2020年高考數(shù)學(xué)金榜沖刺卷(北京版)(一)(含答案解析)

S151

t21丁即t9,SPk0時(shí)，Smax1的方程是y1.21.(本小題14分)數(shù)字1,2,3,...,nn2的任意一個(gè)排列記作 &e2,...,為，設(shè)Sn為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合An a1，a2,...,an Sn任意整數(shù)i,j.1ijn,都有ajiajj，集合Bn &冏,...冏Sn任意整數(shù)i,j,1ijn,都有ai iajj(1)用列舉法表示集合A3,B3；(2)求集合AnIBn的元素個(gè)數(shù);(3)記集合Bn的元素個(gè)數(shù)為bn,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列【答案】(1)從1,2,3【答案】(1)從1,2,3,B3 1,2,31,3,2,2,1,3,3,2,1 ；(2)AnIBn的元素個(gè)數(shù)為1；(3)證明見(jiàn)解析【解析】(1)A【解析】(1)A31,2,3 ,B31,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1(2)考慮集合An中的元素a(,a2,...,an由已知，對(duì)任意整數(shù)i,j.1由已知，對(duì)任意整數(shù)i,j.1ij n,都有aidj,所以aiiajjj,所以ai aj.由i,j的任意性可知，a1,a2,...,an是1,2,3,...,n的單調(diào)遞增排列所以An 1,2,3，…，n又因?yàn)楫?dāng)akkkN,1kn時(shí),對(duì)任意整數(shù)i,j.1ijn,者B有a iajj.所以1,2,3,...,n Bn,所以An Bn.所以集合AnIBn的元素個(gè)數(shù)為1.TOC\o"1-5"\h\z⑶由(2)知，bn 0.因?yàn)锽2 1,2,2,1，所以b2 2.當(dāng)n3時(shí)，考慮Bn中的元素a1,a2，…，彳.⑴假設(shè)aknkN,1kn.由已知，ak k ak〔k1,所以ak1ak kk1 n1,又因?yàn)閍k1n1所以ak+1n1.依此類(lèi)推，若ak n,則ak+1 n1,ak+2n2鼻k.①若k1,則滿(mǎn)足條件的1,2,3,...,n的排列a1,a2,...,an有1個(gè).②若k2,則a? n,a3 n1&n2,...,an2.所以a1 1.此時(shí)滿(mǎn)足條件的1,2,3,...,n的排列a1,a2,...,an有1個(gè).

只要a1,a2，…，ak1是1,2,3,...,k1的滿(mǎn)足條件的一個(gè)排列，就可以相應(yīng)得到1,2,3,...,n的一個(gè)滿(mǎn)足條件的排列.此時(shí)，滿(mǎn)足條件的1,2,3,...,n的排列a1,a2,...,an有b「?jìng)€(gè).(ii)假設(shè)an n,只需a1,a2，…,an1是1,2,3,...,n1的滿(mǎn)足條件的排列，此時(shí)滿(mǎn)足條件的1,2,3,...,n的排列a1，a2,...,an有bn1個(gè).綜上bn11b2b3...bn1,n3.且當(dāng)n4時(shí)，bn因?yàn)閎311b且當(dāng)n4時(shí)