2020年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文)含答案解析

第第頁(共22頁)⑺TTTT(8)TTTTT(9)TTT(10)TTTTT注：T”表示合格，空白表示不合格(n)如圖，某次模擬演練中，教練要求學(xué)員甲倒車并轉(zhuǎn)向 90。，在車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)員甲轉(zhuǎn)向 90。后可使車尾邊緣完全落在線段CD上，且位于CD內(nèi)各處的機(jī)會相等.若CA=BD=0.3m,AB=2.4m,汽車寬度為1.8m,求學(xué)員甲能按教練要求完成任務(wù)的概率.【考點(diǎn)】幾何概型；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【分析】(I)使用列舉法求出古典概型的概率；(II)使用幾何法求出幾何概型的概率.【解答】解：(I)由題意得共有5名學(xué)員(1),(2),(4),(6),(9)格，從中任意抽取學(xué)員編號2人進(jìn)行補(bǔ)測，共有10種情況：補(bǔ)測項(xiàng)目項(xiàng)數(shù)(1)⑵②③⑤3(1)(4)②③④⑤4(1)(6)③④⑤3(1)(9)①③⑤3⑵(4)②④⑤3(2)(6)②③④⑤4⑵(9)①②⑤3(4)(6)②③④3(4)(9)①②④⑤4(6)(9)①③④⑤4由表格可知全部的10種情況中有6種情況補(bǔ)測項(xiàng)目不超過3,.??補(bǔ)測項(xiàng)目/、超過3項(xiàng)的概率為P]:=；.105恰有2兩項(xiàng)成績不合(II)在線段CD上取兩點(diǎn)B',D；使得BB=DD=1.8m,記汽車尾部左端點(diǎn)為M,則當(dāng)M位于線段AB'上時(shí)，學(xué)員可按教練要求完成任務(wù).，學(xué)員甲能按要求完成任務(wù)的概率AB'2.4-1.S1，學(xué)員甲能按要求完成任務(wù)的概率AB'2.4-1.S1P===CD'Z.4t2X0.3-1.82C* ?~~? ? ?- ADfB20.已知幾何體ABCDEF中，AB//CD,AD=DC=CB=1,/ABC=60°,四邊形ACFE是矩形，F(xiàn)B=、J^,M,N分別為EF,AB的中點(diǎn).(I)求證：MN//平面FCB;(n)若FC=1,求點(diǎn)A到平面MCB的距離.【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行的判定.【分析】(I)取BC的中點(diǎn)Q,連接NQ,FQ,利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定可得四邊形MNQF是平行四邊形，因此MN//FQ,再利用線面平行的判定定理即可證明.(II)由AB//CD,AD=DC=CB=1,/ABC=60°,可得/ACB=90°,AC=/3，AB=2,進(jìn)而得到FCXBC,ACXBC,BC,平面ACFE.設(shè)點(diǎn)A到平面MCB的距離為h,則Va—mcb=—S2kHCB?h-四邊形ACFE為矩形，又Vamcb=VbACM=zrXBCX ,即可得出.【解答】(I)證明：取BC的中點(diǎn)Q,連接NQ,FQ,則NQ=4aC,NQ//AC,又MF=—AC,MF//AC,.?.MF=NQ,MF//NQ,則四邊形MNQF是平行四邊形,??.MN//FQ,FQ?平面FCB,MN?平面FCB,??.MN//平面FCB.(II)解：AB//CD,AD=DC=CB=1,/ABC=60°,可得/ACB=90°,AC=V3,AB=2.又FC=1,FB=g,BC=1,FCXBC,又/ACB=90°,即ACXBC./.BC,平面ACFE.設(shè)點(diǎn)A到平面MCB的距離為h,則Va-mcb=^S△覽B?h.四邊形ACFE為矩形，又VA-MCB=VB-ACM=Samcb=^~Samcb=^~X1X則點(diǎn)A到平面MCB的距離為21.已知直線y=x+1與函數(shù)f(x)=aex+b的圖象相切，且f'(1)=e.(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；(n)若存在xC(0,三),使得2mf(x-1)+nf(x)=mx(mw0)成立，求二的取值范圍.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【分析】(I)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率，由條件可得 b=1,解方程可得a=1;(n)由于f(x)=ex,由題意可得=上二十在xC(0,三)有解，構(gòu)造g(x)林，求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得g(x)的范圍，解不等式即可得到所求范圍.【解答】解：(I)函數(shù)f(x)=aex+b的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=aex,由且f'(1)=e,可得ae=e,即a=1；設(shè)切點(diǎn)為(m,m+1),可得切線的斜率為aem=1,又m+1=aem+b,解得b=1,綜上可得，a=b=1;(n)由于f(x)=ex,3存在xC(0,—),使得2mf(x-1)+nf(x)=mx(mw0)成立，2即為上■』L=*在xC(0,-1-)有解，巳皿已 2由g(x)由g(x)=弋的導(dǎo)數(shù)為,解得一的取值范圍為(-,解得一的取值范圍為(-可得0vxv1時(shí)，g'(x)>0,g(x)遞增;1vx〈K時(shí),g'(x)<0,g(x)遞減.即有g(shù)(x)在x=1處取得極大值，且為最大值3 3—為由g(0)=0,g(目)二同已T,即有g(shù)(x)的范圍是(0,上］,enrt_2n貝U0V—+—eid222.已知橢圓E：+9=1(a>b>0),A為橢圓E的右頂點(diǎn)，B,C分別為橢圓22.已知橢圓E：b下頂點(diǎn).

(I)若N為AC的中點(diǎn)，△BAN的面積為，彳，橢圓的離心率為工且.求橢圓E的方程；(n)F為橢圓E的右焦點(diǎn)，線段CF的延長線與線段AB交于點(diǎn)M,與橢圓E交于點(diǎn)P,求」*的最小值.【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】(I)由題意可得A(a,0),B(0,b),C(0,-b),由兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式，可得 a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;b),求得直線CF,AB的方程，聯(lián)立(n)設(shè)F(c,0),b),求得直線CF,AB的方程，聯(lián)立求得M的坐標(biāo)，再聯(lián)立橢圓方程，可得P的坐標(biāo)，由ailcf|,化簡整理，轉(zhuǎn)化為e求得M的坐標(biāo)，再聯(lián)立橢圓方程，可得P的坐標(biāo)，由ailcf|,化簡整理，轉(zhuǎn)化為e的式子，運(yùn)用基本不等式可得最小值.【解答】解：(I)由題意可得A(a,0)，B(0,b),C(0,—b),|AN|=|AC|直線|AN|=|AC|直線AC的方程為bx-ay-ab=0,可得B到AC的距離為由^BAN的面積為-J~2,可得戈忌N?昇3=技即有ab=2、后,解得a=2,b=c=即有ab=2、后,解得a=2,b=c=/2,即有橢圓的方程為(n)設(shè)F(c,0),C(0,—b),A(a,0),B(0,b),可得直線CF：y=^x-b,直線AB的方程為y=-1-x+b,聯(lián)立直線CF和AB的方程，可得M(區(qū)三，縣三二))，arca+c將直線CF的方程代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,可得x=0或即有P(2.2a即有P(2.2aicb(a2C2，產(chǎn)),9ZoC9ZoC2,2a+c2,2a_+c_"Ta+dc由e』C(0,1),可得a2 2&十「一」十日2.a4-ac1+e2 2&十「一」十日2.a4-ac1+e=(1+e)+1+e-2=2^2-2.當(dāng)且僅當(dāng)1+e=、，J"^,即e=\/2-1,可得最小值2J-2.-2-當(dāng)且僅當(dāng)請考生在22、23、24三題中任選一題作答， 如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選彳4-1:幾何證明選講］23.如圖，已知A,B,C,D四點(diǎn)共圓，BA,DC的延長線交于點(diǎn)M,CA,DB的延長線交于點(diǎn)F,連接FM,且FMXMD,過點(diǎn)B作FD的垂線，交FM于點(diǎn)E(I)證明：△FAB^AFDC(n)證明：MA?MB=ME?MF.【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的判定.【分析】(I)利用：A,B,C,D四點(diǎn)共圓，可得/FBA=ZFCD,結(jié)合公共角，即可證明△FABs^FDC；(n)證明：F,E,A,B四點(diǎn)共圓，利用割線定理證明MA?MB=ME?MF.【解答】證明：(I).A,B,C,D四點(diǎn)共圓，/FBA=/FCD,???/AFB=/DFC,?.△FAB^AFDC(II)如圖，在^FBE,△FMD中，/FBE=/FMD=90°,/BFE=/MFD,由三角形內(nèi)角和定理，可得/BEF=/MDF,.ABDC為圓的內(nèi)接四邊形，??./MDF=/BAF,/BEF=/BAF,.F,E,A,B四點(diǎn)共圓，?.MA?MB=ME?MF.［選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

24.已知曲線24.已知曲線Ci:x+J^y=J^和C2：、(4為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)把曲線Ci、C2的方程化為極坐標(biāo)方程(2)設(shè)Ci與x軸、y軸交于M,N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1、C2交于P、Q兩點(diǎn)，求P,Q兩點(diǎn)間的距離.【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.【分析】(1)利用x=pcos。，y=psin0,將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可；(2)求出M,N,P的坐標(biāo)，得到射線的極坐標(biāo)方程，分別代入 Ci、C2得到，P,Q的極坐標(biāo)，求距離即可.(。為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn),【解答】解：(1)線Ci：x+6y、/5和C2：x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，因?yàn)閤=pcos(。為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn),所以Ci：P二口號6=必，即2Q日十9，所以Psin(eA)岑；TOC\o"1-5"\h\zC2的普通方程為工+匚二1，所以其極坐標(biāo)方程為-JkE.二1,即6 2 6 2“一6P= 口.l+2sin*6(2)由題意M電,0),N(0,1),所以P哼，1),所以射線OP的極坐標(biāo)方程為:&，小兀 兀I把代入Ci得到仍=1,p(1,彳)；小兀 兀把代入C2得到陣2,q(2,7)，所以|PQ|=|P2-Pi|=i,即p,Q兩點(diǎn)間的距離為1.［選彳4-5:不等式選講］25.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-a|(I)當(dāng)a=2,解不等式f(x)<0(n)若a>0,且對于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)w3,求a的取值范圍.【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法.【分析】(I)將a=2代入，不等式兩邊平方，解出即可； (n)通過討論x的范圍，得到f(x)的分段函數(shù)，求出f(x)的最大值，從而求出 a的范圍即可.【解答】解：(I)a=2時(shí)，原不等式為：|x+1|-|2x-2|<0,即|x+1|v|2x—2|,平方：(x+1)2V(2x—2)2,第第21頁（共22頁）第第21頁（共22頁）或x>3,化簡得：（3