第八課時(shí)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3．函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心.4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象.途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個(gè)單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數(shù)式：0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置。6．對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；對(duì)于和來(lái)說(shuō)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù).利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過(guò)恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.9．五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+）的簡(jiǎn)圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。四．【典例解析】題型1：三角函數(shù)的圖象例1．（2023浙江理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是()解析對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．答案：D例2．（2023遼寧理，8）已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=（）A.B.C.-D.答案C題型2：三角函數(shù)圖象的變換例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象.解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin2x的圖象；（2）再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sinx的圖象（3）再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。例4．(2023山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是().A.B.C.D.解析將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.答案:B【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.7.(2023山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是().A.B.C.D.解析將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選A.答案:A【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例5．已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為。（１）右圖是（ω＞0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式；（２）如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．（１）由圖可知A＝300。設(shè)t1＝－，t2＝，則周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝?！唳兀剑?50π。又當(dāng)t＝時(shí)，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，而，∴＝。故所求的解析式為。（２）依題意，周期T≤，即≤，（ω>0）∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故最小正整數(shù)ω＝943。圖點(diǎn)評(píng):本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑.圖例6．（1）（2023遼寧卷理）已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=()A.B.C.－D.解析由圖象可得最小正周期為EQ\f(2π,3)于是f(0)＝f(EQ\f(2π,3)),注意到EQ\f(2π,3)與EQ\f(π,2)關(guān)于EQ\f(7π,12)對(duì)稱所以f(EQ\f(2π,3))＝－f(EQ\f(π,2))＝答案B（2）（2023寧夏海南卷理）已知函數(shù)y=sin（x+）（>0,-<）的圖像如圖所示，則=________________解析：由圖可知，答案：題型4：三角函數(shù)的定義域、值域例7．（1）已知f（x）的定義域?yàn)椋?，1］，求f（cosx）的定義域；（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域；分析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）?！嗨蠛瘮?shù)的定義域?yàn)閧x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定義域?yàn)閧x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.例8．已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠，k∈Z}，因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（－x）==f（x）。所以f（x）是偶函數(shù)。又當(dāng)x≠（k∈Z）時(shí)，f（x）=。所以f（x）的值域?yàn)閧y|－1≤y<或<y≤2}。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性例9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。。的圖象.解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)減區(qū)間；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調(diào)增區(qū)間。∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。（2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。例10．（2002京皖春文，9）函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是（）A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）解析：A；函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.題型6：三角函數(shù)的奇偶性例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。。解析：定義域?yàn)镽，又f（x）+f（－x）=lg1=0，即f（－x）=－f（x），∴f（x）為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件。例12．（2001上海春）關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：①對(duì)任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；②不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；③存在，使f（x）是奇函數(shù)；④對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)。其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí)，該命題的結(jié)論不成立.答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時(shí)，f（x）=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2（k+1）π，k∈Z時(shí)f（x）=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+，k∈Z時(shí)，f（x）=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時(shí)，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無(wú)論為何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分.題型7：三角函數(shù)的周期性例13．求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時(shí)，y有最大值。分析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+?！郥=。當(dāng)cos4x=1，即x=（k∈Z）時(shí)，ymax=1。例14．設(shè)的周期，最大值，（1）求、、的值；（2）。解析：(1)，，，又的最大值。，①，且②，由①、②解出a=2,b=3.(2)，，，，或，即(共線，故舍去)，