數(shù)值分析(例題)

§2ErrorandSignificantDigits

例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159?！?ErrorEstimationforFunctions例：計(jì)算y=lnx。若x

20，則取x

的幾位有效數(shù)字可保證y

的相對誤差<0.1%?解：設(shè)截取

n

位有效數(shù)字后得x*

x，則估計(jì)x

和y

的相對誤差上限滿足近似關(guān)系不知道怎么辦??？x

可能是20，也可能是19，取最壞情況，即a1=1。n4例：計(jì)算，取4

位有效數(shù)字，即,則相對誤差§1Introduction定理(唯一性)滿足次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式是唯一存在的。證明：(另一證法）反證：若不唯一，則除了pn(x)

外還有另一n

階多項(xiàng)式Ln(x)滿足Ln(xi)=yi

?？疾靹tQn

的次數(shù)nn+1x0…xn而Qn有個(gè)不同的零點(diǎn)注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式?！?Newton’sInterpolation三階差商二階差商一階差商差商計(jì)算可列差商表如下§3Newton’sInterpolation12…………n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)ci=

f[x0,…,xi]

插值余項(xiàng)/*Remainder*/注：

由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即HWp.50#6,#8,#90.410750.578150.696750.888110.400.550.650.80例已知函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值如下,用Newton插值的值.法求§3Newton’sInterpolation例已知數(shù)值表如下，分別用向前、向后Newton插值公式求sin0.57891的近似值。x0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.564640.64422解：作差分表-0.00083-0.00480-0.005630.090010.085210.079580.389420.479430.564640.644220.40.50.60.7sinxx§3Newton’sInterpolation使用向前插公式，取x0=0.5，x1=0.6,x2=0.7,x=x0+th,h=0.1,t=(x-x0)/h=0.7891,于是誤差故若用向后插公式，則可取x0=0.6，x-1=0.5,x-2=0.4,x=x0+th,t=-0.2109,于是§3Newton’sInterpolation誤差故§3Newton’sInterpolation例.

已知數(shù)據(jù)表求滿足自然邊界條件的三次樣條函數(shù)并計(jì)算的近似值。解：作差商表§6CubicSpline由自然邊界條件得，故有在上式中，令,得解此方程組得可以求得其中

HW:p.50#15,#16§6CubicSpline這里實(shí)際上要求的是(0,1)上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式于是法方程組的系數(shù)矩陣為Hilbert陣！記,則的解即為所求.

例定義內(nèi)積，試在中尋求對于的最佳平方逼近元素。解§2Least_SquaresApproximationD.Hilbert(1862-1943)德國數(shù)學(xué)家19世紀(jì)、20世紀(jì)初最著名的數(shù)學(xué)家之一Hilbert空間、著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問題Hilbert矩陣(1894)解得，所求的最佳平方逼近元素為平方誤差

對于一般的基底，當(dāng)稍大時(shí)，計(jì)算法方程組中的以及求解法方程組的計(jì)算量都是很大的，若采用作基底，當(dāng)時(shí)，雖然容易計(jì)算，但由此形成的法方程組系數(shù)矩陣當(dāng)時(shí)是病態(tài)矩陣，用單字長在計(jì)算機(jī)上求解法方程組，其結(jié)果往往不太可靠，如何解決？。注意看法方程組若要法方程非對角線上元素為零，應(yīng)怎么??？為此，我們先介紹正交多項(xiàng)式可采用正交基底.得法方程組為§2Least_SquaresApproximation§3收斂性與穩(wěn)定性/*ConvergencyandStability*/

收斂性/*Convergency*/定義若某算法對于任意固定的x=xn=x0+nh，當(dāng)h0

(同時(shí)n)時(shí)有yn

y(xn

)，則稱該算法是收斂的