數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美滄源縣芒卡鎮(zhèn)中心完小張瑞【摘要】對(duì)稱是一個(gè)廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大。對(duì)稱是自然界和人類社會(huì)中普遍存在的形式之一，是其運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的規(guī)律之一；對(duì)稱是一個(gè)廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大；對(duì)稱是指圖形或事物對(duì)某點(diǎn)，某直線或某平面而言，在大小、形狀或排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)學(xué)則是它的根本。對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的最重要的特征。【關(guān)鍵詞】對(duì)稱；對(duì)稱性；數(shù)學(xué)美；對(duì)稱美對(duì)稱是自然界和人類社會(huì)中普遍存在的形式之一，是其運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的規(guī)律之一；對(duì)稱是一個(gè)廣闊的主題，在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大；對(duì)稱是指圖形或事物對(duì)某點(diǎn)，某直線或某平面而言，在大小、形狀或排列上具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)學(xué)則是它的根本。雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到善和美，但善和美也不能完全和數(shù)學(xué)分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃?、勻稱和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！獊喞锸慷嗟隆?】在數(shù)學(xué)中對(duì)稱的概念略有拓廣，常把某些具有關(guān)聯(lián)或?qū)α⒌母拍钜暈閷?duì)稱，這樣對(duì)稱美便成了數(shù)學(xué)美中的一個(gè)重要組成部分。同時(shí)也為人們研究數(shù)學(xué)提供了某些啟示。對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征；是數(shù)學(xué)家追求的目標(biāo)；也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中的重要的美學(xué)因素。著名德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾說(shuō)：“美和對(duì)稱緊密相連?！薄?】由于現(xiàn)實(shí)中處處有對(duì)稱，既有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等的空間對(duì)稱，又有周期、節(jié)奏和旋律的時(shí)間對(duì)稱，還有與時(shí)空坐標(biāo)無(wú)關(guān)的更為復(fù)雜的對(duì)稱。作為研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)，自然會(huì)滲透著圓滿和自然的對(duì)稱美。例如，函數(shù)與反函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱；代數(shù)中的代數(shù)式化簡(jiǎn)時(shí)的共軛因子；多項(xiàng)式方程虛根的成對(duì)出現(xiàn)；線性方程組的克萊姆法則，都給人以一種對(duì)稱性的美感。談到幾何之美，人們更忘不了對(duì)稱?！?】數(shù)學(xué)的對(duì)稱美分為兩種：一種是數(shù)（式）的對(duì)稱性美，主要體現(xiàn)在數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)上，例如，加法的交換律a+b=b+a，乘法的交換律ab=ba，a與b的位置具有對(duì)稱關(guān)系，但又是可以變化的，變化的結(jié)果與原來(lái)的位置反而形成一種整齊的美感、均衡感，簡(jiǎn)潔明快，一目了然，代數(shù)式是數(shù)（式）的對(duì)稱式，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、特殊，了解這類問(wèn)題一定需要特殊的方法，從而顯示了它的神秘感、奇妙感。另一種是圖形的對(duì)稱性，整體美、簡(jiǎn)潔美，圖形的對(duì)稱是指組成圖形的部分與部分之間、整體與整體之間的一種統(tǒng)一和諧的關(guān)系。例如軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形等，這些圖形勻稱美觀，所以在日常生活中用途非常廣泛，許多建筑師和美術(shù)工作者常常采用一些對(duì)稱圖形，設(shè)計(jì)出美麗的裝飾圖案。數(shù)學(xué)美隸屬于科學(xué)美，所以具有科學(xué)美的屬性和特點(diǎn)。但由于數(shù)學(xué)和一般自然科學(xué)相比，在抽象性的程度、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、有用的廣泛性上，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了一般自然科學(xué)。所以我們說(shuō)數(shù)學(xué)美是一種人類本質(zhì)力量通過(guò)宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)，是數(shù)學(xué)真理的一種表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的許多重大發(fā)現(xiàn)或突破得益于數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法。例如，對(duì)數(shù)的引進(jìn)，解析幾何的創(chuàng)立等。人類對(duì)數(shù)學(xué)美的追求，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)常具有統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔、對(duì)稱及奇異等重要特征，這些特征滲透在數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)的定義公式、數(shù)學(xué)方法技巧及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用之中。對(duì)稱美是美學(xué)的一個(gè)基本概念，而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很大一部分題目亦是從對(duì)稱性的角度提出來(lái)的，如等式兩邊成分相同，式中已知元素的地位等同等等。【2】善于發(fā)現(xiàn)已知條件的對(duì)稱性，對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美學(xué)的一個(gè)重要方面，對(duì)稱美也是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)命題所極力追求的，它一方面能考查基本知識(shí)、基本技能、基本的數(shù)學(xué)思想，另一方面又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)試題的一種美感。由此獲得解題思路，并迅速做出工整、正確的解答，是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常使用且行之有效的方法。下面從一些實(shí)例來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。1、“對(duì)稱”在藝術(shù)、自然界、科學(xué)上的例子是屢見(jiàn)不鮮的。對(duì)稱的建筑物，對(duì)稱的圖案，是隨處可見(jiàn)的。自然界的對(duì)稱可以從亞原子微粒子的結(jié)構(gòu)到整個(gè)宇宙結(jié)構(gòu)的每一尺度上找到。從建筑物外形到日常生活用品；從動(dòng)植物外貌到生物有機(jī)體的構(gòu)造；從化合物的組成到分子晶體的排布，……其中皆有對(duì)稱。⑴無(wú)論是北京天安門(mén)城樓還是國(guó)外的宮殿、教堂、劇院，無(wú)論是現(xiàn)代建筑還是民居、民宅，其中皆蘊(yùn)含著對(duì)稱.2、數(shù)學(xué)圖形中的對(duì)稱美的重要體現(xiàn)。幾何圖形的對(duì)稱美是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)稱美最通俗直觀的解釋。在幾何圖形中，等腰三角形是軸對(duì)稱的；圓關(guān)于圓心是對(duì)稱的，關(guān)于直線也是對(duì)稱的；正方形關(guān)于其中心是對(duì)稱的；球形最為特殊，它即是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的，也是面對(duì)稱的圖形。【2】正如畢達(dá)哥拉斯所說(shuō)：“一切立體圖形中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓?！庇秩纭督馕鰩缀巍分械膱A柱、圓錐、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球面等這些圖形都有鮮明的對(duì)稱性，直觀的給人以美的享受。自古以來(lái)，人們就已經(jīng)討論“對(duì)稱原理”之一一一左和右之間的對(duì)稱（比如還有上、下、前、后等之間的對(duì)稱）。物理學(xué)定律一直顯示左右之間的完全對(duì)稱。而“對(duì)稱”在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)則是普遍的。繪畫(huà)中利用對(duì)稱，文學(xué)作品中也有對(duì)稱手法。幾何上平面的情形有直線對(duì)稱（軸對(duì)稱）、點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱）和面對(duì)稱?！?】比如正方形既是軸對(duì)稱圖形（以過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線為軸），又是中心對(duì)稱圖形（以對(duì)角線交點(diǎn)為對(duì)稱中心），圓也是一樣的。正六面體、球等都是點(diǎn)、線、面對(duì)稱圖形。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)陳，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑。巧奪天工的生活世界，也給我們帶來(lái)豐富的自然美和多彩的生活美。3、數(shù)學(xué)中對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美是指數(shù)學(xué)中的部分與部分，部分與整體之間的和諧一致，以及各種數(shù)學(xué)概念和理論之間存在的“對(duì)稱性”?！?】這樣對(duì)稱美便成了數(shù)學(xué)美中的一個(gè)重要組成部分，它普遍表現(xiàn)在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。笛卡爾創(chuàng)建的解析幾何學(xué)可以說(shuō)是美學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成功的運(yùn)用?！?】在這種坐標(biāo)幾何學(xué)中代數(shù)方程與幾何圖形之間建立了一種對(duì)稱，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)到完美的統(tǒng)一。幾何圖形中對(duì)稱的圖形給人以美的享受，而不對(duì)稱的現(xiàn)象中同樣存在著美，這就是黃金分割的美或者更深層次的對(duì)稱美。【3】如：一條線段關(guān)于它的中點(diǎn)對(duì)稱，這條線段若左端點(diǎn)的坐標(biāo)為0,右端點(diǎn)的坐標(biāo)為1,那么中點(diǎn)在0.5處。又如：似乎黃金分割點(diǎn)（在0.618處）不是對(duì)稱點(diǎn)，但若將左端記為A，右端記為B,黃金分割點(diǎn)記為C，則AC=AB?BC而且C關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D也是AB的黃金分割點(diǎn)，因?yàn)椋龠M(jìn)一層看，D又是AC的黃金分割點(diǎn)；C是DB的黃金分割點(diǎn)。類似地一直討論下去，這可視為一種連環(huán)對(duì)稱。⑶如今，設(shè)計(jì)師和藝術(shù)家們已經(jīng)利用這一規(guī)律創(chuàng)造出了許多令人心碎的建筑和無(wú)價(jià)的藝術(shù)珍寶。對(duì)稱是數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期追求的目標(biāo)，甚至有時(shí)把它作為一種尺度。⑷數(shù)學(xué)中不少的概念與運(yùn)算，都是由人們對(duì)于對(duì)稱問(wèn)題的探討派生出來(lái)的。數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也可以看成是啟迪人們思維、研究問(wèn)題的方法。在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，由于對(duì)對(duì)稱美的要求與實(shí)際需要相結(jié)合，從而可引出新的概念和新的理論。⑷如，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)、從實(shí)數(shù)到虛數(shù)等一系列數(shù)域的擴(kuò)充，都與對(duì)稱美的追求密切相關(guān)。加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法微分的逆運(yùn)算是積分，這種種逆運(yùn)算的建立，也都與對(duì)稱美相聯(lián)系。由此可見(jiàn)，對(duì)稱已成為數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)重要部分。這正如魏爾所說(shuō)：“對(duì)稱不管你是