應(yīng)力與應(yīng)力狀態(tài)分析

應(yīng)力與應(yīng)力狀態(tài)分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸時(shí)的彈性，其計(jì)算公式如下：拉伸模量〔/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)f表示單位面積兩點(diǎn)之間的力變化，△h表示以上兩點(diǎn)之間的應(yīng)變化。更具體地說(shuō)，△h＝〔L-L0〕/L0，其中L0表示拉伸長(zhǎng)前的長(zhǎng)度，L表示拉伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度?！?-1 幾組根本術(shù)語(yǔ)與概念一、變形固體的根本假設(shè)1、均勻連續(xù)性假設(shè)：假設(shè)在變形固體的整個(gè)體積內(nèi)均勻地、毫無(wú)空隙地布滿著物質(zhì)，并且各點(diǎn)處的力學(xué)性質(zhì)完全一樣。點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。2、各向同性假設(shè)：假設(shè)變形固體在全部方向上均具有一樣的力學(xué)性質(zhì)。3、小變形假設(shè)：認(rèn)為構(gòu)件的變形與構(gòu)件的原始尺寸相比及其微小。件的變形而按構(gòu)件的原始外形、尺寸進(jìn)展計(jì)算。二、應(yīng)力的概念1、正應(yīng)力的概念分布內(nèi)力的大小〔或稱分布集度〕，應(yīng)力。由于內(nèi)力是矢量，因而應(yīng)力也是矢量，其方向就是分布內(nèi)力的方向。沿截面法線方向的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用希臘字母σ表示。a/米〔N/m21N/m2稱為1a

/米

KN/m2，a1KN/m21KPa

P〕，此外還有更大的單位兆帕〔Ma

P〕、吉帕〔Ga〕。幾種單位的換算關(guān)系為：aa

103P=a=

=103KP

=103MP

=106KP

109P=a=aaaaa2、切應(yīng)力與全應(yīng)力的概念aaaaa與截面相切的應(yīng)力重量稱為切應(yīng)力，用希臘字母τ表示。K點(diǎn)處某截面上的全應(yīng)力pKK與切應(yīng)力K的矢量和。三、位移、變形及應(yīng)變的概念變形：構(gòu)件的外形和尺寸的轉(zhuǎn)變。位移：構(gòu)件軸線上點(diǎn)的位置變化和截面方位的轉(zhuǎn)變。的變形引起的，溫度變化、支座移動(dòng)等也會(huì)使構(gòu)造產(chǎn)生位移。單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)截取出來(lái)的邊長(zhǎng)為無(wú)限小的正六面體。應(yīng)變：描述單元體變形程度的幾何量，包括線應(yīng)變和角應(yīng)變兩類。線應(yīng)變〔正應(yīng)變〕ε：?jiǎn)卧w線性尺寸的相對(duì)轉(zhuǎn)變量。ε=Δu/u角應(yīng)變〔切應(yīng)變〕γ：?jiǎn)卧w上直角的轉(zhuǎn)變量。γ=90°-θσ與正應(yīng)變?chǔ)纽优c切應(yīng)變?chǔ)孟嗷?duì)應(yīng)。四、受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)的概念構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，是指通過(guò)該點(diǎn)的各個(gè)不同方位截面上的應(yīng)力狀況的總體。是必需的。為了爭(zhēng)論一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)主平面：?jiǎn)卧w上沒(méi)有切應(yīng)力的面稱為主平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力?！布纯隙ù嬖谥鲉卧w，因而每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著三個(gè)主應(yīng)力。一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力分別用σ1,σ2和σ3按應(yīng)力代數(shù)值的大小挨次排列，即σ1≥σ2≥σ3。于桿件，通常用一對(duì)橫截面和兩對(duì)相互垂直的縱截面截取原始單元體。主單元體：各面上沒(méi)有切應(yīng)力的單元體稱為主單元體。應(yīng)力狀態(tài)的分類：空間〔三向〕應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零平面〔二向〕應(yīng)力狀態(tài)：一個(gè)主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力為零正應(yīng)力。了二向純剪應(yīng)力狀態(tài)之外的其他二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)。五、切應(yīng)力互等定理都指向或都背離公共棱邊，并且大小相等。六、應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系試驗(yàn)說(shuō)明，當(dāng)只要桿件處于線彈性階段〔應(yīng)力不超過(guò)肯定限度與主應(yīng)變之間以及切應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在肯定的關(guān)系，這種關(guān)系統(tǒng)稱為胡克定律。另一種表達(dá)形式；剪切胡克定律；廣義胡克定律。留意：全部胡克定律的適用條件均為：材料處于線彈性階段。單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是廣義虎克定律的一種特例。1、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律σ方向的線應(yīng)變?chǔ)排c正應(yīng)力σ之間存在如下的正比關(guān)系：σ=Eεx x式中比例常數(shù)E稱為材料的彈性模量，其常用單位為GPa。彈性模量E只與材料的種類有關(guān)，它屬于材料的彈性常數(shù)。單向應(yīng)力狀態(tài)下橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間的關(guān)系：泊松比μ也屬于材料的彈性常數(shù)，它也只與材料的種類有關(guān)。2、軸向拉壓桿胡克定律的另一種表達(dá)形式Fll NEA軸力為常數(shù)時(shí)，只要桿件處于彈性狀態(tài)〔正應(yīng)力不超過(guò)肯定限度成正比，與桿段原長(zhǎng)成正比，與桿件橫截面積成反比，比例系數(shù)即材料的彈性模量。3、剪切胡克定律τ引起的角應(yīng)變?chǔ)门c切應(yīng)力τ之間存在如下的正比關(guān)系：τ =Gγ式中比例常數(shù)G稱為材料的剪切彈性模量〔又稱為切變模量，其常用單位為GPa。剪切彈性模量G只與材料的種類有關(guān)，它屬于材料的彈性常數(shù)。4、廣義虎克定律1 2 3 1 2 三向應(yīng)力狀態(tài)下主單元體沿三個(gè)主應(yīng)力、 、 方向的線應(yīng)變分別用、 、表示，這種沿主應(yīng)力方向的線應(yīng)變稱為主應(yīng)變(principalstrain1 2 3 1 2 對(duì)于各向同性材料，在應(yīng)力不超過(guò)其比例極限時(shí)，可以用疊加法來(lái)求其主應(yīng)變。1E

2

3 E 1

3

3 E 3 1 2律只有在應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)才能使用。1使用上式時(shí)，其中的1

、2

、3

應(yīng)以代數(shù)值代入，求的

、2

、3

中，正值表示伸1 2 1長(zhǎng)，負(fù)值表示縮短，三個(gè)主應(yīng)變?nèi)园创鷶?shù)值大小挨次排列，1 2 11、2、3相應(yīng)的改為x、y、z，等式仍舊成立，即： 1x E x

y

Eyy 1Eyy 1z E z

zzx

x xyx 應(yīng)留意按上式求出的應(yīng)變 、y、 x 在三向應(yīng)力狀態(tài)下，切應(yīng)力和切應(yīng)變之間也有肯定關(guān)系，即Gτ = γGxy xyτ =Gγyz yzτ =Gγzx zx方程；在試驗(yàn)應(yīng)力分析中，依據(jù)某點(diǎn)處測(cè)出的應(yīng)變，可以計(jì)算主應(yīng)力或正應(yīng)力、切應(yīng)力。5、彈性常數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系對(duì)各向同性材料可以證明，彈性常數(shù)E、G、μ存在如下關(guān)系G E2(1)32§4-2 軸向拉壓桿與受扭桿橫截面上的應(yīng)力一、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力〔壓〔壓F且正應(yīng)力相等。設(shè)軸向拉〔壓〕桿橫截面上軸力為N，面積為A，則橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為F NAN 軸力F 為拉力時(shí)，正應(yīng)力取正號(hào)；F 為壓力時(shí)，N 1MP 106P 106N/m2由于 a a

/MP位換算為N，長(zhǎng)度單位換算為mm，得到的應(yīng)力單位就是 a。二、應(yīng)力集中的概念等直桿不管受軸向拉力作用還是受軸向壓力作用力，但是，假設(shè)等直桿件橫截面有局部減弱的狀況〔如開(kāi)槽、鉆孔等，即使外力仍是軸向拉壓，被減弱橫截面上的正應(yīng)力也不再均勻分布。實(shí)測(cè)說(shuō)明，在被減弱橫截面上，靠近減弱部位的正應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。三、圓截面扭轉(zhuǎn)桿橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律及其計(jì)算也就是說(shuō)，只發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的圓軸橫截面上有且只有切應(yīng)力。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為()MxIPIP稱為截面的極慣性矩。對(duì)于受扭圓軸，其橫截面上切應(yīng)力在圓軸邊緣處到達(dá)最大，即： M

x

Mxrmax I IrP PIW假設(shè)令 P

PrWP稱為抗扭截面系數(shù)，則又有MI Wp、p的計(jì)算

xmax WP對(duì)于直徑為d的圓截面桿：I d4P 32

W d3P 16

d對(duì)于空心圓截面桿，其內(nèi)徑為d，外徑為D，內(nèi)外徑比值 D，有I P 32

d432

32

4)

D3W P 16

(14)四、矩形截面自由扭轉(zhuǎn)桿的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力但在薄壁截面桿中，卻不能無(wú)視。1、矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力存在，長(zhǎng)邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力是整個(gè)橫截面上的最大切應(yīng)力。2、開(kāi)口薄壁截面桿的扭轉(zhuǎn)合的線，這種桿稱為開(kāi)口薄壁截面桿；假設(shè)中線是一條閉合線，這種桿稱為閉口薄壁截面桿。變形性能比開(kāi)口薄壁截面好?！?-3 截面的幾何性質(zhì)一、爭(zhēng)論截面幾何性質(zhì)的意義面的幾何性質(zhì)有關(guān)。爭(zhēng)論桿件的應(yīng)力與變形，爭(zhēng)論桿件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問(wèn)題，都要涉及慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積等。二、形心、靜矩及其相互關(guān)系定義以下積分：S zdAy A

S ydAz Ayz軸的靜矩，其單位為m3。c z c y 圖形幾何外形的中心稱為形心可以將面積看作垂直于圖形平面的均勻分布力則形心即為合力的作用點(diǎn)。設(shè)y、z為形心坐標(biāo)，依據(jù)合力矩定理有：S yA；S c z c y 由上述定義可以得出結(jié)論：正，對(duì)有些為負(fù)；對(duì)于通過(guò)形心的坐標(biāo)軸為零。假設(shè)已經(jīng)計(jì)算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，假設(shè)形心位置，就可以計(jì)算圖形的靜矩。z y z y 圖形〔可以直接確定形心位置的圖形；然后由式SyA及SzA分別計(jì)算它們SyASzz y z y 三、慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑I定義以下積分：y

z2dA IA 、z

y2dAA yz軸的截面慣性矩。I定義積分P

2dAA

為圖形對(duì)于點(diǎn)O的極慣性矩。I定義積分yz

yzdAA

為圖形對(duì)于

y、z

兩個(gè)坐標(biāo)軸的慣性積。i y

i IyAIzA，z y、zIyAIzA由上述定義可知：1、慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置的不同，可能為正，也可能為負(fù)。三者的單位均為m4或mm4。2、由于2

y2，所以由上述定義有：I 2dA(y2z2)dAI IP A A y z3、依據(jù)極慣性矩的定義，可以計(jì)算出圓截面對(duì)于其形心的極慣性矩為：4 πR4I I P 32或P 2dR為圓的半徑。類似地，還可以得到圓環(huán)截面對(duì)于圓環(huán)中心的極慣性矩為：πD4 dI (14) P 32 DdD4-3-3所示。4．依據(jù)慣性矩的定義，可以計(jì)算出圓截面對(duì)于通過(guò)其形心的任意軸慣性矩為：d4I I Z y 64對(duì)于內(nèi)徑為dD的圓環(huán)截面D4 dI I (14) Z y 64 D對(duì)于坐標(biāo)軸過(guò)形心點(diǎn)且分別平行于兩邊的矩形截面，其慣性矩為：I bh3，IZ 12

hb312可以看出，應(yīng)用定義進(jìn)展積分，可以計(jì)算各種簡(jiǎn)潔圖形對(duì)于給定坐標(biāo)軸的慣性矩。式計(jì)算慣性矩；而是利用簡(jiǎn)潔圖形的慣性矩計(jì)算結(jié)果以及圖形對(duì)于平行軸慣性矩之間的關(guān)系，由求和的方式求出。四、慣性矩平行移軸公式1、圖形對(duì)于任意軸的慣性矩，等于圖形對(duì)于與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。2、由于面積及包含a2、b2是增加的。六、主慣性軸與形心主慣性軸、主慣性矩與形心主慣性矩定義簡(jiǎn)稱主慣性矩。對(duì)于通過(guò)形心的主軸稱為形心主軸工程計(jì)算中有意義的是形心主軸與形心主矩。當(dāng)圖形有一根對(duì)稱軸時(shí)，對(duì)稱軸及與之垂直的任意軸即為過(guò)二者交點(diǎn)的主軸?！?-4 梁橫截面上的應(yīng)力彎曲是桿件的根本變形形式之一。梁平面彎曲時(shí)橫截面上一般既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。一、梁橫截面上的正應(yīng)力橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的梁段叫做純彎曲橫力彎曲梁段。〔一〕純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力變化的。所以，其間必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)，也不縮短，該層稱中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸將梁的橫截面分成了兩個(gè)區(qū)域，中性軸以上的為受壓區(qū)，中性軸以下為受拉區(qū)。My梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式： Iz由上式知，梁橫截面面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力，與截面上的彎矩M和該點(diǎn)到中性軸的y成正比，而與截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz成反比?！捕痴龖?yīng)力公式的適用條件由正應(yīng)力計(jì)算公式〔9-4〕式的推導(dǎo)過(guò)程可知，它的適用條件是：①純彎曲梁；②梁的最大正應(yīng)力不超過(guò)梁所用材料的比例極限P；由矩形截面推導(dǎo)出的公式9-T面形式的梁。橫力彎曲是彎曲問(wèn)題中最常見(jiàn)的狀況，在這種狀況下，梁橫截面上不僅有正應(yīng)力存l/h有關(guān)，跨高比l/hl/h>5純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。對(duì)于T是對(duì)稱軸。中性軸為對(duì)稱軸時(shí)，tmax與Cmax|M|max中性軸為非對(duì)稱軸時(shí)，LtmaxCmaxM+maxM-max在的截面上。二、梁橫截面上的切應(yīng)力〔一〕矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律兩個(gè)假設(shè)：截面上任何點(diǎn)處的切應(yīng)力方向與橫截面的側(cè)邊平行，與剪力同向；切應(yīng)力沿橫截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離處的各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。h大于寬度b的矩形截面導(dǎo)出切應(yīng)力的計(jì)算公式。FS*Q zIbz這就是彎曲切應(yīng)力的一般表達(dá)式。zs為橫截面上所求切應(yīng)力作用點(diǎn)的水平橫線以下〔或以上〕局部截面積對(duì)中性軸的面FQ為所要求切應(yīng)力橫截面上的剪力；b為所求切應(yīng)力點(diǎn)處的截面厚度；Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。z對(duì)矩形截面梁

6F bh3

h2( -y2)4

?？梢?jiàn)，矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律分布，上下邊緣點(diǎn)處切應(yīng)力為零，中性軸處切應(yīng)力最大。二、工程中常用截面的最大彎曲切應(yīng)力矩形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力3F 3F

F3 Q3

max

bh 2A工字形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力FS*擔(dān)。對(duì)于腹板上的切應(yīng)力仍可由公式

Q zIzb 計(jì)算，腹板上的最大切應(yīng)力可由下式計(jì)算Fb為工字鋼板厚度。

Qb(b(I)ZSZmax圓形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力R的圓截面梁，其最大切應(yīng)力為：4F 4F

F4 Q4

4max

A 3§4-5平面應(yīng)力狀態(tài)分析確定通過(guò)該點(diǎn)其他截面上的應(yīng)力，進(jìn)而確定主應(yīng)力和主平面。一、任意方向面上的應(yīng)力 x y

xy

2 2 cos2 xsin2 x y＝ 2 sin2xcos2單元體上任意兩個(gè)相互垂直方向面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。二、主應(yīng)力和主平面主平面的方位角0按下式計(jì)算：2x主應(yīng)力計(jì)算公式：

tg20

x y( x2y)( x2y)22xi x yj 2 將由上式求得的兩個(gè)主應(yīng)力i、j與單元體零應(yīng)力面上的零值主應(yīng)力比較，便可確定1三個(gè)主應(yīng)力、2和3。1三、應(yīng)力圓應(yīng)力圓繪制在以σ為橫坐標(biāo)，τ〔

x y2 (( x2y)22x⒉應(yīng)力圓的作圖方法取OB1=xB1Dx=xDx；同理，量取橫坐標(biāo)OB2=y，縱坐標(biāo)B2Dy=yDy〔4-5-3b〕；連DxDy，與軸交于C點(diǎn)，以CCDx〔或CDy〕為半徑作圓，即得單元體對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓。⒊應(yīng)力圓的應(yīng)用⑴確定單元體任意斜截面上的應(yīng)力假設(shè)欲求單元體Dx點(diǎn)依據(jù)單元體上角的轉(zhuǎn)向沿圓周轉(zhuǎn)2角至EE面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力圓與單元體存在著如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：①點(diǎn)面對(duì)應(yīng)——應(yīng)力圓圓周上任一點(diǎn)的橫應(yīng)力和切應(yīng)力。圓上任始終徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著單元體上相互垂直的兩個(gè)平面上的應(yīng)力。截面外法線之間的夾角的兩倍，而且二者的轉(zhuǎn)向一樣。利用應(yīng)力圓解題的關(guān)鍵是：點(diǎn)面對(duì)應(yīng)，先找基準(zhǔn)。假設(shè)應(yīng)力圓上以Dx點(diǎn)為基準(zhǔn)，則單元體上應(yīng)以x〔2〕確定主應(yīng)力的大小和主平面的位置應(yīng)力圓與A1A2兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著單元體上的兩個(gè)主平面的主應(yīng)力大小。DxDx點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)至A1〔A2〕20〔2090〕，x 45 準(zhǔn)，由其外法線x以一樣的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)角度0〔0

〕，這樣就確定了

i〔或j〕所在主iA1點(diǎn)到A2點(diǎn)所對(duì)圓心角為180，則在單元體上，兩個(gè)主應(yīng)力和j所在主平面的外法線之間的夾角為90，說(shuō)明兩個(gè)主平面相互垂直。i 由確定主平面位置的解析式解出的兩個(gè)角度0和0/=0 ，分別代表著i和j的方向。假設(shè)僅用解析式計(jì)算時(shí)，哪個(gè)角代表

i的方向，哪個(gè)角代表

j的方向，還需加以判 斷。經(jīng)分析可知，較大的主應(yīng)力i總是偏向于x和y之中的較大者；較小的主應(yīng)力j總 是偏向于x和y之中的較小者。當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，0

45，主應(yīng)力方向可直接由單元體45大”。§4-6受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的最大應(yīng)力通過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)處的最大正應(yīng)力max和最大切應(yīng)力max，都可以由該點(diǎn)的最1大主應(yīng)力1

和最小主應(yīng)力3

max

也就是最大主應(yīng)力1，最大切應(yīng)力max為最大應(yīng)力圓的半徑，即：max1max

1 32最大切應(yīng)力max所在平面與2平行，且與1和3所在的主平面各成45角。上述結(jié)論同樣適用與單向和二向應(yīng)力狀態(tài)?！?-7各種根本變形桿件的應(yīng)力狀態(tài)一、軸向拉壓桿件的應(yīng)力狀態(tài)分析軸向拉伸桿件內(nèi)任一點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。軸向拉壓桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，該截面上不存在切應(yīng)力。軸向拉壓桿件的最大切應(yīng)力發(fā)生在45°斜截面上，該斜截面上同時(shí)存在正應(yīng)力。軸向拉壓桿件縱