2022年全國(guó)甲卷理科高考數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）壓軸真題解讀11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【命題意圖】本題主要考查正弦函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，屬于中檔題．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，不能滿足在區(qū)間極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以；函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，，，，求得，故選：．【解后反思】1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx＋φ視為一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.2.方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).12．已知，則（

）A． B． C． D．【命題意圖】考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，考查函數(shù)的單調(diào)性【答案】A【解析】因?yàn)?因?yàn)楫?dāng)所以,即,所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A【規(guī)律總結(jié)】1.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.16．已知中，點(diǎn)在邊上，，，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【命題意圖】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題【答案】【解析】設(shè)，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，【易錯(cuò)】忽視基本不等式成立的條件20．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（1）求的方程；（2）設(shè)直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．【命題意圖】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，得，可知，．則在中，，得，解得．則的方程為；（2）要使取得最大值，則最大，且知當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)，為正才能達(dá)到最大，又，設(shè)，，，，，，，，由（1）可知，，則，又、、三點(diǎn)共線，則，即，，得，即；同理由、、三點(diǎn)共線，得．則．由題意可知，直線的斜率不為0，不妨設(shè)，由，得，，，則，，則，可得當(dāng)時(shí)，最大，最大，此時(shí)的直線方程為，即，又，，的方程為，即．21．已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．【命題意圖】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，即構(gòu)造函數(shù)證明不等式恒成立問(wèn)題，屬于較難題目．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，令，解得，故函?shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故（1），要使得恒成立，僅需，故，故的取值范圍是，；（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1），即，不妨設(shè)，要證明，即證明，，，即證明：，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，即證明：，構(gòu)造函數(shù)，，，令，，，（1），所以在上遞增，又因?yàn)椋?，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?），故（1），故，即．得證．【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).壓軸模擬專練1．（2022·湖南長(zhǎng)沙市·雅禮中學(xué)高三月考）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，∴，∴，∴故選：D2．（2022·湖北襄陽(yáng)五中高三模擬）若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得，令，解得即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又由函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，則的最大值為.故選：A.3．（2022·河北石家莊二中高三模擬）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以中最大，又，所以，所以．故選：C．4．（2022·河南鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，又函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，即，所以，是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，又，，所以，所以，；故選：C．5．（2022·山東省青島二中高三模擬）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若的面積為2，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取到最小值時(shí)，______．【答案】【解析】由題意得，因?yàn)?，則，由余弦定理，得，即，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)a最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)，所以當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取到最小值時(shí)，．故答案為：6．（2022·山東棗莊滕州一中高三模擬）銳角的內(nèi)角所對(duì)邊分別是a，b，c且，，若A，B變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍______．【答案】【解析】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是銳角三角形，，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，滿足解得：.故答案為：.7．（2022·江蘇常州高級(jí)中學(xué)高三模擬）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線T上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的外接圓與拋物線T的準(zhǔn)線相切，且該圓周長(zhǎng)為.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)A，B，C都在拋物線T上，若是以AC為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.【解析】(1)因?yàn)?，所以的外接圓圓心在直線上，又外接圓與準(zhǔn)線相切，所以半徑為所以周長(zhǎng)為，所以故拋物線方程為(2)設(shè)點(diǎn)，，，直線AB的斜率為，因?yàn)椋瑒t直線BC的斜率為.因?yàn)?，則，得，①因?yàn)椋瑒t，得，②因?yàn)?，則，即，③將②③代入①，得，即，則，所以因?yàn)?，則，又，則從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為32.8．（2022·濟(jì)南市·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.【解析】(1)由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，所以，則，即，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)，，，∵與互補(bǔ)，∴，所以，化簡(jiǎn)整理得①，設(shè)直線PQ為，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡(jiǎn)整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，∴PQ的方程為，且由②可得，，即，由點(diǎn)到直線PQ的距離，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積S最大值為.9．（2022·四川省仁壽第一中學(xué)校北校區(qū)高三月考）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，由已知得在處的切線的斜率為，則，即，解得；(2)由（1）得，則，∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設(shè)，則，∴只需或，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；(3)證明：由題意可知，，∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，，∴，是的兩個(gè)根，則，∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立．10．（2022·河南鄭州一中高三月考）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)