《走向清華北大》高考總復(fù)習 不等式　推理與證明

第七模塊不等式推理與證明

(必修5：第三章不等式；選修1－2：第二章推理與證明)第三十一講不等關(guān)系與不等式名師指導·練基礎(chǔ)回歸課本1.不等式的定義在客觀世界中,量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的,我們用數(shù)學符號>?≥?<?≤?≠連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系,含有這些不等號的式子,叫做不等式.2.比較兩個實數(shù)的大小兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的,有a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.另外,若b>0,則有 >1a>b;=1a=b;<1a<b.注意:在應(yīng)用作差法比較實數(shù)大小時,一定要變形到能直接判斷差的符號為止,變形過程中要保持等價性.3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1:對稱性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性質(zhì)2:傳遞性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等價表示為:如果c<b,且b<a,那么c<a.性質(zhì)3:加法法則如果a>b,那么a+c>b+c.推論1:移項法則如果a+b>c,那么a>c-b.推論2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.性質(zhì)4:乘法法則如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推論1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.推論2:乘方法則如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*,且n>1).推論3:開方法則如果a>b>0,那么(n∈N*,且n>1).注意:運用上述性質(zhì)解決問題時,必須注意性質(zhì)成立的條件.如:同向不等式相乘時,注意a>b>0,c>d>0.考點陪練1.已知a≥b,則可以推出()A. B.ac2≥bc2C. D.(ac)2≥(bc)2答案:B2.“a>2且b>2”是“a+b>4,且ab>4”的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A3.若x+y>0,a<0,ay>0,則x-y的值為()A.大于0B.等于0C.小于0D.符號不能確定答案:A4.已知a,b,c滿足c<b<a,且ac<0.那么下列選項中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0答案:A答案:D名師講解·練思維類型一 用不等式表示不等關(guān)系解題準備:1.我們用數(shù)學符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式,以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號的式子,叫做不等式.2.a≤b的含義是指“或者a<b,或者a=b”,等價于“a不大于b”;a≥b的含義是指“或者a>b,或者a=b”,等價于“a不小于b”.【典例1】某汽車公司由于發(fā)展的需要需購進一批汽車,計劃使用不超過1000萬元的獎金購買單價分別為40萬元?90萬元的A型汽車和B型汽車.根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式. [反思感悟](1)將實際的不等關(guān)系寫成對應(yīng)的不等式時,應(yīng)注意實際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)的數(shù)學符號之間的正確轉(zhuǎn)換,這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系.常見的文字語言與數(shù)學符號之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表:文字語言數(shù)學符號文字語言數(shù)學符號大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤ (2)注意區(qū)分“不等關(guān)系”和“不等式”的異同，不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式則是表示不等關(guān)系的式子，對于實際問題中的不等關(guān)系可以從“不超過”、“至少”、“至多”等關(guān)鍵詞上去把握，并考慮到實際意義，本題中就容易忽視x，y∈N*.類型二 不等式性質(zhì)的應(yīng)用解題準備:不等式的性質(zhì)就其邏輯關(guān)系而言,可分為推出關(guān)系(充分條件)和等價關(guān)系(充要條件)兩類,同向可加性和同向可乘性可推廣到兩個或兩個以上的不等式,同向可乘時,應(yīng)注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性質(zhì)時,把握其邏輯關(guān)系,才能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)解決有關(guān)不等式的問題.【典例2】下列各命題是否成立?如不成立,能否適當添加條件使命題成立?(1)若ac2>bc2,則a>b;(2)若a>b,則-ac>-bc;(3)若a>b,則(4)若a>b,c>d,則ac>bd.[解](1)命題成立(2)“c<0”(3)“ab>0”(4)需添加“c>0,b>0”或“a>0且d≥0”或“c>0且b≥0”可使命題成立.對照不等式的運算性質(zhì),還可添加“b≥0且d≥0”也可使命題成立.類型三 比較大小解題準備:作差法比較大小的步驟是:作差→變形→判斷差的符號→下結(jié)論.作商法比較大小的步驟是:作商→變形→判斷商與1的大小→下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形方法主要是通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于與0或1比較大小.類型四 利用不等式的性質(zhì)求范圍解題準備:1.在處理此類問題時,嚴格根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運算法則,是正確解答此類題目的保證.2.此類問題中的參數(shù)不是相互獨立的,而是相互制約的,故不可分割開來.應(yīng)先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,最后通過“一次性”不等式關(guān)系的運算求得待定整體的范圍.這是避免此類題目出錯的一條途徑.【典例4】設(shè)f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.[分析]利用f(-1)與f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表達式中,從而用f(-1)與f(1)表示f(-2),最后運用已知條件確定f(-2)的取值范圍.此題還可用線性規(guī)劃求解.名師糾錯·補漏洞錯源 鏈式不等式組認識不到位[剖析]因為條件中有α<β,解題時往往忽略這個條件,致使解錯.在研究范圍問題時,一定要看清變量間有無內(nèi)在聯(lián)系,要確定準獨立變量,以免產(chǎn)生錯誤.名師技法·練智力技法一 平方作差法兩正數(shù)大小的比較,可用平方比較法去掉絕對值或根號.【典例1】設(shè)0<x<1,且a>0,a≠1,試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.[解題切入點]因為兩式皆正,故可采用平方作差法,去除絕對值符號.技法二化簡比較