希爾伯特黃變換

Hilbert-Huang變換主講人：第一大組組員：Hilbert,David(1862～1943)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家黃鍔中國(guó)臺(tái)灣海洋學(xué)家2000年當(dāng)選美國(guó)國(guó)家工程學(xué)院院士一、基本概念引入確定性信號(hào)：其每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的值可以用某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表唯一的確定；信號(hào)隨時(shí)間做有規(guī)律的、已知的變化（方波、正弦波）隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)隨時(shí)間做無規(guī)律、未知的隨機(jī)變化，不能用一個(gè)確切的數(shù)學(xué)公式描述，不能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)信號(hào)，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過程。1、信號(hào)的分類狹義平穩(wěn)：隨機(jī)過程的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。對(duì)任意正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)τ，n維概率密度函數(shù)滿足：平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而不同。廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程：信號(hào)的均值與方差均與時(shí)間無關(guān)；自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)：均值、方差及自相關(guān)函數(shù)等特征及頻譜隨時(shí)間變化。2、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)3、時(shí)頻分析方法在許多實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)大多是非平穩(wěn)的，其統(tǒng)計(jì)量（如均值、相關(guān)函數(shù)、功率譜等）是時(shí)變的，這時(shí)采用傳統(tǒng)的Fourier變換并不能反映信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的情況，需引入新的處理信號(hào)的數(shù)學(xué)工具，時(shí)頻表示和時(shí)頻分析是源于考慮信號(hào)的局部特性而引入的。

分析與處理平穩(wěn)信號(hào)最常用的數(shù)學(xué)工具是Fourier分析。它建立了信號(hào)從時(shí)域到頻域變換的橋梁。它表征了信號(hào)從時(shí)域到頻域的一種整體（全局）變換。例：Chirp信號(hào)（頻率成分正比于時(shí)間變化的信號(hào)）4、瞬時(shí)頻率

實(shí)測(cè)信號(hào)單分量信號(hào)瞬時(shí)頻率Hilbert譜（時(shí)頻平面）EMD分解（經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解）IMF（本征模態(tài)函數(shù)）Hilbert變換5、Hilbert-Huang變換二、Hilbert-Huang變換理論分析三、仿真波形與分析四、Hilbert-Huang變換優(yōu)勢(shì)與缺陷一、可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與希爾伯特變換可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)為：即:由傅里葉變換的頻率卷積定理，有：其傅里葉變換，即頻率響應(yīng)為：那么根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得

Hilbert變換對(duì)因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部與虛部滿足希爾伯特變換約束關(guān)系。其實(shí)部與虛部不是相互獨(dú)立的，實(shí)部可以由虛部唯一的確定，反之亦然。二、Hilbert變換假設(shè)一個(gè)時(shí)間復(fù)信號(hào)：根據(jù)時(shí)頻對(duì)偶原理，存在一個(gè)變換對(duì)：

由傅里葉變換的共軛對(duì)稱性，可知：

若令則有

同理

Hilbert變換

則可構(gòu)成解析信號(hào)：其中：那么，其瞬時(shí)頻率為：三、本征模態(tài)函數(shù)IMFHilbert變換處理實(shí)信號(hào)有局限性。對(duì)于如下二分量信號(hào)：式中A1和A2恒定，而w1和w2都為正。當(dāng)w1=10，w2=20時(shí)，分別取A1=0.2，A2=1和A1=-1.2,A2=1時(shí)，接著對(duì)x(t)作Hilbert變換，就能得到兩個(gè)條件下，x(t)的瞬時(shí)頻率-時(shí)間圖。此例說明，單分量信號(hào)進(jìn)行Hilbert變換才能得到有意義的頻率。有信號(hào)u1(t)和u2(t)，其表達(dá)式為：當(dāng)c=0.5，w0=1時(shí)，對(duì)其作Hilbert變換。很明顯，u1(t)和u2(t)的瞬時(shí)頻率皆為常量w0。此例說明，一個(gè)余弦信號(hào)，只有限制它局部對(duì)稱于零均值時(shí)，進(jìn)行Hilbert變換才能得到有意義的頻率。本征模態(tài)函數(shù)IMF的定義:a.在整個(gè)序列中，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)數(shù)目之和與過零點(diǎn)數(shù)目相等，或最多相差一個(gè)；b.在任一時(shí)間點(diǎn)上，由局部極大值點(diǎn)構(gòu)成的上包絡(luò)和由局部極小值構(gòu)成的下包絡(luò)的平均值為零，或近似為零。

本征模態(tài)信號(hào)IMF可用以下數(shù)學(xué)形式表示：當(dāng)物體以角速度沿半徑作繞原點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其在直徑上投影P的運(yùn)動(dòng)是一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：四、本征模態(tài)函數(shù)IMF的數(shù)學(xué)模型

而實(shí)際中，物體繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的半徑往往不為常數(shù)，運(yùn)動(dòng)的角速度也不均勻，則投影P的表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

其瞬時(shí)頻率為：上兩式體現(xiàn)了非平穩(wěn)信號(hào)隨時(shí)間變化的根本特征。

那么，本征模態(tài)函數(shù)，需滿足如下三個(gè)條件：EMD方法的具體過程；終止條件；IMF結(jié)果；時(shí)頻譜和邊際譜[2]具體篩選步驟如下[3]:

當(dāng)SD界于0.2一0.3之間時(shí),篩選過程終止。第二種是只要波形的極值點(diǎn)和過零點(diǎn)的數(shù)目相等時(shí)篩選過程就終止的簡(jiǎn)單準(zhǔn)則。（不滿足對(duì)稱性）EMD通過多次的移動(dòng)過程，一方面消除信號(hào)上的騎波(ridingwaves)，另一方面對(duì)高低不平的振幅進(jìn)行平滑處理，為了保證篩出的IMF在幅值和頻率上都具有足夠的物理意義,對(duì)篩選過程的次數(shù)必須有所限制。因?yàn)檫^多的篩選次數(shù)可能使IMF信號(hào)變?yōu)橐粋€(gè)常幅值的調(diào)頻信號(hào),從而使其失去物理意義。[4]Huang提出了篩法過程的兩種終止準(zhǔn)則:第一種是仿柯西收斂準(zhǔn)則,即過程停止的條件還可以描述成：（1）本征模態(tài)函數(shù)分量cn或余量rn變得比規(guī)定的預(yù)定值小時(shí)；（2）rn變成單調(diào)函數(shù)，從中再不能處理得出本征模態(tài)函數(shù)分量。EMD算法流程圖[5][3]上式給出了各幅度和頻率的時(shí)間函數(shù)。時(shí)頻譜和邊際譜[4]參考文獻(xiàn)[1]鐘佑明,秦樹人.Hibert—Huang變換中的理論研究[J].振動(dòng)與沖擊,2002,21(4):13-17.[2]劉世金.Hilbert—Huang變換及其應(yīng)用研究[J].高師理科學(xué)刊,2012,32(4):40-42.[3]李關(guān)防.希爾伯特黃變換在瞬態(tài)信號(hào)處理中的應(yīng)用[D].哈爾濱工程大學(xué),2008.[4]陳娟,邱天爽.Hilbert_Huang變換及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用[D].大連理工大學(xué),2006.[5]羅奇峰,石春香.Hilbert—Huang變換理論及其計(jì)算中的問題[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,31(6):637-640.EMD優(yōu)缺點(diǎn)EMD優(yōu)點(diǎn)EMD存在的問題EMD算法改進(jìn)

模態(tài)混疊基本模式分量篩分停止條件端點(diǎn)效應(yīng)EMD的優(yōu)點(diǎn)EMD有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）由IMF分量的一系列瞬時(shí)頻率(k=0,1,2,…,n)，可以充分反映出的瞬時(shí)頻率特征。（2）基于IMF分量的展開，可以得到一個(gè)可變幅度與可變頻率的信號(hào)描述方法，從而打破固定幅度與固定頻率的傅里葉級(jí)數(shù)展開的限制。（3）與傳統(tǒng)信號(hào)分解算法相比，最大的優(yōu)點(diǎn)是其自適應(yīng)性。EMD

方法將信號(hào)分解為若干個(gè)IMF

以及一個(gè)余項(xiàng)的和，各IMF

代表了原信號(hào)的合乎物理特征的時(shí)頻結(jié)構(gòu)，且IMF

是在分解過程中根據(jù)原信號(hào)的固有屬性自適應(yīng)地產(chǎn)生，而非在分解之前預(yù)先指定，EMD

方法不但在時(shí)間和頻率具有局部自適應(yīng)性，作為表示的基的IMFs

的結(jié)構(gòu)也是自適應(yīng)的。EMD存在的問題Hilbert-Huang變換在分析非穩(wěn)定信號(hào)時(shí)具有良好的自適應(yīng)性，信號(hào)進(jìn)行EMD分解得到的基本模式分量，能夠表現(xiàn)出信號(hào)內(nèi)在的物理意義，該方法已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。但是，與小波變換等信號(hào)處理方法相比，

Hilbert-Huang變換仍處于發(fā)展階段，其理論及算法還需要完善。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD

（EmpiricalModeDecomposition）方法是一種啟發(fā)式算法，帶有很大的經(jīng)驗(yàn)成分。它在數(shù)學(xué)上有許多根本性的問題尚未解決，主要的問題集中EMD算法改進(jìn)、模態(tài)混疊、基本模式分量篩分停止條件、端點(diǎn)效應(yīng)等四個(gè)方面。一、EMD算法改進(jìn)Hilbert-Huang變換的核心：EMDEMD分解的結(jié)果直接影響后續(xù)的信號(hào)分析結(jié)果。由于EMD在計(jì)算信號(hào)的極值包絡(luò)線時(shí)，兩次使用了三次樣條插值算法，該算法帶來的問題是包絡(luò)線的過沖和欠沖。具體改進(jìn)方法改進(jìn)方法：

1、求取信號(hào)均值包絡(luò)線的方法

余泊提出了基于信號(hào)局部特征的自適應(yīng)時(shí)變?yōu)V波分解方法；

蓋強(qiáng)等提出了極值域均值模式分解法，使用了局部信號(hào)中的所有數(shù)據(jù)，因而可以得到正確的局部均值；Chen等提出了直接采用基于極值點(diǎn)滑動(dòng)平均的B樣條函數(shù)的線性組合作為均值的方法。2、從提高樣條插值的擬合精度方法

胡勁松提出了基于高次樣條插值的EMD算法,提高算法精度；

鈡佑明等提出了基于分段冪函數(shù)法插值的EMD算法，提高擬合曲線的柔性。相關(guān)參考文獻(xiàn)[1]余泊.自適應(yīng)時(shí)頻分析方法及其在故障診斷中的應(yīng)用[博士學(xué)位論文].大連理工大學(xué)，1998.[2]蓋強(qiáng)，張海勇.一種消除局域波法中邊界效應(yīng)的新方法.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2002,42（1）：115~117.[3]ChenQH,HuangNE,XuYS.AB-splineapproachforempiricalmodedecompositions.AdvancesinComputationalMathematics,2006(24):171~19.[4]胡勁松.面向旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解時(shí)頻分析方法及實(shí)驗(yàn)研究[博士學(xué)位論文].杭州：浙江大學(xué)，2003.[5]鈡佑明，秦樹人，湯寶平.一種振動(dòng)信號(hào)新變換法的研究.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2002,15（2）：231~238.二、模態(tài)混疊模式混疊是指一個(gè)IMF（IntrinsicModeFunction）中包含差異極大的特征時(shí)間尺度，或者相近的特征時(shí)間尺度分布在不同的IMF中，導(dǎo)致相鄰的2個(gè)IMF波形混疊，相互影響，難以辨認(rèn)。模態(tài)混疊產(chǎn)生原因EMD

過程中首先需要確定信號(hào)的局部極值點(diǎn)，然后用三次樣條線將所有的局部極大值和極小值點(diǎn)分別連接起來形成上下包絡(luò)線，再由上下包絡(luò)線得到均值曲線。在求取包絡(luò)線的過程中，當(dāng)信號(hào)中存在異常事件時(shí)，勢(shì)必影響極值點(diǎn)的選取，使極值點(diǎn)分布不均勻，從而導(dǎo)致求取的包絡(luò)為異常事件的局部包絡(luò)和真實(shí)信號(hào)包絡(luò)的組合。經(jīng)該包絡(luò)計(jì)算出的均值，再篩選出的IMF

分量就包含了信號(hào)的固有模式和異常事件或者包含了相鄰特征時(shí)間尺度的固有模式，從而產(chǎn)生了模式混疊現(xiàn)象。

Huang認(rèn)為引起模式混疊現(xiàn)象的原因主要在于間歇（intermittency）現(xiàn)象，而引起間歇現(xiàn)象的往往是異常事件（如間斷信號(hào)、脈沖干擾和噪聲等）。

根據(jù)以上可知，模態(tài)混疊會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的IMF分量，從而使IMF喪失具體的物理意義。改進(jìn)方法目前解決模式混疊現(xiàn)象較好的方法是Huang提出的EEMD（EnsembleEmpiricalModeDecomposition）。通過給信號(hào)加入極小幅度白噪聲，利用白噪聲頻譜均衡分布的特點(diǎn)，用白噪聲來均衡噪聲的特性，較為理想地解決了模態(tài)混疊現(xiàn)象。EEMD的具體分解步驟如下：步驟1，向原始信號(hào)中加入白噪聲。步驟2，將添加了白噪聲的信號(hào)通過EMD算法分解為一系列的IMF。步驟3，重復(fù)步驟1、步驟2，但每次加入不同的白噪聲序列。步驟4，將每次得到的對(duì)應(yīng)IMF的集成平均值作為最終的分解結(jié)果。改進(jìn)方法其它學(xué)者提出了各種方法：趙進(jìn)平提出了一種僅適合異常干擾時(shí)段小于正常信號(hào)周期情況下的解決方法；Li提出了利用小波進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理來濾除間斷高頻信號(hào)的解決方法；……以上解決方法都是基于由間斷或噪聲引起的模態(tài)混頻，尚沒有一種解決方法能適用于所有的應(yīng)用數(shù)據(jù)?？梢?，模態(tài)混頻是EMD的一個(gè)難題，還有待更深入的研究。相關(guān)參考文獻(xiàn)[6].趙進(jìn)平.異常事件對(duì)EMD方法的影響及其解決方法研究.青島海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2001,31（6）：805~814.[7].LiHL,YangLH,HuangDR.T?h?e??s?t?u?d?y??o?f??t?h?e??i?n?t?e?r?m?i?t?t?e?n?c?y??t?e?s?t??f?i?l?t?e?r?i?n?g??c?h?a?r?a?c?t?e?r??o?f??H?i?l?b?e?r?t?–?H?u?a?n?g??t?r?a?n?s?f?o?r?m?.MathematicsandComputersinSimulation,2005,70(1):22~32.[8].宋立新，王祁，王玉靜，等.具有間斷事件檢測(cè)和分離的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2007,28（2）：178~182.[9].GaoYC,GeGT,ShengZY,etal.AnalysisandSolutiontotheModeMixingPhenomenoninEMD.CongressonImageandSignalProcessing，2008:223~227.三、基本模式分量篩分停止條件Hilbert-Huang變換中通過限制兩個(gè)連續(xù)處理結(jié)果之間的標(biāo)準(zhǔn)差的大小來實(shí)現(xiàn)。

Huang建議SD取0.2~0.3，EMD分解所得結(jié)果既能保證基本模式分量的線性和穩(wěn)定性，又能保證其包含相應(yīng)的時(shí)間特征尺度，具有合理的物理意義。但該條件是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，并未考慮到基本模式分量的定義。改進(jìn)方法Rilling對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，其中極大值、極小值包絡(luò)線的平均值為

，其基本模式分量均值的判斷由下面的物理量決定，即：式中，

為極大值包絡(luò)線，

為極小值包絡(luò)線。相應(yīng)的篩分停止條件有兩個(gè)：（1）滿足

的時(shí)刻個(gè)數(shù)與全部持續(xù)時(shí)間之比不小于

一般取=0.05，

=0.05（2）對(duì)每個(gè)時(shí)刻t,有，能更好反應(yīng)基本模式分量的均值特性，且兩個(gè)條件相互補(bǔ)充，使得信號(hào)只能在某些局部出現(xiàn)較大的波動(dòng)，從而保證了整體均值為零。在EMD中，當(dāng)分解得到的殘余信號(hào)為單調(diào)信號(hào)或者其波峰、波谷少于兩個(gè)時(shí)即可停止，但該問題仍需進(jìn)一步研究。四、端點(diǎn)效應(yīng)原因：EMD分解中樣條插值的端點(diǎn)效應(yīng)，在“篩選”過程中你和信號(hào)上下包絡(luò)的3次樣條函數(shù)在端點(diǎn)處擬合點(diǎn)的不