第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

主講人：周鑫Tel-Mail：zhxinou2011@163.com1/31/2023概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念SichuanUniversityJinjiangCollege1/31/2023本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多.社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問(wèn)題.計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢(shì).1/31/2023從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作.但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.1/31/2023到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)1/31/2023

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議.1/31/2023數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問(wèn)題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.1/31/2023

由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對(duì)象的全部信息.因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.1/31/2023概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

第一節(jié)基本概念SichuanUniversityJinjiangCollege1/31/2023研究對(duì)象的全體稱為總體這樣定義的總體和個(gè)體是具體的對(duì)象，不符合數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)---抽象

考察某班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)成績(jī),則全體學(xué)生構(gòu)成了一個(gè)總體，每個(gè)同學(xué)就是一個(gè)個(gè)體.

考察某工廠生產(chǎn)的某批燈泡的壽命,則該廠生產(chǎn)的該批燈泡構(gòu)成了一個(gè)總體，每個(gè)燈泡就是一個(gè)個(gè)體.1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)基本概念總體個(gè)體總體中的一個(gè)具體對(duì)象稱為個(gè)體例例問(wèn)題如何改進(jìn)？不是研究它們而是研究數(shù)量指標(biāo)這些數(shù)量指標(biāo)是服從某種分布的r.v總體：研究對(duì)象的數(shù)量指標(biāo)

個(gè)體：

的值一、總體和樣本1/31/2023以隨機(jī)變量X代表總體的特征總體 個(gè)體 特征一批產(chǎn)品每件產(chǎn)品等級(jí)一批燈泡 每個(gè)燈泡 壽命一年的日平均氣溫 每天日平均氣溫 度數(shù)數(shù)軸上某一線段 線段中每一點(diǎn) 坐標(biāo)一批彩票 每張彩票 號(hào)碼人們感興趣的是總體的某一個(gè)或幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)的分布情況。每個(gè)個(gè)體所取的值不同，但它按一定規(guī)律分布。1/31/2023

考察某班級(jí)學(xué)生的英語(yǔ)課程學(xué)習(xí)成績(jī)

因?yàn)槊總€(gè)學(xué)生的成績(jī)都在全班平均成績(jī)

的附近波動(dòng),所以總體可視為例

考察某工廠生產(chǎn)的某批燈泡的壽命

因?yàn)槊總€(gè)燈泡的壽命都在該批燈泡平均壽命

的附近波動(dòng)，所以總體可視為例1/31/2023如何收集數(shù)據(jù)這一過(guò)程稱為抽樣問(wèn)從研究對(duì)象中任取

個(gè)“個(gè)體”,觀察它們的數(shù)量指標(biāo)抽樣的特點(diǎn)每次取出的樣品與總體有相同的分布樣本的特點(diǎn)？稱為容量為的樣本.是相互獨(dú)立,與總體同分布的r.v觀察前:觀察后:樣本值為個(gè)具體的觀察數(shù)據(jù)樣本的二重性獨(dú)立性：要求各次取樣的結(jié)果互不影響代表性：在相同條件下對(duì)總體

進(jìn)行

次重復(fù)、獨(dú)立觀察樣本觀察值2、樣本1/31/2023

某廠生產(chǎn)了一大批燈泡,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5只進(jìn)行檢測(cè),測(cè)得其壽命(小時(shí))分別為總體為燈泡的壽命樣本容量為5,樣本為分析例樣本觀察值為樣本二重性總體為工件長(zhǎng)度樣本容量為6,樣本為分析例樣本二重性對(duì)長(zhǎng)度為的工件進(jìn)行了6次測(cè)量,測(cè)量值為？？樣本觀察值為工件實(shí)際長(zhǎng)度未知連續(xù)型總體1/31/2023總體分析(零件合格或不合格)二重性總體分布律為

考察某工廠生產(chǎn)的零件是否合格,從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了100個(gè),若合格則記為0,若不合格則記為1,100個(gè)產(chǎn)品的檢查結(jié)果為其中

為零件的次品率。例樣本(獨(dú)立同分布分布)樣本觀察值離散型總體1/31/2023由于抽樣的目的是為了對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息，必須考慮抽樣方法.最常用的一種抽樣方法叫作“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”.由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它可以用與總體獨(dú)立同分布的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

表示.1/31/2023定義6.1設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的容量為n的樣本，如果X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立且與總體X有相同的分布，則稱X1,X2,…,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱為樣本或子樣。代表性獨(dú)立性1/31/2023設(shè)為來(lái)自總體的樣本，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為設(shè)為來(lái)自總體的樣本，則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為例設(shè)為來(lái)自總體的樣本,則樣本的聯(lián)合密度為n維正態(tài)分布樣本的聯(lián)合分布樣本的聯(lián)合概率函數(shù)1/31/2023事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測(cè)量身高，得到10個(gè)數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系1/31/2023總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁1/31/2023二、統(tǒng)計(jì)量從總體抽取樣本怎樣集中、提煉出有用的信息統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)：收集數(shù)據(jù)“雜亂無(wú)章”的數(shù)據(jù)包含了各種有用的“信息”問(wèn)？下面的量能較好地反映全班整體學(xué)習(xí)情況

某班級(jí)《高等數(shù)學(xué)》課程考試成績(jī)單列出

個(gè)學(xué)生成績(jī)分別為如何評(píng)價(jià)全班整體學(xué)習(xí)情況？例分析通過(guò)構(gòu)造樣本函數(shù)，加工提煉出有用信息1/31/2023數(shù)據(jù)的加工整理：統(tǒng)計(jì)量設(shè)為來(lái)自總體的樣本為

元函數(shù)，若不含任何未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計(jì)量.由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái).這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量.它是完全由樣本決定的量.1/31/2023例設(shè)為來(lái)自總體的樣本,其中均未知，判斷下列哪些是統(tǒng)計(jì)量：

1/31/2023樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階矩樣本k階中心矩極小值極大值常用的統(tǒng)計(jì)量為什么不是(下章說(shuō)明)與第4章介紹的矩有什么不同?1/31/2023例從一批燈泡中任意抽取10只，測(cè)試其壽命(單位：h)，得到數(shù)據(jù)如下：

13601520153014701560138014601430試求樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。1/31/2023概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

第二節(jié)抽樣分布SichuanUniversityJinjiangCollege1/31/2023

統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布”

.

1/31/2023

抽樣分布就是通常的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.只是強(qiáng)調(diào)這一分布是由一個(gè)統(tǒng)計(jì)量所產(chǎn)生的.研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).抽樣分布精確抽樣分布漸近分布（小樣本問(wèn)題中使用）（大樣本問(wèn)題中使用)1/31/2023一、樣本均值的分布設(shè)總體X的期望和方差分別為E(X)=μ，D(X)=σ2

,X1,X2,…,Xn是X的一個(gè)樣本(子樣)，則有1/31/2023定理6.1設(shè)總體是X的一個(gè)樣本，則定理6.2設(shè)非正態(tài)總體X具有分布F(x),且為總體X的一個(gè)樣本，則當(dāng)n充分大時(shí)，對(duì)于非正態(tài)總體，由中心極限定理可以得到1/31/2023分位數(shù)定義6.4設(shè)統(tǒng)計(jì)量U~N(0,1),對(duì)給定的常數(shù)α(0<α<1),則(1)若常數(shù)zα滿足則稱為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的顯著性水平的上側(cè)分位數(shù)。(2)若常數(shù)zα/2滿足則稱為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的顯著性水平的雙側(cè)分位數(shù)。面積為1/31/2023樣本統(tǒng)計(jì)量包含了各種有用信息集中、提煉數(shù)據(jù)中包含的有用信息它們是隨機(jī)變量,必須確定其分布，稱為抽樣分布來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的抽樣分布主要討論：①②來(lái)自一般正態(tài)總體的抽樣分布分布分布分布五個(gè)抽樣分布定理二、三大抽樣分布1/31/2023隨著自由度的增加曲線重心向右下方移動(dòng)(一)-分布是來(lái)自總體設(shè)的樣本,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形伽馬函數(shù)分布的可加性且相互獨(dú)立,則設(shè)推廣：且設(shè)相互獨(dú)立,則,于是理解為可獨(dú)立變化的r.v個(gè)數(shù)則設(shè)證取個(gè)獨(dú)立同分布的則與同分布分布的數(shù)學(xué)期望與方差1/31/2023KarlPearsonBorn:27March1857inLondon,England

Died:27April1936inColdharbour,Surrey,England1/31/2023它既與α有關(guān)，也與自由度n有關(guān)。書后表4給出了卡方分布的分位數(shù)1/31/2023例查

分布表,可求得1/31/2023隨著自由度的增加曲線越來(lái)越趨近(二)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形易知：？？利用伽馬函數(shù)的斯特林公式即故當(dāng)較大時(shí),可認(rèn)為英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家兼化學(xué)家戈塞特(GossetWS1876-1937

)于1908年用筆名Student發(fā)表了關(guān)于

t

分布的論文,這是一篇在統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史上劃時(shí)代的文章,它創(chuàng)立了小樣本代替大樣本的方法，開創(chuàng)了現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的新紀(jì)元.

Gosset,Student的最后一個(gè)字母都是t

,故取名為“t

分布”,又稱為“學(xué)生氏分布”.-分布是怎樣產(chǎn)生的t？1/31/2023WilliamSealeyGossetBorn:13June1876inCanterbury,England

Died:16Oct1937inBeaconsfield,England1/31/2023由t-分布的對(duì)稱性，可知書后表5給出了t分布的雙側(cè)分位數(shù)1/31/2023(三)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱服從自由度為的

分布，記為分布的密度函數(shù)及圖形分布的重要性質(zhì)若則分布是為了紀(jì)念著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇耳(R.A.Fisher1890-1962)而命名1/31/2023SirRonaldAylmerFisherBorn:17Feb1890inLondon,England

Died:29July1962inAdelaide,Australia1/31/20231/31/2023(四)抽樣分布定理最重要的總體：?jiǎn)栴}question如何由樣本推斷？分析：對(duì)的推斷是通過(guò)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量實(shí)現(xiàn)的如何構(gòu)造“好”的統(tǒng)計(jì)量①②服從什么分布？統(tǒng)計(jì)推斷中最重要的結(jié)論：五個(gè)抽樣分布定理1/31/2023仍服從正態(tài)分布,且定理一證的樣設(shè)是來(lái)自總體本,則獨(dú)立同分布由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線性組合1/31/2023n取不同值時(shí)樣本均值的分布1/31/2023定理二的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有相互獨(dú)立①②分析？？？(證略)1/31/2023n取不同值時(shí)的分布1/31/2023定理三的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有證由定理一、定理二有且與獨(dú)立，由分布的定義有結(jié)果分析即“平均”說(shuō)來(lái)與的差別不大,故可用“代替”兩個(gè)未知參數(shù)一個(gè)未知參數(shù)1/31/2023定理四的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨(dú)立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證由定理二，有因兩樣本獨(dú)立，故獨(dú)立1/31/2023定理五的樣本；設(shè)是總體的樣本,且兩樣本相互獨(dú)立,是總體兩樣本均值和樣本方差分別為則證其中,且相互獨(dú)立又由的獨(dú)立性及分布的可加性有由兩樣本的獨(dú)立性及分布的定義有1/31/2023設(shè)為總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中正確的是（

）

D1/31/2023

總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機(jī)抽樣我們介紹了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念.小結(jié)1/31/2023我們介紹了常用的統(tǒng)計(jì)三大分布：我們還介紹了5個(gè)抽樣分布定理，要牢固掌握.分布,t分布,F分布.注意它們的定義和基本性質(zhì).1/31/2023第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念問(wèn)6.1:數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象和目的是什么？答：“數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)”是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的任務(wù)是研究怎樣用有效的方法去收集和使用帶隨機(jī)性影響的數(shù)據(jù)，它的具體含義包括以下幾層意思：1）能否假定數(shù)據(jù)有隨機(jī)性，是區(qū)別數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法與其他數(shù)據(jù)處理方法的根本點(diǎn)。數(shù)據(jù)的隨機(jī)性來(lái)源有兩種：1/31/2023a）問(wèn)題中涉及的研究對(duì)象為數(shù)很大，只能抽取部分樣品加以研究，如測(cè)定10000支燈管的壽命，只能抽取其中100支進(jìn)行測(cè)試（測(cè)試結(jié)束，這100支燈管就失去了使用價(jià)值），而這100支燈管的抽取是帶隨機(jī)性的。b）數(shù)據(jù)的隨機(jī)性來(lái)源于測(cè)量誤差或者試驗(yàn)的隨機(jī)誤差，如考察產(chǎn)品的質(zhì)量，溫度和壓力是重要因素。但當(dāng)溫度和壓力取為定值時(shí)，質(zhì)量仍因大量其他因素的影響，如原材料的差異，使用的設(shè)備和操作人員的經(jīng)驗(yàn)差異等而有一定的波動(dòng)，試驗(yàn)結(jié)果仍包含有隨機(jī)誤差。1/31/20232）所謂“用有效的方法收集數(shù)據(jù)”可歸結(jié)為:b）要使數(shù)據(jù)包含盡可能多的與研究問(wèn)題有關(guān)的信息。例如對(duì)上海市居民收入的狀況進(jìn)行研究時(shí)，我們應(yīng)調(diào)查多少戶居民比較合適，太少了沒有代表性，太多了費(fèi)用昂貴，究竟確定幾戶合適就要用統(tǒng)計(jì)方法。另外若確定了選取1000戶，如何選?。咳绻粡母呤杖肴巳赫{(diào)查，就失去了代表性，數(shù)據(jù)談不上有效性。a）建立一個(gè)數(shù)學(xué)上易于處理的盡可能簡(jiǎn)單的模型描述所得的數(shù)據(jù)。1/31/2023如果用純隨機(jī)化方法抽取，則數(shù)據(jù)就有一定的代表性，本教材討論的正是這種模型。是否有更有效的方法，例如高收入人群占30%、低收入人群占70%，那么我們從高收入人群中隨機(jī)抽300戶，而從低收入人群中隨機(jī)抽700戶，這時(shí)的數(shù)據(jù)確實(shí)更為有效等等。由此產(chǎn)生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)分支“抽樣理論”和“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”。3）“有效地使用隨機(jī)數(shù)據(jù)”的含義即將抽得的隨機(jī)數(shù)據(jù)用有效的方式去集中，提取與研究問(wèn)題有關(guān)的信息，1/31/2023并利用它對(duì)提出問(wèn)題作出一定的結(jié)論,這種結(jié)論稱為“統(tǒng)計(jì)推斷”。但統(tǒng)計(jì)推斷并不是絕對(duì)精確和可靠的，這正是數(shù)據(jù)隨機(jī)化帶來(lái)的影響，然而推斷應(yīng)盡可能的“可靠”。本教材中討論的“點(diǎn)估計(jì)，區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)”正是統(tǒng)計(jì)推斷中的重要內(nèi)容。顯著性水平，置信水平等相應(yīng)的概率大小正反映這些統(tǒng)計(jì)推斷方法的“可靠性”的大小?！敖y(tǒng)計(jì)推斷”中有許多統(tǒng)計(jì)方法來(lái)源于實(shí)踐中產(chǎn)生的“統(tǒng)計(jì)思想”，如“極大似然法”，“矩法”等，它有一定的合理性，但又不是“絕對(duì)精確”。1/31/2023答：樣本表現(xiàn)為一大批的數(shù)字,很難直接用來(lái)解決我們所要研究的具體問(wèn)題，所以常常需要把樣本數(shù)據(jù)整理加工成若干個(gè)簡(jiǎn)單明了的數(shù)字特征，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)確定后，統(tǒng)計(jì)量的值即可以知道了。所以統(tǒng)計(jì)量綜合了樣本的信息，是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).只有理解了這些統(tǒng)計(jì)思想才會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)方法深入理解。只有對(duì)“可靠性”大小的正確理解才能對(duì)研究的結(jié)論作出正確的闡述。問(wèn)6.2:為什么要提出統(tǒng)計(jì)量?1/31/2023答：分布，ｔ分布，F(xiàn)分布都是從正態(tài)總體中衍生出來(lái)的，幾種常用的統(tǒng)計(jì)量的分布都與這三大分布有關(guān)，所以這三大分布在正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)推斷中起著重要的作用。問(wèn)6.3三大分布的作用是什么？1/31/2023第六章