七年級(jí)半角模型

半角模型一、90°+45°模型..問題描述：如圖，正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且NEAF=45°,連接EF.結(jié)論1：EF=BE+DF.證明：延長CD至點(diǎn)G使得DG=BE【補(bǔ)短】在^ABE和^ADG中，'AB=ADv/ABE=/ADG、BE=DG??△ABESADG(SAS)??AE=AG,NBAE=NDAG,VZEAF=45°,?'?NBAE+NDAF=45°,??/GAF'^=ZGAD+ZDAF=ZBAE+ZDAF=45°,在^AEF和^AGF中，AF=AFv/FAE=/FAG、AE=AG??△AFE/△AFG(SAS)??EF=GFVGF=ZDF+ZDG=ZDF+BE,??EF=BE+DF.結(jié)論2：EA平分/BEF；FA平分/DFE.證明：???△ABE/△ADG,AZAEB=ZG,:△AEF04AGF,AZAEF=ZG,AZAEB=ZAEF,AEA平分/BEF；:△AEF0^AGF,AZAFE=ZAFG,AFA平分ZDFE.結(jié)論3：過點(diǎn)A作AH±EF交EF于點(diǎn)H,則：△ABE/△AHE；△AHF/△ADF；AH=AB=AD.證明：在^ABE和^AHE中，叱ABE=/AHEv/AEB=/AEHAE=AE??△ABE0^AHE(AAS)同理可證：△AHF/△ADF；AAB=AH=AD.2.結(jié)論變式：若E、F分別在CB、DC延長線上時(shí)，求證：EF=DF-BE.證明：在DF邊上取點(diǎn)G使得DG=BE，F(xiàn)在^ABE和^ADG中，F(xiàn)'AB=ADv/ABE=/ADG、BE=DG??△ABESADG(SAS)??AE=AG,BE=DG,ZBAE=ZDAG,ZBAE+ZBAF=45°,AZDAG+ZBAF=45°,AZGAF=45°,在^EAF和^GAF中，AE=AGv/EAF=/GAF^AF=AF??△AEF04AGF(SAS)AEF=GF,GF=DF-DG=DF-BE,AEF=DF—BE.

【小結(jié)】截長、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個(gè)半角．此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個(gè)圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)．正方形可滿足一切你所想．3．條件變式如圖，求證：在正方形ABCD中E、F分別在BC、CD上，連接EF,若EF=BE+DF.如圖，求證：如圖，如圖，求證：在正方形ABCD中E、F分別在BC、CD上，連接EF,若EF=BE+DF.如圖，求證：如圖，ZEAF=45°在正方形ABCD中ZEAF=45°在正方形ABCD中E、E、EF于點(diǎn)H.若AH=AB，求證:F分別在BC、CD上，F(xiàn)分別在BC、CD上，ZEAF=45°連接EF,若EA平分/BEF.連接EF,過點(diǎn)A作AH±EF交二、120°+60°模型1.問題描述：如圖，加^。是等邊三角形，BD=CD且NBDC=120°,E、F在直線AB、AC上且/EDF=60°.求證：EF=BE+CF.證明：延長AC至點(diǎn)G使得CG=BE,易證：△DBE/△DCG(^AS)-DE=DG,NFDG=NFDE=60°易證：△DFE/△DFG(SAS)-EF=GF綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF.

(2)若點(diǎn)E、F分別在BA、AC的延長線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？解：結(jié)論是EF=BE—CF.在BA上取點(diǎn)G使得BG=CF,易證△DCF/△DBG,ADC=DG,ZCDF=ZBDG；易證△EDG/△EDF,AEG=EF,???EG=EB-BG=EB-CF,???EF=BE—CF.三、半角模型總結(jié)通過以上例子不難發(fā)現(xiàn)，常見的半角模型均通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)改變圖形位置，再由一組對(duì)稱型全等解決問題，首先考慮的是如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？需要滿足以下條件：（1）角含半角：通過旋轉(zhuǎn)可得一組相等角；（2）鄰邊相等：如果鄰邊不相等，旋轉(zhuǎn)之后便不能正好重合；（3）對(duì)角互補(bǔ)：保證旋轉(zhuǎn)之后得到共線.【例】如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上點(diǎn)，且/EAF=1/BAD,AB=AD,2/B+ZD=180°.求證：EF=BE+DF.證明：延長CD至點(diǎn)G使得BG=DF,°,ZD+ZABC=180°,?'?ZABG°,ZD+ZABC=180°,?'?ZABG=ZD,AB=ADv/ABG=/ADF、BG=DFABGSADF(^AS)??AG=AF,ZBAG=ZDAF,ZEAF=1ZBAD，,ZBAE+ZDAF=1ZBAD,22??ZBAG+ZBAE=1ZBAD，即ZEAG=1ZBAD=ZEAF,22在^EAG和^EAF中，'AE=AEvZEAG=ZEAFAG=AF??△AEG/△AEF(SAS)??EF=EG=BE+BG=BE+DF,

結(jié)論2：連接A。，與AE、AF分別交于M、N,則：MN2=BM2+DN2.證明：構(gòu)造AADM’/△ABM—AM'.=AM',/MAN=ZM,AN,BM=DM,ADFE…ADFE…G易證：△AMN/△AM,N(SAS)—MN=M'N易證：△M,DN是直角三角形—M'N2"M'D2+DN2―MN2=BM2+DN2.【拓展篇】1結(jié)論1：若BE—BC,則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn).反之亦然.3結(jié)論2：結(jié)論2：A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、D、F、M四點(diǎn)共圓.證明：NEAN=ZEBN=45°,??.A、B、E、N四點(diǎn)共圓.同理可證A、D、F、M四點(diǎn)共圓.另外還可得：連接EN、MF,可得△AEN.△AMF是等腰直角三角形.BE CBE CBE CBE C結(jié)論3：M、N、F、E四點(diǎn)共圓.證明：???/MEF=NMFN,：,M、N、F、E四點(diǎn)共圓.,. ^AFAEEF-結(jié)論4：AAMNs'AFE.且-A—二一二——二工2.AMA