數(shù)學(xué)物理方式復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)物理方式復(fù)習(xí)復(fù)變函數(shù)部分復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分級(jí)數(shù)留數(shù)定理及其應(yīng)用第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及運(yùn)算第二節(jié)區(qū)域第三節(jié)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性教科書：第一章典型例子求0<<,0<r<1經(jīng)=iz變換后在平面上的圖形。求z平面上帶形區(qū)域-<Rez<+,0<Imz<經(jīng)=ez變換后在平面上的圖形。計(jì)算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)求解sinz=0和sinz=2的全部根求0<<,0<r<1經(jīng)=iz變換后在平面上的圖形。z平面平面=iz=zexp(i/2)求z平面上帶形區(qū)域-<Rez<+,0<Imz<經(jīng)=ez變換后在平面上的圖形。=ez注意試確定函數(shù)f(z)=z2-z將z平面上的區(qū)域0<Imz<1映射為w平面上的圖像f(z)=z2-z計(jì)算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)Oxy1+i2-i-1求解sinz=0和sinz=2的全部根求解方程第二章解析函數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)第二節(jié)解析函數(shù)第三節(jié)解析函數(shù)的變換性質(zhì)教科書：第二章典型例子已知解析函數(shù)f(z)的實(shí)部為u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i．求此解析函數(shù)f(z)．證明：x2-2xy不能成為的一個(gè)解析函數(shù)的虛部．證明：函數(shù)f(z)=zImz在點(diǎn)z=0可導(dǎo)，但不解析已知某解析函數(shù)f(z)的虛部求該解析函數(shù)。已知解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函數(shù)f(z)．已知解析函數(shù)f(z)的實(shí)部u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i．求此解析函數(shù)f(z)．已知某解析函數(shù)f(z)的虛部求該解析函數(shù)。已知解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)．求此解析函數(shù)f(z)．已知解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u=x+y．求此解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．第三章復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)積分的概念及性質(zhì)第二節(jié)Cauchy定理第三節(jié)原函數(shù)與不定積分第四節(jié)Cauchy積分公式教科書：第三章典型例子其中：(1)

C為由原點(diǎn)到(2,0)再到(2,1)的折線；

(2)

C為由原點(diǎn)到(2,1)的直線證明：計(jì)算積分：路徑C：計(jì)算積分：路徑C：計(jì)算積分：奇點(diǎn)z=0a取何值時(shí)，函數(shù)是單值的？C：圍原點(diǎn)的閉合曲線第四章級(jí)數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)Taylor級(jí)數(shù)表示第四節(jié)Laurent級(jí)數(shù)表示第五節(jié)孤立奇點(diǎn)的分類教科書：第四、五、六章典型例子求函數(shù)分別在下列區(qū)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式．求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出類型在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，并給出收斂半徑在z=1展開(kāi)：在z=0展開(kāi)（前四項(xiàng)）：在z=0展開(kāi)：在z=0展開(kāi)：在指定點(diǎn)及區(qū)域展成Laurent級(jí)數(shù)求下列方程在z=0領(lǐng)域內(nèi)的級(jí)數(shù)解第五章留數(shù)定理及其應(yīng)用第一節(jié)留數(shù)及留數(shù)定理第二節(jié)應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分教科書：第七章典型例子計(jì)算積分計(jì)算積分計(jì)算積分計(jì)算積分奇點(diǎn)z=/2i,3/2i,計(jì)算積分：其中0<<1計(jì)算菲涅爾積分積分變換部分Fourier變換Laplace變換第六章Fourier變換第一節(jié)Fourier級(jí)數(shù)第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換第三節(jié)-函數(shù)教科書：第十章、第十九章部分典型例子設(shè)f(x)=x+x2,x(-,),試將其展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)并驗(yàn)證：設(shè)f(x)=x+1,x(0,l),試將其展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)設(shè)f(x)=x,x(0,l),試將其展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)．設(shè)f(x)=x,x(0,l),試根據(jù)條件f’(0)=f(l)=0將其展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)．計(jì)算證明計(jì)算證明證明求(x)

的Fourier變換求常函數(shù)1的Fourier變換求sin0x的Fourier變換求d(x)/dx的Fourier變換第七章Laplace變換第一節(jié)Laplace變換第二節(jié)Laplace變換之應(yīng)用教科書：第九章典型例子

計(jì)算下列Laplace變換的原像函數(shù)計(jì)算下列函數(shù)的Laplace變換設(shè)f(t)是周期為a的周期函數(shù)，如果它的Laplace變換存在，證明計(jì)算下列函數(shù)的Laplace變換典型例子-常微分方程的求解已知i(0)=0,q(0)=0,求i(t)~基爾霍夫第二定律已知i(0)=0,q(0)=0,求i(t)其中求解下列方程并證明是下列初始問(wèn)題的解數(shù)學(xué)物理方程部分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程及定解問(wèn)題波動(dòng)方程初始問(wèn)題的求解分離變量法積分變換法Green函數(shù)法第八章數(shù)學(xué)物理方程及定解問(wèn)題第一節(jié)波動(dòng)方程及定解條件第二節(jié)熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程第三節(jié)位勢(shì)方程第四節(jié)定解問(wèn)題的適定性教科書：第十二章典型例子

散熱片的橫截面為一矩形[0,a][0,b]，它的一邊y=b處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的恒穩(wěn)的溫度分布所滿足的定解問(wèn)題oab

一個(gè)半徑為a的薄圓盤，前后兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù)f(x,y)，在穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布所滿足的定解問(wèn)題a

長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿，現(xiàn)通過(guò)其兩端，在單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)單位面積分別供給熱量q1與q2。試寫出相應(yīng)的定解問(wèn)題。

其中k為熱導(dǎo)率

長(zhǎng)為l、橫截面積為S的均勻彈性細(xì)桿，已知一端(x=0)固定，另一端(x=l)在桿軸方向上受拉力F作用而得到平衡。在t=0時(shí)撤去外力F

。試確定桿的縱向振動(dòng)所滿足的定解問(wèn)題。

其中E是楊氏模量

在鈾塊中，除了中子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)外，還存在中子的吸收和增繁過(guò)程。這在單位時(shí)間內(nèi)、單位體積中吸收和增繁的中子數(shù)均正比于該時(shí)刻、該處的中子濃度u(r,t)，因而凈增中子數(shù)可表述為au(r,t)，其中a為比例常數(shù)。試導(dǎo)出u(r,t)所滿足的偏微分方程。

其中D是擴(kuò)散系數(shù)半徑為a、表面熏黑的金屬球，暴曬于陽(yáng)光下，在垂直于光線的單位面積上，單位時(shí)間內(nèi)吸收熱量M，同時(shí)球面按照牛頓冷卻定律散熱（不妨設(shè)周圍介質(zhì)的溫度為零）。試在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出邊界條件。采用球坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在球心，極軸指向太陽(yáng)，則邊界條件為其中H是牛頓冷卻定律中的比例常數(shù)牛頓冷卻定律對(duì)流換熱時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)物體單位表面積與流體交換的熱量，同物體表面溫度與流體溫度之差成正比。溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒介傳遞熱量逐漸冷卻所遵循的規(guī)律。第九章波動(dòng)方程初始問(wèn)題的求解第一節(jié)行波法第二節(jié)特征線方法第三節(jié)對(duì)稱延拓法第四節(jié)球平均法第五節(jié)降維法第六節(jié)沖量定理法教科書：第十三章部分典型例子求下列線性齊次偏微分方程的通解特征線方程特征線引入變換求下列線性非齊次偏微分方程的通解通解的結(jié)構(gòu)：齊次方程的通解與特解的疊加求下列線性非齊次偏微分方程求下列偏微分方程的初始問(wèn)題引入變換第十章分離變量法第一節(jié)有界弦的自由振動(dòng)第二節(jié)有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)第三節(jié)特殊區(qū)域上的位勢(shì)方程第四節(jié)高維定解問(wèn)題的分離變量法第五節(jié)對(duì)非齊次邊界條件和非齊次方程的處理教科書：第十四章、第十六、十七、十八章部分典型例子

長(zhǎng)為l、兩端固定的均勻弦，初始時(shí)弦被拉開(kāi)如圖，達(dá)到平衡后突然放開(kāi)。求此定解問(wèn)題。

求解細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)題。桿長(zhǎng)為l，兩端均保持零度，初時(shí)溫度為

一均勻各向同性的彈性方形薄膜，四周夾緊，初始位移為Axy(l-x)(l-y)，初始速度為0。求解膜的振動(dòng)。求解求解在矩形區(qū)域0≤x≤a,-b/2≤x≤b/2中求解一細(xì)長(zhǎng)桿，x=0固定，x=l端受周期力Asinωt的作用，設(shè)初始位移和速度為0，求解此桿的縱振動(dòng)問(wèn)題。求下列定解問(wèn)題求下列定解問(wèn)題當(dāng)層狀鈾塊的厚度超過(guò)一定的臨界值時(shí)，由于濃度將隨時(shí)間而提高，以致引起鈾塊爆炸。這是原子彈爆炸的基本過(guò)程。試估計(jì)層狀鈾塊的臨界厚度，假定邊界條件為第一類邊界條件。一半徑為a的無(wú)窮長(zhǎng)空心導(dǎo)體圓柱，分成兩半，互相絕緣，一半電勢(shì)為V，另一半電勢(shì)為-V。求圓柱的電勢(shì)分布。極坐標(biāo)變換半徑為a、表面熏黑的均勻金屬圓柱，平放在地上，受到陽(yáng)光照射，在垂直于光線的單位面積上單位衰減內(nèi)吸收熱量為M，同時(shí)按照牛頓冷卻定律向外散射。試求柱內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布。取外界溫度為零，并設(shè)圓柱無(wú)窮長(zhǎng)。求環(huán)形區(qū)域a≤r≤b內(nèi)滿足邊界條件的調(diào)和函數(shù)。在圓域x2+y2≤a2上求解下列問(wèn)題一個(gè)由理想導(dǎo)體做成的無(wú)窮長(zhǎng)波導(dǎo)管，其截面均勻如圖所示。管內(nèi)為真空，假定一個(gè)平面（圖中的一條邊）的電勢(shì)為V，其余面上的電勢(shì)均為零。試求波導(dǎo)管內(nèi)的電勢(shì)分布。求解球內(nèi)的定解問(wèn)題第十一章積分變換法第一節(jié)Fourier積分變換法第二節(jié)Laplace積分變換法第三節(jié)混合變換教科書：第十九章典型例子設(shè)有兩個(gè)半無(wú)界桿，溫度分別為0和u0，在t=0時(shí)將兩桿端點(diǎn)相接。求t>0時(shí)桿上各點(diǎn)的溫度分布。利用Fourier變換方法求解一維無(wú)界弦的受迫振動(dòng)問(wèn)題利用Fourier變換方法求解二維無(wú)界平面上的自由振動(dòng)問(wèn)題第十二章Green函數(shù)法第一節(jié)基本解和Green公式第二節(jié)邊值問(wèn)題的解的積分表示和Green函數(shù)第三節(jié)Green函數(shù)的求解第四節(jié)特殊