第七章 連續(xù)概率分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)

statistics李欣先

Email:lixinxian2005@126.comtongjxxx@163.com1/31/20231山東輕院皮革教研室第7章連續(xù)概率分布

（continuousProbability

Distributions）第1節(jié)均勻分布（uniformdistribution）第2節(jié)正態(tài)分布（thenormalprobabilitydistribution）第3節(jié)指數(shù)分布（exponentialdistribution）

1/31/20232山東輕院皮革教研室隨機(jī)變量的分布函數(shù)1/31/20233山東輕院皮革教研室例：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123pk1/41/21/4求X的分布函數(shù)，并求p(x≤1/2),p(3/2<x≤5/2),p(2≤x≤3)。1/31/20234山東輕院皮革教研室例：一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。1/31/20235山東輕院皮革教研室

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（probabilitydensityfunction）定義：對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

若存在 非負(fù)的函數(shù)

使對于任意實(shí)數(shù)有：其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

1/31/20236山東輕院皮革教研室

與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似1/31/20237山東輕院皮革教研室例：設(shè)X的概率密度為

(1)求常數(shù)c的值；(2)寫出X的概率分布函數(shù)；

(3)要使 求k的值。解：1/31/20238山東輕院皮革教研室連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方差1/31/20239山東輕院皮革教研室例:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為試求X的數(shù)學(xué)期望解1/31/202310山東輕院皮革教研室例:設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為p(x),求D(X)。解于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/61/31/202311山東輕院皮革教研室均勻分布

(uniformdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為稱X在[a,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學(xué)期望和方差1/31/202312山東輕院皮革教研室均勻分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X在某取值范圍[a,b]的任一子區(qū)間[c,d]上取值的概率為

同樣有：1/31/202313山東輕院皮革教研室均勻分布

(例題分析)【例】某公共汽車站從早上6時(shí)起每隔15分鐘開出一趟班車，假定某乘客在6點(diǎn)以后到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，所以有理由認(rèn)為他等候乘車的時(shí)間長度X服從參數(shù)為a=0，b=15的均勻分布。試求該乘客等候乘車的時(shí)間長度少于5分鐘的概率解：概率密度函數(shù)為落入?yún)^(qū)間[0，15]的任一子區(qū)間[0，d]的概率是，等候乘車的時(shí)間長度少于5分鐘即有d=5，因此該事件發(fā)生的概率等于5/15=1/31/31/202314山東輕院皮革教研室例：在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機(jī)取10個(gè)數(shù)，求10個(gè)數(shù)中恰有 兩個(gè)數(shù)大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于0， 則：1/31/202315山東輕院皮革教研室Twomajordifferencesstandoutbetweenthetreatmentofcontinuousrandomvariablesandthetreatmentoftheirdiscretecounterparts.1.Wenolongertalkabouttheprobabilityoftherandomvariableassumingaparticularvalue.Instead,wetalkabouttheprobabilityoftherandomvariableassumingavaluewithinsomegiveninterval.1/31/202316山東輕院皮革教研室2.Theprobabilityofacontinuousrandomvariableassumingavaluewithinsomegivenintervalfromx1tox2isdefinedtobetheareaunderthegraphoftheprobabilitydensityfunctionbetweenx1andx2.Becauseasinglepointisanintervalofzerowidth,thisimpliesthattheprobabilityofacontinuousrandomvariableassuminganyparticularvalueexactlyiszero.Italsomeansthattheprobabilityofacontinuousrandomvariableassumingavalueinanyintervalisthesamewhetherornottheendpointsareincluded.1/31/202317山東輕院皮革教研室正態(tài)分布設(shè)A到B的真實(shí)距離為U，X為測量值，則服從什么分布1/31/202318山東輕院皮革教研室正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如：二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)1/31/202319山東輕院皮革教研室概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=正態(tài)隨機(jī)變量X的均值=正態(tài)隨機(jī)變量X的方差

=3.1415926;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)1/31/202320山東輕院皮革教研室正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)圖形是關(guān)于x=對稱鐘形曲線，且峰值在x=處均值和標(biāo)準(zhǔn)差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個(gè)完整的“正態(tài)分布族”均值可取實(shí)數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態(tài)曲線扁平；越小，正態(tài)曲線越高陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個(gè)方向無限延伸時(shí)，曲線的兩個(gè)尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠(yuǎn)不會與之相交正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

1/31/202321山東輕院皮革教研室和對正態(tài)曲線的影響稱μ為位置參數(shù)(決定對稱軸位置)

σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)xf(x)CAB=1/212=11/31/202322山東輕院皮革教研室標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormaldistribution)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)1/31/202323山東輕院皮革教研室1/31/202324山東輕院皮革教研室例：查書后附表1/31/202325山東輕院皮革教研室正態(tài)分布

(例題分析)【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？解：設(shè)=50，

=10，X～N(50,102)1/31/202326山東輕院皮革教研室

例：設(shè)某地區(qū)男子身高

(1)

從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測身高，求他的身高大于

175cm的概率；(2)

若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？1/31/202327山東輕院皮革教研室某市準(zhǔn)備通過考試招聘300名公務(wù)員，其中280名正式工，20名實(shí)習(xí)工。實(shí)際報(bào)考人數(shù)為1657名，考試滿分400分，考后不久，通過當(dāng)?shù)匦侣劽襟w得到如下信息：考試平均成績是166分，360分以上的高分考生31名。某考生A的成績?yōu)?56分。他能被錄取嗎？若被錄取，能否是正式工？1/31/202328山東輕院皮革教研室二項(xiàng)分布的正態(tài)近似連續(xù)性修正因子（continuitycorrectionfactor）1/31/202329山東輕院皮革教研室指數(shù)分布

(exponentialdistribution)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為X~E()數(shù)學(xué)期望和方差1/31/202330山東輕院皮革教研室指數(shù)分布

(概率計(jì)算)隨機(jī)變量X取小于或等于某一特定值x的概率為

隨機(jī)變量X落入任一區(qū)間(a，b)的概率為

1/31/202331山東輕院皮革教研室小華每天早上8點(diǎn)左右都會搭乘公交車上班。依據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，平均而言，每5分鐘會有一班公交車。今天早上小華等了10分鐘，還沒有公交車到來，今天小華是否特別倒霉？1/31/202332山東輕院皮革教研室指數(shù)分布

(例題分析)【例】假定某加油站在一輛汽車到達(dá)之后等待下一輛汽車到達(dá)所需要的時(shí)間(單位：分鐘)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布，如果現(xiàn)在正好有一輛汽車剛剛到