matlab實現連續(xù)計息問題

實驗報告課程名稱：數學實驗實驗名稱：連續(xù)計息問題實驗目的、要求：加深對極限、微分求導、極值等基本概念的理解。討論了微分學中的實際應用問題。掌握MATLAB軟件中有關極限、級數、導數等命令。實驗儀器：安裝有MATLAB軟件的計算機實驗步驟：一、實驗內容1內容若銀行一年活期年利率為廠，那么儲戶存10萬元的人民幣，一年到期后結算額為10X(1+廠)萬元。如果銀行允許儲戶在一年內可任意次結算，在不計利息稅的情況下，若每三月結算一次，由于復利，儲戶存的10萬元一年后可得10X(1+廠/4)4萬元，顯然這比一年結算一次要多，因為多次結算增加了復利。結算越頻繁，獲利越大。現在我們已進入電子商務時代，允許儲戶隨時存款或取款，如果一個儲戶連續(xù)不斷存款取款，結算本息的頻率趨于無窮大，每次結算后將本息全部存入銀行，這意味著銀行要不斷地向儲戶支付利息，稱為連續(xù)復利問題。連續(xù)復利會造成總結算額無限增大嗎？隨著結算次數的無限增加，一年后該儲戶是否會成為百萬富翁？如果活期存款年利率為2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定為多少才是等價的？—些基本概念極限、連續(xù)、微分、導數、taylor公式等。求極限、導數和MATLAB命令求函數的極限，使用命令limitlimit(F,x,a)返回符號表達式F當x—a時的極限；.limit(F,x,a,'right')返回符號表達式F當x—a時的右極限；limit(F,x,a,'left')返回符號表達式F當x—a時的左極限。求函數的導數和Taylor展開式，可使用命令diff、polyder和Taylor=diff(X)返回向量X的差分；=diff(X,n)返回向量X的n階差分；diff(S,'v')返回符號表達式S對變量v的導數；diff(S,'v',n)返回符號表達式S對變量v的n階導數；k=polyder(p)返回多項式p的導數；k=polyder(a,b)返回多項式aXb的導數；r=taylor(f,n,v,a)返回符號表達式f關于變量v在a點處Taylor展開到n次式;有關上述命令的詳細用法可查閱MATLAB幫助。二、實驗結果1?弓I例問題的分析求解一般地，設儲戶結算結算頻率為n，年利率為廠，第k次結算本息的結算額為a，那k么可以得到下列差分方程ra=(1+ )a，a=100000TOC\o"1-5"\h\zk n k-1 0對上述差分方程化簡，得ra=100000(1+ )n\o"CurrentDocument"n n隨著結算次數的無限增加，即在上式中n-a，故一年后本息共計：r\o"CurrentDocument"lim100000(1+ )nnnTg在MATLAB命令窗口輸入下述命令：>>symsn>>a=limit(100000*(1+0.029/n)An,n,inf)a=1.0294e+005可見，隨著結算次數的無限增加，一年后本息總和將穩(wěn)定于1.0294e+005元，儲戶并不能通過該方式成為百萬富翁，實際上，年利率為r,>>symsnr>>a=limit(100000*(1+r/n)An,n,inf)a=100000*exp(r)一年結算無限次，總結算額有一個上限，即100000*exp(r)元，它表明在n-a時，結果將穩(wěn)定于這個值。我們把連續(xù)活期存款利率作為連續(xù)復利率，r=2.9%，設一年定期的年利率為r，那么0應有1+r=er0從而有r=erj—1=2.94%同理，三年定期的年利率為r=(e3r°—1)/3=3.03%相應，十年定期的年利率為r=(e10r°—1)/10=3.36%

一般情況下，銀行的定期利率要更高，以鼓勵長期定期存款。2.練習題本世紀初，瘟疫還常常在某些地區(qū)流行?，F假設有這樣一種傳染病。任何人得病后，在傳染期內不會死亡，且最初設有a人患病，年平均傳染率為k，治愈率為i,若一年內等時間間隔檢測n次，則一年后患病人數為多少？檢測次數無限增加，一年后傳染病人數會無限增加嗎？結果如下(程序，結果)：解：一般地，設檢測頻率為n，年平均傳染率為k，治愈率為i，第r次檢測的患病人數為a,rki=ki=(1+ )(1—)a，a=an r—1 0aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"r nk i則一年后患病人數是a(1+ )(1——)。\o"CurrentDocument"n na=a=a(1+-)nn n(1--)n

n隨著檢測次數的無限增加，即在上式中n-a，故一年后傳染病人數為:TOC\o"1-5"\h\zk i\o"CurrentDocument"lima(1+ )n(1— )nn nnTg在MATLAB命令窗口輸入下述命令：>>sjrnisnaki>>z=limit(a*(1+k/n)"n*(1-i/n)"n,n,inf)esp(k)/eKp(i)*a可見，隨著檢測的無限增加，一年后患病人數將穩(wěn)定于exp(k)/exp(i)*a人，它表明在nfa時,結果將穩(wěn)定于這個值。假設傳染率為0.005,治愈率為0.006，相應的MATLAB代碼為：>>clear;>>symsn?fora=10000:5000:30000limit(a*(1+0.005/n)"n*(1-0.006/n)"n』n』inf)end得出結果為：x=10000*exp(-1/1000)；x=15000*exp(-1/1000)；x=20000*exp(