有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

第二章 《有理數(shù)及其運(yùn)算》知識(shí)梳理正數(shù)和負(fù)數(shù)1?正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：①字母可以表示任意數(shù)，當(dāng)表示正數(shù)時(shí)， 是負(fù)數(shù)；當(dāng)表示負(fù)數(shù)時(shí)， 是正數(shù)；當(dāng)表示時(shí)，仍是0（如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，例如 就不能做出簡(jiǎn)單判斷）正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“”有時(shí)“”省略不寫(xiě)。所以省略“”的正數(shù)的符號(hào)是正號(hào)。具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上°C表示為：°C；零下°C表示為：8表示的意義⑴表示“沒(méi)有”如教室里有個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒(méi)有人；⑵是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：有理數(shù)有理數(shù)的概念⑴正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)⑶正整數(shù)，，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①n是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像…也是偶數(shù),注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像…也是偶數(shù),⑴按有理數(shù)的意義分類⑴按有理數(shù)的意義分類'■正整數(shù)/整數(shù)*I負(fù)整數(shù)有理數(shù)*「正分?jǐn)?shù)*分?jǐn)?shù)**負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)的分類⑵按正、負(fù)來(lái)分*正整數(shù)*正有理數(shù)**正分?jǐn)?shù)有理數(shù)* （不能忽視）*負(fù)整數(shù)**負(fù)有理數(shù)**負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：①正整數(shù)、統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)）負(fù)整數(shù)、統(tǒng)稱為非正整數(shù)正有理數(shù)、統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)負(fù)有理數(shù)、統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸1?數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線；⑵原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；⑷數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系（1）所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，用原點(diǎn)表示。⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn)n不是有理數(shù)）利用數(shù)軸表示兩數(shù)大?、旁跀?shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；⑵正數(shù)都大于，負(fù)數(shù)都小于，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)⑴最小的自然數(shù)是，無(wú)最大的自然數(shù)；⑵最小的正整數(shù)是，無(wú)最大的正整數(shù)；⑶最大的負(fù)整數(shù)是，無(wú)最小的負(fù)整數(shù)可以表示什么數(shù)⑴表示是正數(shù)；反之，是正數(shù)，則 ；⑵表示是負(fù)數(shù)；反之，是負(fù)數(shù)，則⑶表示是；反之，是，則數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長(zhǎng)度則加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。相反數(shù)1?相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，的相反數(shù)是；注意：（1）相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)；⑶的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是；相反數(shù)的性質(zhì)與判定⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；⑵的相反數(shù)是；⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為；和為的兩數(shù)互為相反數(shù)，即，互為相反數(shù)，則a⑷互為相反數(shù)的非零兩數(shù)商為負(fù)，即，互為相反數(shù)，則丁 € €b相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示的相反數(shù)。說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。相反數(shù)的求法⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“”即可求得（如：的相反數(shù)是5；⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來(lái)再添“”，然后化簡(jiǎn)（如； 的相反數(shù)是（ +化簡(jiǎn)得）；⑶求前面帶“”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添“”，然后化簡(jiǎn)如: 的相反數(shù)是（），化簡(jiǎn)得相反數(shù)的表示方法⑴一般地，數(shù)的相反數(shù)是，其中是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或。當(dāng) 時(shí)， （正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng) 時(shí)， （負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng)時(shí)，，（的相反數(shù)是）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律“”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略；“”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié)果；即：“”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。絕對(duì)值1?絕對(duì)值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做的絕對(duì)值，記作a絕對(duì)值的代數(shù)定義⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；⑶的絕對(duì)值是可用字母表示為：如果，那么；②如果，那么；③如果，那么?？蓺w納為①：三，一 （非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）W,— 非-正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）絕對(duì)值的性質(zhì)取任何有理數(shù)，都有任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以,取任何有理數(shù)，都有TOC\o"1-5"\h\z三o即（1）的絕對(duì)值是；絕對(duì)值是的數(shù)是即: 一 ；⑵一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是即：三；⑶任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即： 2；⑷絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若 （），則土；⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即： 或若，則 ；⑹絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即： ，則或；⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于；則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為；即 ，則且（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為；則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為）有理數(shù)大小的比較（1）利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小;⑵利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。划愄?hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。絕對(duì)值的化簡(jiǎn)①當(dāng)三時(shí)， ；②當(dāng)W時(shí),已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為的數(shù)是，沒(méi)有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法有理數(shù)的加法法則⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值;⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；⑷一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。有理數(shù)加法的運(yùn)算律（1）加法交換律： ⑵加法結(jié)合律：在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加一一“相反數(shù)結(jié)合法”符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加一一“同號(hào)結(jié)合法”；分母相同的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”；幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加一一“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加一一“同形結(jié)合法”加法性質(zhì)一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加后的和等于原數(shù)。即：⑴當(dāng)時(shí)， ⑵當(dāng)時(shí)， ⑶當(dāng)時(shí)，有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為： +有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫(xiě)，寫(xiě)成省略加號(hào)的和的形式。如：和式的讀法：①按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)、負(fù)、負(fù)、正的和”②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)減減加”有理數(shù)的乘除法有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；(“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三)法則二：任何數(shù)同相乘，都得0法則三：幾個(gè)不是的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù);法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為則積等于倒數(shù)1乘積是的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為?一(工)，就是a1 1 1說(shuō)和一互為倒數(shù)，即是一的倒數(shù)，一是的倒數(shù)。a a a注意：①?zèng)]有倒數(shù)；求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì))；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是或不包括。有理數(shù)的乘法運(yùn)算律⑴乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即⑵乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即⑶乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即4?有理數(shù)的除法法則除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得05?有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照'先乘除后加減'的順序進(jìn)行。有理數(shù)的乘方乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。乘方的性質(zhì)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。正數(shù)的任何