即，令，得.故答案為：例37．（多選題）（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由于在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，故有，同時(shí)需滿足解得,顯然和時(shí)符合條件，所以的取值范圍為．故選：AB核心考點(diǎn)六：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)【典型例題】例38．（多選題）（2022·山東德州·高三期中）已知函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①該函數(shù)的最大值為；②該函數(shù)圖象的兩條對稱軸之間的距離的最小值為；③該函數(shù)圖象關(guān)于對稱.那么下列說法正確的是（

）A．的值可唯一確定B．函數(shù)是奇函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】由題可知：，,即∴又∵該函數(shù)圖象關(guān)于對稱∴，即又∵∴當(dāng)時(shí)，∴A選項(xiàng)：此時(shí)的值可唯一確定，A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，∴此時(shí)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故C正確；D選項(xiàng)：已知，∴∴在函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AC.例39．（多選題）（2022·湖北襄陽·高三期中）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的有（

）A．直線是圖象的一條對稱軸B．在上單調(diào)遞增C．若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則D．在上的最大值為【答案】AC【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.對于A，當(dāng)時(shí)，，故直線是圖象的一條對稱軸，故A正確.對于B，由，得，則在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故C正確.對于D，由，得，則在的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.例40．（多選題）（2022·江蘇南通·高三期中）已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，．若是奇函數(shù)，，與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【答案】BC【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，對其兩邊取導(dǎo)數(shù)：則有，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)正確；令，解得：，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)C正確；又因?yàn)?，所以為常?shù)，則的圖象關(guān)于對稱，例如：當(dāng)時(shí)，令，則圖象有三個(gè)交點(diǎn)，其中和關(guān)于對稱，且，此時(shí)，，故，所以此時(shí)不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.例41．（多選題）（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）．A．B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，可得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】BC【解析】由圖象可知，，所以，.又在處有最大值，且，則有，且有.則，又，所以.所以，，.所以，.則，，A項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則在區(qū)間單調(diào)遞減，B項(xiàng)滿足；當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，C項(xiàng)正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到為一個(gè)偶函數(shù)，D項(xiàng)不正確.故選：BC.例42．（多選題）（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且對任意均有在上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．若的根為，2，，，則D．若在上恒成立，則的最大值為【答案】ACD【解析】由題可知有對稱中心，對稱軸，又在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；，又，，∴，所以為偶函數(shù)，故A正確；作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，在上有4個(gè)根，且，故C正確；由，可得，所以，所以，所以，即，的最大值為，故D正確.故選：ACD．例43．（多選題）（2022·廣東·深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖（1）所示，函數(shù)的部分圖象如圖（2）所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D．將函數(shù)的圖像向左平移可使其圖像與圖像重合【答案】BCD【解析】由圖象（1）可得，，故，故，而，故，而，故，故，由圖（2）可得，，故，故，而，故，而，故，故，對于A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，即為，故或，，故或，.令，故；令，故；故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確.對于D，函數(shù)的圖像向左平移，其圖象對應(yīng)的解析式為：.故D正確，故選：BCD.例44．（多選題）（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高三期中）將函數(shù)圖像上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為πB．圖像的一個(gè)對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的圖像與函數(shù)的圖像重合【答案】ABD【解析】由題.對于A選項(xiàng)，，故A正確.對于B選項(xiàng)，令，解得，其中.得圖像的對稱中心為，其中.當(dāng)時(shí)，得圖像的一個(gè)對稱中心為，故B正確.對于選項(xiàng)C，令，其中.解得，其中，得的單調(diào)遞增區(qū)間為，其中，故C錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，由，有，故D正確.故選：ABD例45．（多選題）（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8【答案】ABC【解析】，對A選項(xiàng)，其最小正周期，故A錯(cuò)誤，對B選項(xiàng)，令，，故其不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤，對C選項(xiàng)，，則，故，故C錯(cuò)誤，對D選項(xiàng)，，顯然其在零點(diǎn)為，共8個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABC.【新題速遞】一、單選題1．（2022·河北·張家口市第一中學(xué)高三期中）函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，則方程所有解的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以由題意可知，又因?yàn)?，又因?yàn)椋?，即，因此，由，或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：B2．（2022·北京市第十一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)則（

）A．是奇函數(shù) B．函數(shù)的最小正周期為C．曲線關(guān)于對稱 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，對于A，，，即，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，即在處取不到最值，故不關(guān)于對稱，故C錯(cuò)誤；對于D，，，則，所以，即，故D正確.故選：D.3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））已知函數(shù)（，），其圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，且對任意，都有，則在下列區(qū)間中，為單調(diào)遞減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：由的圖象可知，相鄰兩條對稱軸的距離為周期的一半，∴，∴，∴，∴，（）又∵對任意，都有，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，∴，（），∴，（）∵，∴∴，令，（），得，（），∴的單調(diào)遞減區(qū)間為（），令，的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，對于A，區(qū)間內(nèi)，上單調(diào)遞減，其余部分單調(diào)遞增，故A不正確；對于B，區(qū)間內(nèi)，上單調(diào)遞減，其余部分單調(diào)遞增，故B不正確；對于C，區(qū)間，因此區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，由區(qū)間上單調(diào)遞減可知，區(qū)間上單調(diào)遞增，故D不正確.方法二：∵對任意，都有，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，又∵圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，對照選項(xiàng)中的區(qū)間可以判斷，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).故選：C.4．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋煽傻?，，則，由題意可得，解得.故選：D.5．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，切化弦得，∴，由且，解得，，∴，∴.故選：B6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是（

）①在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在單調(diào)遞增

④的取值范圍是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，，故④正確；由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；極小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時(shí)，，若在單調(diào)遞增，則，即，，故③不正確．故選：A.7．（2022·天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高三階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的命題，正確的有（

）個(gè)（1）它的最小正周期是（2）是它的一個(gè)對稱中心（3）是它的一條對稱軸（4）它在上的值域?yàn)锳．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，所以，故（1）錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，故（2）錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故（3）正確；當(dāng)時(shí)，，，，故（4）正確.故選：C8．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)高三期中（理））已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，給出下列命題①是偶函數(shù)；②；③是奇數(shù)；④的最大值為3；其中正確的命題有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【解析】∵，，∴，，故，，，由，則，故，，，當(dāng)時(shí)，，，∵在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故③④正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；由題可知是函數(shù)的一條對稱軸，故成立，②正確.故選：C.二、多選題9．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．將該函數(shù)向左平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．在上只有一個(gè)極值點(diǎn)D．曲線關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，，所以，而，所以，，對于A，將該函數(shù)向左平移個(gè)單位得到，因?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谠谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，由得的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有一個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；對于D，曲線，時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線是的對稱軸B．點(diǎn)是的對稱中心C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所以直線不是的對稱軸，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)是的對稱中心，故B正確；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，故D正確；故選：BCD11．（2022·山東青島·高三期中）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2 B．是的圖象的一條對稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于對稱【答案】AB【解析】即A.明顯的最大值為2，當(dāng)，即時(shí)取最大值，A正確;B.當(dāng)時(shí)，，故是的圖象的一條對稱軸，B正確；Ｃ.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，的圖象不關(guān)于對稱，D錯(cuò)誤.故選：AB.12．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)（其中為正整數(shù)，），且的一條對稱軸為；若當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增且在不單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的一個(gè)對稱中心為C．函數(shù)向右平移個(gè)單位后圖象關(guān)于軸對稱D．將的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增且在不單調(diào),故的周期滿足,由于為正整數(shù)，所以，故A正確，由于是的對稱軸，所以,解得，由于，所以取則，故，所以，故B錯(cuò)誤，向右平移個(gè)單位后得到，為偶函數(shù)，為C正確，將的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到，?解得則的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確，故選：ACD三、填空題13．（2022·甘肅·蘭州市外國語高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是___________.（寫出所有正確的題號）A．該函數(shù)解析式為；B．函數(shù)的一個(gè)對稱中心為C．函數(shù)的定義域?yàn)镈．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為.【答案】ABC【解析】因?yàn)橄噜弻ΨQ軸之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期為，所以.所以.因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)，所以,所以因?yàn)?所以.所以A正確；令，所以，所以函數(shù)的對稱中心為.當(dāng)時(shí)，對稱中心為所以B正確；，令，所以，解之得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到是奇函數(shù)，所以因?yàn)榈淖钚≈禐?所以D不正確.故答案為：ABC14．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測（文））正割（Secant，sec）是三角函數(shù)的一種，正割的數(shù)學(xué)符號為sec，出自英文secant．該符號最早由數(shù)學(xué)家吉拉德在他的著作《三角學(xué)》中所用，正割與余弦互為倒數(shù)，即．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有__①函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；②函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；④為奇函數(shù)，且有最大值，無最小值．【答案】②③【解析】對于①，由題知，，顯然，故函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故①錯(cuò)誤；對于②，，，所以，，所以，函數(shù)圖像在處的切線方程為，所以，函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為，故正確；對于③，因?yàn)?，令，則恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，時(shí)，；時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故正確；對于④，函數(shù)的定義域?yàn)?，，故函?shù)為奇函數(shù)；由③知，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以，當(dāng)從趨近于時(shí)，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無最大值，當(dāng)從趨近于時(shí)，函數(shù)值趨近于，故函數(shù)無最小值，故④錯(cuò)誤.所以，正確的結(jié)論有：②③故答案為：②③15．（2022·河南·駐馬店市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若，則______．【答案】【解析】，則，則，.故答案為：.16．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在上有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，圖象可由向右平移個(gè)單位得到.根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱畫出在上的圖象如圖所示，要想保證方程在上有三個(gè)不同的實(shí)根，則，故答案為：四、解答題17．（2022·江西·豐城九中高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)