04 第四節(jié) 全微分

第四節(jié)全微分我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)其中一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量對(duì)另一個(gè)自變量的變化率.根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得f(x+Ax,y)-f(x,y)?f(x,y)Axxf(x,y+Ay)-f(x,y)?f(x,y)Ayy上面兩式左端分別稱(chēng)為二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別稱(chēng)為二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分.在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要研究多元函數(shù)中各個(gè)自變量都取得增量時(shí)因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問(wèn)題.下面以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)Pr(x+Ax,y+Ay)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱(chēng)f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量Ax,Ay的全增量，記為Az，即Az=f(x+Ax,y+Ay)一f(x,y). (4.1)一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形類(lèi)似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量Ax,Ay的線(xiàn)性函數(shù)來(lái)近似地代替函數(shù)的全增量Az，由此引入關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義.內(nèi)容分布圖示全微分的定義可微的充分條件全微分的定義可微的充分條件例3 ★例4可微的必要條件TOC\o"1-5"\h\z★例1 ★例2多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 ★例5絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 ★例6★內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí)★習(xí)題6-4★返回內(nèi)容提要：一、 微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)―f(x,y)

可以表示為(4.2)Az=AAx+BAy+o(p),可以表示為(4.2)其中A,B不依賴(lài)于A(yíng)x,Ay而僅與x,y有關(guān),p=弋(Ax)2+(Ay)2,則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，AAx+BAy稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分，記為dz,即dz=AAx+BAy. (4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱(chēng)這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)乞1必存在，且z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分dxdydz=Ax+ Ay. (4.4)dx dy我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是在該點(diǎn)可微的充分必要條件.但對(duì)于多元函數(shù)則不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見(jiàn)，對(duì)于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個(gè)方向的變化情況.但如果對(duì)偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)旦,比在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該dxQy點(diǎn)處可微分.三、 微分的計(jì)算dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)習(xí)慣上，常將自變量的增量Ax、Ay分別記為dx、dy，并分別稱(chēng)為自變量的微分.這dz=空dx+空dy.Qx Qy(4.5)上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類(lèi)似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為(4.6)Qu Qu Qu(4.6)du=dx+dy+dz.Qx Qy Qz四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二兀函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f(x,y), f(x,y)連續(xù)，且xyIAx1,1AyI都較小時(shí)，則根據(jù)全微分定義，有Az-dz即 Az-f(x,y)Ax+f(x,y)Ay.xy由Az=f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)，即可得到二兀函數(shù)的全微分近似計(jì)算公式f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)+f(x,y)Ax+f(x,y)Ay(4.7)xy例題選講：全微分的計(jì)算例1(講義例1)求函數(shù)z=4xy3+5x2y6的全微分.例2計(jì)算函數(shù)z=exy在點(diǎn)(2,1)處的全微分.例3(講義例3)求函數(shù)u eyz的全微分.2例4求函數(shù)u=xyz的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.例5(講義例4)計(jì)算(1.04)2.02的近似值.例6測(cè)得矩形盒的邊長(zhǎng)為75cm、60cm、以及40cm,且可能的最大測(cè)量誤差為0.2cm.試用全微分估計(jì)利用這些測(cè)量值計(jì)算盒子體積時(shí)可能帶來(lái)的最大誤差.課堂練習(xí)x2