1正方形同步練習(xí)（含詳解）

18.2.3正方形學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若正方形的對角線長為2cm，則這個正方形的面積為（）A．4 B．2 C． D．2．下列說法正確的是()A．四個角都相等的四邊形是正方形 B．四條邊都相等的四邊形是正方形C．對角線相等的平行四邊形是正方形 D．對角線互相垂直的矩形是正方形3．已知正方形的對角線相交于點(diǎn)，且，則的長度和的度數(shù)分別是（）A． B． C． D．4．下列圖形中對稱軸條數(shù)最多的是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等邊三角形5．如圖是一張矩形紙片ABCD，AD＝10cm，若將紙片沿DE折疊，使DC落在DA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，若BE＝6cm，則CD＝()A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．已知四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是矩形B．當(dāng)AB=AD，CB=CD時，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)AB=AD=BC時，四邊形ABCD是菱形D．當(dāng)AC=BD，AD=AB時，四邊形ABCD是正方形7．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A．對角線相等 B．對角線互相垂直平分C．四條邊相等 D．對角線平分一組對角8．如圖，將一邊長為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E，使DE=5，折痕為PQ，則PQ的長為（）A．12 B．13 C．14 D．15二、填空題9．若正方形的邊長為a，則其對角線長為______，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD的對角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于______．10．如圖，正方形的面積是_____cm2．11．如圖，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，則∠ANM的度數(shù)是_____.12．如圖，四邊形中，．則______．三、解答題13．如圖為4×4的網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)與數(shù)軸．(1)求出圖①中陰影部分的面積；(2)求出圖①中陰影部分正方形的邊長；(3)在圖②所示的數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)A．14．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)．那么與相等嗎？請說明理由．15．如圖所示，正方形的邊長為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，平分交邊于點(diǎn)．求證：．16．已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別是邊AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE、CF、OE、OF．當(dāng)AB與BC滿足___________條件時，四邊形AEOF正方形．參考答案1．B解析:連接BD，利用正方形的面積等于對角線的積的一半計算即可．詳解:如圖，連接BD，正方形ABCD中，，則BD=AC=2，正方形的面積為=，故選B．2．D解析:根據(jù)正方形判定定理進(jìn)行判斷，A、B、C不滿足判定條件，故選D詳解:四個角都相等的四邊形是矩形，故錯誤；四條邊都相等的四邊形是菱形，故錯誤；對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；對角線互相垂直的矩形是正方形，故正確.故選D.點(diǎn)睛:本題是對正方形判定定理的考核，掌握正方形的概念以及判定定理，方可進(jìn)行判斷3．D解析:根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角可得，BO=CO=AC=8，∠OCD=45°．詳解:解：∵正方形ABCD，AC=12cm

∴BO=CO=AC=6，=45°．

故選D．點(diǎn)睛:本題考查正方形的性質(zhì)．掌握正方形性質(zhì)是解題關(guān)鍵，正方形的對角線對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角.4．C解析:根據(jù)軸對稱圖形的概念及對稱軸的概念進(jìn)行分析解答即可，矩形有兩條對稱軸，為對邊中垂線所在的直線；菱形由兩條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線；正方形有四條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線，還有其對邊中垂線所在的直線；等腰梯形有一條對稱軸，為其兩底的中垂線所在的直線．詳解:解：A、矩形由兩條對稱軸；

B、菱形由兩條對稱軸；

C、正方形由四條對稱軸；

D、等腰梯形由一條對稱軸．

所以對稱軸條數(shù)最多的是正方形．

故選：C．點(diǎn)睛:本題主要考查軸對稱圖形概念，對稱軸的性質(zhì)，關(guān)鍵在于相關(guān)的概念正確的分析出題目中圖形的對稱軸，認(rèn)真的比較．5．A解析:由題意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF，∴四邊形ECDF是正方形，∴DC=EC=BC-BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，∴DC=10-6=4（cm）.故選A.6．C解析:試題分析：A、對角線AC與BD互相垂直，AC=BD時，無法得出四邊形ABCD是矩形，故此選項錯誤．B、當(dāng)AB=AD，CB=CD時，無法得到四邊形ABCD是菱形，故此選項錯誤．C、當(dāng)兩條對角線AC與BD互相垂直，AB=AD=BC時，∴BO=DO，AO=CO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵兩條對角線AC與BD互相垂直，∴平行四邊形ABCD是菱形，故此選項正確．D、當(dāng)AC=BD，AD=AB時，無法得到四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤．故選C．7．A解析:根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)可以判斷各個選項是否正確．詳解:解：正方形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故A符合題意；

正方形和菱形的對角線都互相垂直平分，故B不符合題意；

正方形和菱形的四條邊都相等，故C不符合題意；正方形和菱形的對角線都平分一組對角，故D不符合題意，

故選：A．點(diǎn)睛:本題考查正方形和菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握基本性質(zhì)．8．B解析:過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，

由折疊得到PQ⊥AE，

∴∠DAE+∠APQ=90°，

又∠DAE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠APQ，

∵AD∥BC，

∴∠APQ=∠PQM，

則∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD

∴△PQM≌△ADE

∴PQ=AE=.點(diǎn)睛:本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．9．2：1解析:如圖所示：根據(jù)勾股定理AC=又∵AB＝a,∴AC=.∴S正方形ABCD=a2,S正方形ABEF=2a2,∴正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比為2:1.故答案是：2:1.10．25解析:根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果.詳解:由題意得，正方形的面積是132-122=25cm2.點(diǎn)睛:本題考查的是正方形的面積公式以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．11．55°解析:過作于，則，易證，即可得，根據(jù)直角三角形內(nèi)角和為即可求得.詳解:過作于，則，，，，在和中，，，，，故答案為：.點(diǎn)睛:本題考查了正方形各邊長、各內(nèi)角相等的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中證明是解題的關(guān)鍵.12．45°解析:作AE⊥BC于E，AF⊥CD延長線于點(diǎn)F，易證四邊形AECF為矩形，可得∠FAE＝90°，再根據(jù)∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可證明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF為正方形，即可解題．詳解:解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD延長線于點(diǎn)F，∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°，∴四邊形AECF為矩形，∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°，∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（AAS），∴AE＝AF，∴矩形AECF為正方形，∴∠ACB＝45°；故答案為：45°．點(diǎn)睛:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．(1)8；(2)(3)見解析.解析:（1）由大正方形分成四個同樣大小的小正方形，陰影部分為大正方形的四邊中點(diǎn)的連線形成，所以陰影部分為大正方形面積的一半，根據(jù)正方形面積公式計算即可；

（2）由（1）的結(jié)論和正方形的面積公式易得到陰影部分正方形的邊長；（3）利用勾股定理在數(shù)軸上作直角邊為2的等腰直角三角形，斜邊的長即為，以O(shè)為圓心，以為半徑畫弧交數(shù)軸正半軸于一點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn).詳解:（1）陰影部分的面積=4×4=8；（2）設(shè)圖①中陰影部分正方形的邊長為a，則,∴a=,陰影部分正方形的邊長為；（3）在數(shù)軸上作邊長為2的正方形，對角線的長為，以O(shè)為圓心，以為半徑畫弧交數(shù)軸正半軸于一點(diǎn)，即為所求作的點(diǎn)，如圖所示：故答案為(1)8；(2)(3)見解析.點(diǎn)睛:本題考查實數(shù)與數(shù)軸、正方形的性質(zhì)、勾股定理.14．．理由見解析.解析:證明△ABF≌△DAE得到BF=AE，，從而得到．詳解:解：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴．∴．又，∴．∵，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．點(diǎn)睛:本題考查正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．15．見解析．解析:延長至點(diǎn)，使得，連接，可以求證△ADF≌△ABG，再證得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求證AG=EG，即求EG=DF+BE即可．詳解:如圖所示，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，．又∵是的角平分線．∴，∴．即，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．點(diǎn)睛:本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，把AF轉(zhuǎn)化到其全等三角形里面，根據(jù)等腰三角形腰長相等的性質(zhì)求解．16．垂直，證明見解析．解析:由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位線定理證出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，證出四邊形AEOF是菱形，再證出∠AEO=90°，四邊形AEOF是正方形．詳解:證明：：當(dāng)AB⊥BC時，四邊形AEOF正方形．理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB