Ch1數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論

數(shù)值分析

NumericalAnalysis

1課程介紹課程名：數(shù)值分析英文名：NumericalAnalysis性質(zhì)：學(xué)位課學(xué)時(shí)：56（理論：36，實(shí)驗(yàn)：20）考核辦法：理論考試（70%）+實(shí)驗(yàn)報(bào)告（20%）+考勤（10%）基礎(chǔ)知識(shí)：微積分，線(xiàn)性代數(shù)，常微分方程，Matlab程序設(shè)計(jì)2

教材

(TextBook)

數(shù)值分析李慶揚(yáng)王能超易大義編（清華大學(xué)出版社）參考書(shū)目

(Reference)

NumericalAnalysis

(SeventhEdition)

數(shù)值分析（第七版影印版）

RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）

NumericalAnalysis

數(shù)值分析

RainerKress（Springer-Verlag

世界圖書(shū)出版公司）

數(shù)值分析李紅（華中科技大學(xué)出版社）計(jì)算方法簡(jiǎn)明教程王能超（高等教育出版社）MATLAB數(shù)值分析

周品（機(jī)械工業(yè)出版社）3課程基本內(nèi)容數(shù)值逼近插值法函數(shù)逼近與曲線(xiàn)擬合數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值代數(shù)線(xiàn)性代數(shù)問(wèn)題(方程組和特征值)非線(xiàn)性方程(組)數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法4為什么還要學(xué)習(xí)數(shù)值分析？解決工程計(jì)算問(wèn)題5

提問(wèn)：數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解6數(shù)值分析的研究?jī)?nèi)容數(shù)值分析（或計(jì)算方法）：

用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法和理論與軟件實(shí)現(xiàn)

實(shí)際問(wèn)題>數(shù)學(xué)模型>計(jì)算方法>算法程序算法（數(shù)值分析的根本任務(wù)）：

由基本運(yùn)算及運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解決問(wèn)題的步驟7科學(xué)計(jì)算計(jì)算數(shù)學(xué)計(jì)算物理學(xué)計(jì)算力學(xué)計(jì)算化學(xué)計(jì)算生物學(xué)計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)8中國(guó)古代數(shù)學(xué)-算術(shù)中國(guó)古代將數(shù)學(xué)稱(chēng)為——“算術(shù)”

“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)?！?/p>

——《孫子算經(jīng)》

“算法之術(shù)，是用智矣?！?/p>

——《周髀算經(jīng)》9現(xiàn)代數(shù)值分析數(shù)值逼近數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值代數(shù)非線(xiàn)性方程的數(shù)值解微分方程數(shù)值解10研究方法理論分析算法分析誤差分析穩(wěn)定性分析收斂性分析好的算法：面向計(jì)算機(jī)有可靠的理論分析有好的計(jì)算復(fù)雜性有數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證11第一章數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論

/*Chapter1Introduction

*/12誤差分析

從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差/*ModelingError*/

通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值

——觀測(cè)誤差/*MeasurementError*/

求近似解

——方法誤差(截?cái)嗾`差/*TruncationError*/)

計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限

——舍入誤差

/*RoundoffError*/1.誤差來(lái)源與分類(lèi)/*Source&Classification*/13大家一起想？11/e解法之一：將作Taylor展開(kāi)后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱(chēng)為截?cái)嗾`差/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起積分不等式142.誤差的傳播與積累

/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的桂林就下起狂風(fēng)暴雨了？！NYGL以上是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題

/*ill-posedproblem*/病態(tài)：自變量的微小變化就可能引起函數(shù)值的巨大變化的情況；反之稱(chēng)良態(tài)。15例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!16考察第n步的誤差造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/。迅速積累，舍入誤差遞增?？梢?jiàn)初始的小擾動(dòng)

公式二注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取17取Wejustgotlucky?18考察反推一步的誤差：以此類(lèi)推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱(chēng)為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。193.數(shù)值算法的穩(wěn)定性

/*AlgorithmStability*/

對(duì)于某個(gè)給定的算法，如果輸入數(shù)據(jù)的誤差隨著算法的運(yùn)算過(guò)程不斷增長(zhǎng)而得不到控制，那么我們就說(shuō)該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的；否則就是數(shù)值穩(wěn)定的。

誤差線(xiàn)性增長(zhǎng)，算法穩(wěn)定，不可避免；誤差指數(shù)增長(zhǎng)，算法不穩(wěn)定，必須避免。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)的誤差為，經(jīng)次運(yùn)算后，結(jié)果的誤差為。誤差線(xiàn)性增長(zhǎng)：（為與無(wú)關(guān)的常數(shù)）誤差指數(shù)增長(zhǎng)：（為與無(wú)關(guān)的常數(shù)）20問(wèn)題：對(duì)于y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x)

f(x*)

e*(x)=xx*=f’()(xx*)x*與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f’()

f’(x*)，則有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過(guò)f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。故稱(chēng)|f’(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/

或絕對(duì)條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.4.

函數(shù)的誤差估計(jì)與條件數(shù)21相對(duì)誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱(chēng)f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。相對(duì)誤差條件數(shù)>10，就認(rèn)為是病態(tài)的，越大病態(tài)越嚴(yán)重；病態(tài)問(wèn)題不是計(jì)算方法引起的，是數(shù)值問(wèn)題自身固有的，首先必須分清問(wèn)題是否病態(tài)。22多元函數(shù)計(jì)算時(shí)誤差的傳播對(duì)多元函數(shù)A=f(x1,x2,…,xn),設(shè)x1*,x2*,…,xn*是x1,x2,…,xn的近似值,則A*=f(x1*,x2*,…,xn*)是結(jié)果的近似值。其中略去高階無(wú)窮小項(xiàng)后23

四則運(yùn)算中誤差的傳播對(duì)二元函數(shù)四則運(yùn)算可視為二元函數(shù)運(yùn)算,按上式有:245.誤差與有效數(shù)字/*ErrorandSignificantDigits*/絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/其中x為精確值，x*為x的近似值。，例如：工程上常記為，稱(chēng)為絕對(duì)誤差限

/*accuracy*/，的上限記為注：e*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負(fù)。

e*>0不唯一，當(dāng)然e*越小越具有參考價(jià)值。Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.25相對(duì)誤差/*relativeerror*/x的相對(duì)誤差限

/*relativeaccuracy*/

定義為注：從的定義可見(jiàn)，實(shí)際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴(yán)格的說(shuō)法是，與是否反映了同一數(shù)量級(jí)的誤差？26有效數(shù)字/*significantdigits*/

用計(jì)數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱(chēng)為有n位有效數(shù)字，精確到。例：?jiǎn)枺河袔孜挥行?shù)字？請(qǐng)證明你的結(jié)論。證明：有位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位。43注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫(xiě)成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！有效數(shù)字定義227有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

有效數(shù)字

相對(duì)誤差限已知x*有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限有效數(shù)字已知x*的相對(duì)誤差限可寫(xiě)為則可見(jiàn)x*至少有n位有效數(shù)字。28例：為使的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿(mǎn)足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。29(1).避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：6.減少誤差的措施及注意事項(xiàng)/*Remarks*/30(2).避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出/*overflow*/(3).避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為算法1：由求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)31算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+109(4).先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為(5).選用穩(wěn)定的算法。327.數(shù)值計(jì)算中算法設(shè)計(jì)的技術(shù)例：計(jì)算的值