期權定價的二叉樹模型

第7章期權定價的二叉樹模型單步二叉樹模型風險中性定價原理兩步二叉樹模型一、單步二叉樹模型執(zhí)行價格為21元的看漲期權。3個月⒈一個示例2023/1/302/39股票和股票期權所面臨的系統(tǒng)風險相關，適當配置兩種資產(chǎn)可以消除系統(tǒng)風險，組建無風險組合?？紤]以下組合：①買入1份股票看漲期權②賣空Δ股股票顯然，適當調(diào)整Δ可以使得上述組合為無風險組合。2023/1/303/39如果這個組合是無風險組合，則其價值與狀態(tài)無關，所以，以下數(shù)學表達式成立：解得，也就是說，1份看漲期權多頭加上0.25股股票空頭構成的組合是無風險組合。2023/1/304/394.50元5.00-C0元3個月2023/1/305/39⒉單步二叉樹模型的推廣無風險組合：Δ股股票多頭+1份期權空頭2023/1/306/392023/1/307/39將Δ代入f，得2023/1/308/392023/1/309/39在之前的示例中，我們得到：結(jié)果與之前一致。2023/1/3010/39單步二叉樹模模型至少給我我們兩點啟示示：⑴期權價格與與股票價格變變化的真實概概率無關（這這與我們的直直覺不一致））⑵期權價格在在定價形式上上可以看成到到期日價值期期望值的貼現(xiàn)現(xiàn)值（按無風風險利率貼現(xiàn)現(xiàn)）2023/1/611/39二、風風險中中性定定價⒈風險中中性假假設公平賭賭博是指賭賭博結(jié)結(jié)果的的預期期只應應當和和入局局前所所持有有的資資金量量相等等，即即賭博博的結(jié)結(jié)果從從概率率平均均的意意義上上來講講應當當是““不輸輸不贏贏”。。2023/1/612/39有一個擲擲硬幣的的賭局（（假定硬硬幣是完完全對稱稱的），，正面朝朝上可以以贏得2000元，反面面朝上則則無錢收收回。試試問你愿愿意以多多少錢作作為入局局費參加加這樣的的賭博？？公平的入入局費＝＝2000×50％+0×50％＝1000元2023/1/613/39如果有人人愿意無無條件地地參加公公平的賭賭博，則則這樣的的人被認認為是風風險中性性。風險險中性者者對風險險采取無無所謂的的態(tài)度。。入局費＜1000元風險厭惡者眾多入局費＝1000元風險中性者入局費＞1000元風險喜好者極少愿意支付的入局費風險類型數(shù)量2023/1/614/39財富的效效用愿意支付付的風險險金W0Wh風險厭惡惡者風險中性性者風險喜好好者不同風險險類型者者的財富富效用曲曲線凹性效用用函數(shù)線性效用用函數(shù)凸性效用用函數(shù)金融學2023/1/615/39u1u1u1u2u2u2U＝f（財富））→U＝g（E（R））U＝h（風險））→U＝q（σR）R＝φ（σR）風險回避型型效用函數(shù)數(shù)風險愛好型型效用函數(shù)數(shù)風險中立型型效用函數(shù)數(shù)投資學2023/1/616/39風險中性的的投資者對對風險不要要求回報，，他們投資資于任何資資產(chǎn)所要求求的收益率率等于無風風險收益率率。投資回報率率=無風險利率率+風險溢價2023/1/617/39在一個假想想的風險中中性的世界界（Risk-NeutralWorld）里，所有的的市場參與與者都是風風險中性的的，那么，，所有的資資產(chǎn)不管其其風險的大大小或是否否有風險，，預期收益益率都相同同，都等于于無風險收收益率，因因此，所有有資產(chǎn)現(xiàn)在在的市場均均衡價格都都應等于其其未來價值值的預期值值，加上考考慮到貨幣幣的時間價價值，就都都是未來預預期價值按按無風險收收益率貼現(xiàn)現(xiàn)的價值（（即現(xiàn)值））。這就是風險險中性定價價的基本思思想。2023/1/618/39我們回到之之前的示例例中，在那那里，我們們可以把股股票價格上上升的概率率定義為p，于是在到到期日T時刻，股票票價格的期期望值為：：代入p值，得在我們的假假設下，從從概率角度度講，股票票價格以無無風險利率率增長（也也就是說股股票的期望望收益率等等于無風險險利率）。。2023/1/619/39所謂風險中性性假設就是：：如果對一個問問題的分析過過程和投資者者的風險偏好好無關，則可可以將問題放放到一個假設設的風險中性性的世界里進進行分析，所所得的結(jié)果在在真實的世界界里也應成立立。2023/1/620/39⒉風險中中性定定價理理論風險中中性理理論又又稱風風險中中性定定價方方法（（RiskNeutralPricingTheory），是是考克克斯（（CoxJ.C.）和斯斯蒂芬芬·羅斯（（StephenA.Ross）于1976年推導導期權權定價價公式式時建建立的的。2023/1/621/39風險中中性定定理表表達了了資本本市場場中的的這樣樣的一一個結(jié)結(jié)論：：即在在市場場不存存在任任何套套利可可能性性的條條件下下，如如果衍衍生證證券的的價格格依然然依賴賴于可可交易易的基基礎證證券，，那么么這個個衍生生證券券的價價格是是與投投資者者的風風險態(tài)態(tài)度無無關的的。這個結(jié)結(jié)論在在數(shù)學學上表表現(xiàn)為為衍生生證券券定價價的微微分方方程中中并不不包含含有受受投資資者風風險態(tài)態(tài)度的的變量量，尤尤其是是期望望收益益率。。2023/1/622/392023/1/623/39利用用風風險險中中性性假假設設的的分分析析方方法法進進行行金金融融產(chǎn)產(chǎn)品品的的定定價價，，其其核核心心環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)是是構構造造出出風風險險中中性性的的概概率率。。2023/1/624/39標的股票票價格變變動路徑徑解得即股票價價格上升升的概率率為0.6523。2023/1/625/39解得股票看漲漲期權價價格變動動路徑這與在真真實世界界里利用用無套利利理論得得出的定定價結(jié)論論是一致致的。2023/1/626/39注意，我們在在風險中性定定價過程中使使用的標的股股票價格上升升的概率不是是真實的概率率，而是假想想的概率（稱稱為風險中性性概率），這這個假想是建建立在股票的的期望收益率率等于無風險險利率的基礎礎上的。事實實上，股票價價格是按期實實際收益率上上升的，如果果股票的實際際收益率為16%，則其價格上上升的概率為為以下表達式式中的q：解得2023/1/627/39與此對應，在在真實世界里里，該股票期期權在到期日日的預期價值值為：由此可以得到到期權的預期期收益率股票期權的預預期收益率明明顯高于股票票的預期收益益率。這與我我們的直覺是是一致的，因因為期權的風風險要高于股股票的風險。。2023/1/628/39對風險中性性定價原理理的總結(jié)：：在風險中性性的經(jīng)濟環(huán)環(huán)境中，投投資者并不不要求風險險補償或風風險報酬，，所以基礎礎證券與衍衍生證券的的期望收益益率都恰好好等于無風風險利率；；由于不存存在任何的的風險補償償或風險報報酬，市場場的貼現(xiàn)率率也恰好等等于無風險險利率，所所以基礎證證券或衍生生證券的任任何盈虧經(jīng)經(jīng)無風險利利率的貼現(xiàn)現(xiàn)值與它們們當前的價價值相等。。2023/1/629/39假定風險中中性世界中中基礎資產(chǎn)產(chǎn)價格上升升的概率為為p，由于其未未來價格的的期望值按按無風險利利率貼現(xiàn)的的現(xiàn)值必須須等于其當當前的價格格，因此該該概率可通通過下式求求得：則以該資產(chǎn)產(chǎn)為標的物物的衍生證證券的價格格為：2023/1/630/39三、、兩兩步步二二叉叉樹樹模模型型⒈一一個個示示例例兩步步二二叉叉樹樹中中的的股股票票價價格格和和期期權權價價格格2023/1/631/39根據(jù)單步二叉叉樹的定價原原理，可以可可以將上述兩兩步二叉樹分分離為三個單單步二叉樹（（從右向左；；先上后下））：2023/1/632/39根據(jù)無套利原原則，得2023/1/633/392023/1/634/39⒉兩兩步二二叉樹樹的一一般形形式2023/1/635/39依據(jù)單單步二二叉樹樹定價價法，，可得得以下下三表表達式式：將前兩兩式代代入第第三式式，整整理得得到這個結(jié)結(jié)論驗驗證了了風險險中性性原理理。2023/1/636/39例7.1考慮一個2年期的歐式式股票看跌跌期權，其其執(zhí)行價格格為52元，當前標標的股票的的價格為50元。我們假假定股票價價格為兩步步二叉樹，，每個步長長為1年，在每個個步長中，，股票價格格按20%的比例上升升或下降。。如果每個個步長的無無風險利率率均為5%（連續(xù)復利利），試繪繪制出股票票價格和股股票期權價價格的兩步步二叉樹，，并確定該該股票期權權當前的合合理價格。。2023/1/637/39作業(yè)題：：⒈股票票現(xiàn)價為為50元，6個月后（（期間無無紅利支支付）的的股票價價格要么么為60元，要么么為42元?，F(xiàn)有有以該股股票為標標的物的的歐式看看跌期權權，執(zhí)行行價格為為48元，6個月后到到期。如如果6個月期的的無風險險利率為為12%（連續(xù)復復利），，試分別別利用無無套利原原理和風風險中性性定價原原理確定定該期權權當前價價格，并并比較計計算結(jié)果果。⒉將本本章第一一個示例例中的單單步分為為兩步，，即步長長由原來來的3個月縮短短為45天，其他他條件不不變，計計算股票票期權的的價格。。2023/1/638/39思考題：：⒈如果果將課程程中的期期權換成成美式期期權，定定價結(jié)論論有變化化嗎？⒉通過過作業(yè)題題第2題的結(jié)論論與原來來的結(jié)論論對比，，你能發(fā)發(fā)現(xiàn)什么么？⒊就我我們現(xiàn)有有的教學學內(nèi)容而而言，二二叉樹模模型完美美嗎？2023/1/639/39謝謝1月-2301:28:5801:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:581月月-231月月-2301:28:582023/1/61:28:589、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。01:28:5901:28:5901:281/6/20231:28:59AM11、以以我我獨獨沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2301:28:5901:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海別別，幾度隔山山川。。01:28:5901:28:5901:28Friday,January6,202313、乍見翻翻疑夢，，相悲各各問年。。。1月-231月-2301:28:5901:28:59January6,202314、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國國見青山。。。06一月月20231:28:59上上午01:28:591月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、行動動出成成果，，工作作出財財富。。。2023/1/61:28:5901:28:5906January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。1:28:59上上午午1:28上上午午01:28:591月月-239、沒有有失敗敗，只只有暫暫時停停止成成功?。?。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多多事情情努力力了未未必有有結(jié)果果，但但是不不努力力卻什什么改改變也也沒有有。。。01:2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