大學(xué)物理角動(dòng)量3

剛體的角動(dòng)量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量之和。設(shè)剛體以角速度ω繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng),Li=Δmiviri=Δmiri2ωL=(Δmiri2)ωI=Δmiri2,稱為mivirioLZ上次內(nèi)容回顧I=Δmiri2質(zhì)量連續(xù)分布剛體和轉(zhuǎn)軸有關(guān),和物體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān)上次內(nèi)容回顧質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)直棒，通過質(zhì)心C且垂直于棒的軸均質(zhì)圓盤(m,R)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上次內(nèi)容回顧

剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于剛體通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic加上剛體的總質(zhì)量M乘以兩平行軸間距離d的平方，即

I=Ic+Md2

對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)來說,剛體的角加速度與它所受到的力矩正比,與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理上次內(nèi)容回顧

剛體的進(jìn)動(dòng)—非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題例題1以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時(shí)撤去該力矩，轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,及摩擦力距。

20-Mr=I1，

1=/t1

o對(duì)m:mg-T=ma對(duì)柱：TR=I，

解得=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg例題2質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。

a=R

mg-T2=maa=R1=r2,T1R=m1R21T2r-T1r=m2r22T1T1T2mgm1m2mRr12例題3質(zhì)量m1半徑為R的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為m2半徑r的具有水平光滑軸的圓盤形定滑輪后掛有質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求當(dāng)物體m由靜止開始下落了h時(shí)，求:物體m的速度及繩中的張力。

解:

v2=2ah，例題4一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒AB，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，o軸離A端的距離為l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求棒轉(zhuǎn)過角時(shí)的角加速度和角速度。

ABoCmg

解

所以完成積分得討論:(1)當(dāng)=0時(shí)，=3g/2l，=0；

(2)當(dāng)=90°時(shí)，=0，=(3g/l)1/2。

ABoCmg例題5一質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求圓盤經(jīng)轉(zhuǎn)幾圈將停下來？

rdro計(jì)算出來摩擦力矩是關(guān)鍵rdro于是得又由2-o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時(shí)，則

I=常量

這表明：當(dāng)合外力矩為零時(shí),物體的角動(dòng)量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律說明：在慣性系下成立I=常量系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒轉(zhuǎn)軸存在運(yùn)動(dòng)的情況

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒的條件是：

系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的條件是:三大守恒定律的守恒條件

解

.ommvv例題6粗糙的水平桌面上，有一長(zhǎng)為2L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸o自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，起初桿靜止。桌面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對(duì)著桿的一端，以相同的速率v相向運(yùn)動(dòng)，并與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時(shí)間極短),如圖,求:(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？

(2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球重力造成的摩擦力矩）碰撞過程中有角動(dòng)量守恒

.ommvv

(2)由=o+t：碰撞過程中有角動(dòng)量守恒dm.oxdxfr

解

oR/2例題7勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(m/10,視為質(zhì)點(diǎn))一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),如圖所示。如果此人相對(duì)于盤以速率v、沿半徑為R/2的園周運(yùn)動(dòng)(方向與盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反),求:(1)圓盤對(duì)地的角速度;(2)欲使園盤對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤的速度大小和方向？體系初態(tài)角動(dòng)量末態(tài)盤的角動(dòng)量(2)欲使盤靜止，可令oR/2當(dāng)剛體在力矩M的作用下由角1轉(zhuǎn)到2時(shí),力矩所作的功為FZdsdrop力矩的功率是

P=dA/dt=Md/dt=M

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能之和,設(shè)剛體繞一定軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為Δmi,它到轉(zhuǎn)軸的距離為ri,它的線速度vi=riω.

相應(yīng)的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能剛體的動(dòng)能是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘以角速度平方的一半在上式兩邊同乘以d并積分得：合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。這便是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理因此剛體的機(jī)械能為：機(jī)械能守恒定律如果一個(gè)包括剛體在內(nèi)的系統(tǒng),在運(yùn)動(dòng)過程中外力功和非保守內(nèi)力功代數(shù)和為零,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒Chco

例9一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成角時(shí)的角速度和角加速度

例題10如圖所示，有一由彈性系數(shù)為k的彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，滑輪質(zhì)量為m半徑為r，該系統(tǒng)在彈簧為原長(zhǎng)時(shí)被靜止釋放。運(yùn)動(dòng)過程中繩與滑輪間無滑動(dòng)。求:(1)重物M下落h時(shí)的速度；(2)彈簧的最大伸長(zhǎng)量。

hMmrk零勢(shì)面，v=r

解

解ABORo例題11空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io,半徑為R，初始角速度為o

。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)的最高處A點(diǎn)，由于某種擾動(dòng)，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，求小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少。(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)角動(dòng)量守恒ABORo上式中的v是小球相對(duì)于地的速度，它應(yīng)為vB表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的豎直分速度(即相對(duì)于環(huán)的速度)。

機(jī)械能守恒

解

2l/3mvooA(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒：例題12長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示。有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。角動(dòng)量守恒2l/3mvooA以桿的下端點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)剛體力學(xué)小結(jié)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體的角動(dòng)量守恒定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和功剛體的機(jī)械能守恒在繼承的基礎(chǔ)上創(chuàng)新狹義振動(dòng)：物體在一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量(如電壓、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。第四章振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)廣義振動(dòng)：隨時(shí)間的變化有一定的周期性的事物盡管振動(dòng)有各種形式，但卻具有同樣的規(guī)律性，這種規(guī)律可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)本章重要性的體現(xiàn)振動(dòng)學(xué)一個(gè)基本的思路振動(dòng)疊加原理任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成是一種最基本的振動(dòng)合成的簡(jiǎn)諧振動(dòng)研究清楚了簡(jiǎn)諧振動(dòng)，再清楚了它們的合成問題，就可以研究任何復(fù)雜振動(dòng)了第一節(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)如圖所示一，彈簧振子當(dāng)振子位移為x時(shí)由牛頓定律：令于是有：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程方程的一般解為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)：相對(duì)與平衡位置的位移是時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)這樣的振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程的一般解為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義oTtx、

、ax2A

>0

<0<0>0a<0

<0

>0>0減速加速減速加速AA-A-A-2Aa位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析參量

振幅A：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值由初始條件決定能量大小的標(biāo)志周期：完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間稱為角頻率（或圓頻率）頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)例如彈簧振子系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)所決定的周期（頻率）,稱為固有周期(頻率)相位

初相位(初相)決定初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相位是決定振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量當(dāng)