第十二章電磁感應(yīng)1(大學(xué)物理)

本章教學(xué)內(nèi)容電磁感應(yīng)定律動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)自感和互感磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)能量密度本章教學(xué)基本要求一

掌握并能熟練應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律來(lái)計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，并判明其方向.二

理解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的本質(zhì).了解有旋電場(chǎng)的概念.三了解自感和互感的現(xiàn)象,會(huì)計(jì)算幾何形狀簡(jiǎn)單的導(dǎo)體的自感和互感.四了解磁場(chǎng)具有能量和磁能密度的概念,會(huì)計(jì)算均勻磁場(chǎng)和對(duì)稱磁場(chǎng)的能量.法拉第（MichaelFaraday,1791-1867），偉大的英國(guó)物理學(xué)家和化學(xué)家.他創(chuàng)造性地提出場(chǎng)的思想，磁場(chǎng)這一名稱是法拉第最早引入的.他是電磁理論的創(chuàng)始人之一，于1831年發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的抗磁性和順磁性，以及光的偏振面在磁場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn).§12-1電磁感應(yīng)定律一電磁感應(yīng)現(xiàn)象當(dāng)穿過(guò)閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)正比于磁通量對(duì)時(shí)間變化率的負(fù)值.二電磁感應(yīng)定律國(guó)際單位制韋伯伏特1）閉合回路由

N

匝密繞線圈組成2）若閉合回路的電阻為R

，感應(yīng)電流為時(shí)間內(nèi)，流過(guò)回路的電荷磁通匝數(shù)（磁鏈）N與回路取向相反（與回路成右螺旋）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向N當(dāng)線圈有N

匝時(shí)與回路取向相同NS三楞次定律閉合的導(dǎo)線回路中所出現(xiàn)的感應(yīng)電流，總是使它自己所激發(fā)的磁場(chǎng)反抗任何引發(fā)電磁感應(yīng)的原因（反抗相對(duì)運(yùn)動(dòng)、磁場(chǎng)變化或線圈變形等）.NSNS用楞次定律判斷感應(yīng)電流方向

楞次定律是能量守恒定律的一種表現(xiàn)

維持滑桿運(yùn)動(dòng)必須外加一力，此過(guò)程為外力克服安培力做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱.機(jī)械能焦耳熱

楞次定律閉合的導(dǎo)線回路中所出現(xiàn)的感應(yīng)電流，總是使它自己所激發(fā)的磁場(chǎng)反抗任何引發(fā)電磁感應(yīng)的原因.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

例在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,

置有面積為S的可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的N匝線圈.

若線圈以角速度

作勻速轉(zhuǎn)動(dòng).求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).已知求解設(shè)時(shí),與同向,則令則可見(jiàn),在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的線圈內(nèi)的感應(yīng)電電流是時(shí)間的正弦函數(shù).這種電流稱交流電.設(shè)I方向向上，則直導(dǎo)線右邊的磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)。設(shè)線框回路的繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，則穿過(guò)線框的磁通量為：解

(1)電流I產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度例題:如圖所示，一長(zhǎng)直導(dǎo)線與邊長(zhǎng)為l1和l2的矩形導(dǎo)線框共面，且與它的一邊平行。線框以恒定速率v沿與長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直的方向向右運(yùn)動(dòng)。（1）若長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，求線框與直導(dǎo)線相距x時(shí)穿過(guò)線框的磁通量、線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向；（2）若長(zhǎng)直導(dǎo)線中通以交變電流I=I0sint，求任意時(shí)刻線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。vl1l2xrdSdrI由法拉第電磁感應(yīng)定律方向?yàn)轫槙r(shí)針繞向vl1l2xrdSdrIro（2）t時(shí)刻線框與導(dǎo)線相距x，則引起磁通量變化的原因

1）穩(wěn)恒磁場(chǎng)中的導(dǎo)體運(yùn)動(dòng),或者回路面積變化、取向變化等動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)2）導(dǎo)體不動(dòng)，磁場(chǎng)變化感生電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)+-I閉合電路的總電動(dòng)勢(shì):非靜電的電場(chǎng)強(qiáng)度.§12-2

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)+++++++++++++++++++++++++++++++++++OP設(shè)桿長(zhǎng)為

一動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力場(chǎng)來(lái)源洛倫茲力---++平衡時(shí)例:一通有電流I的長(zhǎng)直水平導(dǎo)線近旁有一斜向放置的金屬棒AC與之共面，金屬棒以平行于電流I的速度平動(dòng)，如圖，已知棒端A、C與導(dǎo)線的距離分別為a、b，求棒中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：在棒上任取dl，其上產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為：建立如圖坐標(biāo)方向由C指向A，即A點(diǎn)電勢(shì)高或補(bǔ)回路，對(duì)此回路AC邊不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，則解例

一長(zhǎng)為的銅棒在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中,以角速度在與磁場(chǎng)方向垂直的平面上繞棒的一端轉(zhuǎn)動(dòng)，求銅棒兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).+++++++++++++++++++++++++++++++++++oP（點(diǎn)P

的電勢(shì)高于點(diǎn)O

的電勢(shì)）

方向O

P例

一導(dǎo)線矩形框的平面與磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)相垂直.在此矩形框上,有一質(zhì)量為長(zhǎng)為的可移動(dòng)的細(xì)導(dǎo)體棒;矩形框還接有一個(gè)電阻,其值較之導(dǎo)線的電阻值要大得很多.若開(kāi)始時(shí),細(xì)導(dǎo)體棒以速度沿如圖所示的矩形框運(yùn)動(dòng),試求棒的速率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系.

解如圖建立坐標(biāo)棒所受安培力方向沿軸反向++++++棒中且由方向沿軸反向棒的運(yùn)動(dòng)方程為則計(jì)算得棒的速率隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系為++++++二感生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電場(chǎng)感生電場(chǎng)麥克斯韋爾假設(shè)變化的磁場(chǎng)在其周圍空間激發(fā)一種電場(chǎng),這個(gè)電場(chǎng)叫感生電場(chǎng).閉合回路中的感生電動(dòng)勢(shì)感生電場(chǎng)是非保守場(chǎng)和均對(duì)電荷有力的作用.感生電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的對(duì)比靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)

靜電場(chǎng)由電荷產(chǎn)生；感生電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生.2、感生電場(chǎng)的性質(zhì)1、感生電場(chǎng)的環(huán)流不為零不是保守場(chǎng)，而是渦旋場(chǎng)。

與靜電場(chǎng)的重要區(qū)別之一2、感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線是閉合的感生電場(chǎng)的環(huán)流不為零，磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流也不為零。與磁感應(yīng)線類似，感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線也是無(wú)頭無(wú)尾的閉合曲線。因此，感生電場(chǎng)是渦旋的。通過(guò)任意閉合曲面的感生電場(chǎng)的電通量為零變化的磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)渦旋狀的感生電場(chǎng)，它們?cè)诜较蛏蠞M足左手螺旋關(guān)系。當(dāng)此時(shí)Ei電場(chǎng)線方向與回路的環(huán)繞方向相反L3、感生電場(chǎng)的計(jì)算例題:

半徑為R的圓柱形空間（橫截面）內(nèi)分布著均勻磁場(chǎng)（如長(zhǎng)直載流螺線管的中部。磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間作線性變化（如B=kt），試求感生電場(chǎng)的分布。解：由場(chǎng)的對(duì)稱性，變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線是與圓柱的軸線同軸的同心圓。處處與圓線相切，在同一條電場(chǎng)線上的大小相等。取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榄h(huán)路L的正繞向BRL在圓柱體內(nèi)(r<R)在圓柱體外(r>R)感生電場(chǎng)的分布如圖LBR例題:

半徑為R的圓柱形體積內(nèi)，充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，有一長(zhǎng)為2l的金屬棒AB放在磁場(chǎng)中，B以恒定的dB/dt減小，求金屬棒兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解法1：用感生電場(chǎng)公式計(jì)算dl處感生電場(chǎng)的大小Eirh方向BAOABB均勻R2ldl解法2：由法拉第定律計(jì)算設(shè)想一回路，如OABO，則該回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為dB/dt<0，則回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?。OABB均勻R2l由于OA和OB兩段沿徑向，各點(diǎn)的渦旋電場(chǎng)垂直于段元，不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。所以回路OABO中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)就是金屬棒AB上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其大小為EiEi例4設(shè)有一半徑為R,高度為h的鋁圓盤,其電導(dǎo)率為.把圓盤放在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向垂直盤面.設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化,且為一常量.求盤內(nèi)的感應(yīng)電流值.（圓盤內(nèi)感應(yīng)電流自己的磁場(chǎng)略去不計(jì)）已知求解如圖取一半徑為,寬度為,高度為的圓環(huán).則圓環(huán)中的感生電動(dòng)勢(shì)的值為代入已知條件得又所以由計(jì)算得圓環(huán)中電流于是圓盤中的感應(yīng)電流為電子感應(yīng)加速器應(yīng)用感生電場(chǎng)加速電子的裝置在電磁鐵的兩極之間安置一個(gè)環(huán)形真空室，當(dāng)用交變電流激勵(lì)電磁鐵時(shí)，在環(huán)形室內(nèi)就會(huì)感生出很強(qiáng)的、同心環(huán)狀的感生電場(chǎng)。用電子槍將電子注入環(huán)形室，電子在有旋電場(chǎng)的作用下被加速，并在洛侖茲力的作用下，沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。5、渦電流和電磁阻尼感應(yīng)電流不僅能夠在導(dǎo)電回路內(nèi)出現(xiàn)，而且當(dāng)大塊導(dǎo)體與磁場(chǎng)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或大塊導(dǎo)體處在變化的磁場(chǎng)中時(shí)，在其中也會(huì)激起感應(yīng)電流。這種在大塊導(dǎo)體內(nèi)流動(dòng)的感應(yīng)電流，通常稱為渦電流，簡(jiǎn)稱渦流。但在有些方面渦流所產(chǎn)生的熱是有害的。例如在電機(jī)和變壓器中的鐵芯，當(dāng)通過(guò)交變電流時(shí)，鐵芯中將產(chǎn)生很大的渦流，這樣不僅損耗了大量的能量（叫做鐵芯的渦流損耗），甚至發(fā)熱量可能大到燒毀這些設(shè)備。為了減小渦流及其損失，通常采用疊合式的硅鋼片代替整塊鐵芯，并使硅鋼片平而與磁感應(yīng)線平行。B渦流產(chǎn)生的機(jī)械效應(yīng)在實(shí)際中也有很廣的應(yīng)用，例如可用作電磁阻尼。當(dāng)電磁鐵的線圈中通電后，兩極間有了磁場(chǎng)，這時(shí)擺動(dòng)著的擺會(huì)很快就停止下來(lái)。這是因?yàn)楫?dāng)擺朝著兩個(gè)磁極間的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，穿過(guò)金屬板的磁通量增加，在擺中產(chǎn)生了渦電流（渦電流的方向如圖中虛線所示），而它要受到磁場(chǎng)安培力的作用，其方向恰與擺的運(yùn)動(dòng)方向相反，因而阻礙擺的運(yùn)動(dòng)。同樣，當(dāng)擺由兩極間的磁場(chǎng)離開(kāi)時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)金屬板的作用力的方向也是與擺的運(yùn)動(dòng)方向相反，所以擺很快就停止下來(lái)。磁場(chǎng)對(duì)金屬板的這種阻尼作用，叫做電磁阻尼。在一些電磁儀表中，常利用電磁阻尼使擺動(dòng)的指針迅速地停止在平衡位置上。電度表中的制動(dòng)鋁盤，也是利用了電磁阻尼效應(yīng)的。一自感電動(dòng)勢(shì)自感穿過(guò)閉合電流回路的磁通量1）自感定義1

若線圈有N

匝，自感

磁通匝數(shù)無(wú)鐵磁質(zhì)時(shí),自感僅與線圈形狀、磁介質(zhì)及

N

有關(guān).注意§12-4

自感和互感當(dāng)時(shí)，2）自感電動(dòng)勢(shì)

單位：1

亨利（H）=

1韋伯/安培

（1

Wb/A）自感定義2（條件L不變）3）自感的計(jì)算方法例1如圖的長(zhǎng)直密繞螺線管,已知,求其自感.（忽略邊緣效應(yīng)）解先設(shè)電流

I

根據(jù)安培環(huán)路定理求得H

B.（一般情況可用下式測(cè)量自感）

4）自感的應(yīng)用穩(wěn)流,LC諧振電路,濾波電路,感應(yīng)圈等.例2有兩個(gè)同軸圓筒形導(dǎo)體,其半徑分別為和,通過(guò)它們的電流均為,但電流的流向相反.設(shè)在兩圓筒間充滿磁導(dǎo)率為的均勻磁介質(zhì),求其自感.解兩圓筒之間如圖在兩圓筒間取一長(zhǎng)為的面,并將其分成許多小面元.則即由自感定義可求出單位長(zhǎng)度的自感為練習(xí)：一載流回路由兩根平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線組成，兩導(dǎo)線均為圓形截面，半徑為R，它們中心相距d，且d

R，兩導(dǎo)線上的電流I大小相等，方向相反，若不計(jì)通過(guò)導(dǎo)線體內(nèi)的磁通量，試計(jì)算這一對(duì)導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的自感。

解：載流導(dǎo)線1和2在dS處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為P點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小IIrORddS在兩導(dǎo)線間通過(guò)單位長(zhǎng)度面積上的磁通量一對(duì)導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的自感IIrORddS二互感電動(dòng)勢(shì)互感在電流回路中所產(chǎn)生的磁通量在電流回路中所產(chǎn)生的磁通量

互感僅與兩個(gè)線圈形狀、大小、匝數(shù)、相對(duì)位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)（無(wú)鐵磁質(zhì)時(shí)為常量）.注意1）互感系數(shù)定義1（理論可證明）問(wèn)：下列幾種情況互感是否變化？1）線框平行直導(dǎo)線移動(dòng)；2）線框垂直于直導(dǎo)線移動(dòng)；3）線框繞OC

軸轉(zhuǎn)動(dòng)；4）直導(dǎo)線中電流變化.OC2）互感電動(dòng)勢(shì)

當(dāng)

M

不變時(shí)，則互感系數(shù)定義2（M

不變）例1兩同軸長(zhǎng)直密繞螺線管的互感有兩個(gè)長(zhǎng)度均為l,半徑分別為r1和r2（r1<r2

）,匝數(shù)分別為N1和N2的同軸長(zhǎng)直密繞螺線管.求它們的互感.解先設(shè)某一線圈中通以電流

I

求出另一線圈的磁通量設(shè)半徑為的線圈中通有電流,則代入計(jì)算得則則穿過(guò)半徑為的線圈的磁通匝數(shù)為解設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線通電流例2在磁導(dǎo)率為的均勻無(wú)限大的磁介質(zhì)中,一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與一寬長(zhǎng)分別為和的矩形線圈共面,直導(dǎo)線與矩形線圈的一側(cè)平行,且相距為.求二者的互感系數(shù).若導(dǎo)線如左圖放置,根據(jù)對(duì)稱性可知得例3

設(shè)在例2中求得的互感系數(shù)為亨利。若矩形線圈的電流在10-6秒內(nèi)由零增長(zhǎng)到2安培，求長(zhǎng)直導(dǎo)線中的互感電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。?解設(shè)電流方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颍酪笠?guī)定正方向。實(shí)際方向如圖。線圈的順接和反接將自感分別為L(zhǎng)1和L2、互感系數(shù)為M

的兩個(gè)線圈串聯(lián)，兩串聯(lián)線圈中通過(guò)的電流為I順接：兩線圈的磁通量互相加強(qiáng)線圈的等效自感每個(gè)線圈中的自感電動(dòng)勢(shì)和互感電動(dòng)勢(shì)方向相反反接：兩線圈的磁通量互相減弱線圈的等效自感每個(gè)線圈中的自感電動(dòng)勢(shì)和互感電動(dòng)勢(shì)方向相反自感線圈磁能回路電阻所放出的焦耳熱電源作功電源反抗自感電動(dòng)勢(shì)作的功§12-6

磁場(chǎng)的能量磁場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量自感線圈磁能互感磁能兩個(gè)電感線圈L1和L2，開(kāi)始時(shí)都是斷路。先接通線圈1，使其電流從0增加到I10，線圈1的自感磁能為然后接通線圈2，使其電流從零增加到I20。線圈2具有自感磁能當(dāng)線圈2中的電流增大時(shí)，在線圈1中產(chǎn)生互感電動(dòng)勢(shì)ε12εRI10為了保持線圈1的電流I10不變，線圈1電路中的電源必須反抗上述互感電動(dòng)勢(shì)作功，這個(gè)功也轉(zhuǎn)化為線圈的磁場(chǎng)能量這是因互感而出現(xiàn)的附加磁能，稱為互感磁能。兩線圈中的電流分別為I10

和

I20時(shí)，儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中的總磁能(從在兩線圈中建立電流的過(guò)程計(jì)算存儲(chǔ)在線圈周圍空間磁場(chǎng)能量的方法，證明兩個(gè)線圈的互感系數(shù)相等)

例

如圖同軸電纜,中間充以磁介質(zhì),芯線與圓筒上的電流大小相等、方向相反.已知

,求單位長(zhǎng)度同軸電纜的磁能和自感.設(shè)金屬芯線內(nèi)的磁場(chǎng)可略.解由安培環(huán)路定律可求H則

單位長(zhǎng)度殼層體積問(wèn)題：變化的電場(chǎng)能否產(chǎn)生磁場(chǎng)？

安培環(huán)路定理遇到的問(wèn)題對(duì)穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)I：傳導(dǎo)電流j

：曲面S上的傳導(dǎo)電流密度安培環(huán)路定理對(duì)于穩(wěn)恒電流穿過(guò)以任意回路Ｌ為邊界的任意曲面S1或S2的傳導(dǎo)電流都相等12.7位移電流電磁場(chǎng)基本方程的積分形式麥克斯韋電磁理論以Ｌ為邊界的環(huán)路上作兩個(gè)曲面S1和S2。S1面上有傳導(dǎo)電流I穿過(guò)，S2面上沒(méi)有傳導(dǎo)電流穿過(guò)。安培環(huán)路定理出現(xiàn)了矛盾！對(duì)于非穩(wěn)恒電流12.7.1位移電流全電流安培環(huán)路定理分析：電容器在充、放電時(shí)導(dǎo)線上的傳導(dǎo)電流和極板上電荷、極板間的電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率之間的關(guān)系。電容器充電時(shí)，極板間電場(chǎng)增加的方向(中間的白色箭頭)和傳導(dǎo)電流同向電容器放電時(shí)，極板間電場(chǎng)減小演示動(dòng)畫(huà)：放電時(shí)傳導(dǎo)電流和極板間的電位移演示動(dòng)畫(huà)：充電時(shí)傳導(dǎo)電流和極板間的電位移IIII的方向仍和傳導(dǎo)電流同向IID電位移矢量通量的時(shí)間變化率——位移電流Id電位移矢量Ｄ的時(shí)間變化率——位移電流密度ｊd位移電流位移電流密度分析I與的關(guān)系位移電流與傳導(dǎo)電流的比較：唯一的共同點(diǎn)僅在于都可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)本質(zhì)不同(1)位移電流的本質(zhì)是變化著的電場(chǎng)，而傳導(dǎo)電流則是自由電荷的定向運(yùn)動(dòng)；(2)傳導(dǎo)電流在通過(guò)導(dǎo)體時(shí)會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流則不會(huì)產(chǎn)生焦耳熱，位移電流也沒(méi)有化學(xué)效應(yīng)；(3)位移電流（變化著的電場(chǎng)）可以存在于真空、導(dǎo)體、電介質(zhì)中，而傳導(dǎo)電流只能存在于導(dǎo)體中。

在非穩(wěn)恒電流的情況下，電位移矢量的時(shí)間變化率與電流密度相當(dāng)，變化的電場(chǎng)等效地也是一種“電流”，它也能產(chǎn)生磁場(chǎng)?！溈怂鬼f的位移電流假說(shuō)全電流安培環(huán)路定理若按S2

面計(jì)算，雖然沒(méi)有通過(guò)L回路的傳導(dǎo)電流，但在S2面上有位移電流Id通過(guò)，且Id=I。全電流安培環(huán)路定理：真空中變化的電場(chǎng)可以激發(fā)磁場(chǎng)傳