2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)(人教版)大一輪復(fù)習(xí)第3講函數(shù)的奇偶性及周期性

增函數(shù)，給出下列幾個(gè)命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱；③f(x)在［1,2］上是減函數(shù)；④f(2)=f(0),其中正確命題的序號是.(請把正確命題的序號全部寫出來 )解析：因?yàn)閒(x+y)=f(x)+f(y)對任意x,yCR恒成立.令x=y=0,所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=—x,所以f(0)=f(x)+f(—x).所以f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).因?yàn)閒(x)在xC［—1,0］上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在［0,1］上為增函數(shù).由f(x+2)=—f(x)?f(x+4)=—f(x+2)?f(x+4)=f(x),所以周期T=4,即f(x)為周期函數(shù).f(x+2)=—f(x)?f(-x+2)=-f(-x).又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(2—x)=f(x),所以函數(shù)關(guān)于x=1對稱.由f(x)在［0,1］上為增函數(shù)，又關(guān)于x=1對稱，所以f(x)在［1,2］上為減函數(shù).由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=—f(0)=f(0).答案：①②③④TOC\o"1-5"\h\z3 3一.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，X?任意實(shí)數(shù)x有f^+x=—f2—x成立.⑴證明y=f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期;(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值._ . 3 3解：(1)由f2+x=-f2-x,且f(-x)=-f(x),3 3所以f(x+3)=f2+2+xT-2+x=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函數(shù)，且3是其一個(gè)周期.(2)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,且f(—1)=—f(1)=—2,又T=3是y=f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)+f(3)=f(—1)+f(0)=-2+0=—2..已知函數(shù)y=f(x)在定義域[―1,1]上既是奇函數(shù)又是減函數(shù).(1)求證：對任意xi,x2C[—1,1],有[f(xi)+f(x2)](xi+x2)W0;(2)若f(1—a)+f(1—a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)證明：若x〔+x2=0,顯然不等式成立.若x1+x2<0,則一1wx1V—x2<1,因?yàn)閒(x)在[―1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，所以f(x1)>f(—x2)=—f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x[)+f(x2)](x[+x2)V0成立.若x1+x2>0,則1Ax1>—x2A—1,同理可證f(x1)+f(x2)V0.所以[f(x[)+f(x2)](x[+x2)V0成立.綜上得證，對任意x[，x2€[—1,1],有[f(x1)+f(x2)](x[+x2)W0恒成立.(2)因?yàn)閒(1—a)+f(1—a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定義域[―1,一1w1一a2w1, 0wa2w2,1]上是減函數(shù)