山東省濟南市第十一中學2023年高三數學理期末試題含解析

山東省濟南市第十一中學2023年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數在區(qū)間（1，2）內是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.右圖給出的是計算的值的一個程序框圖，

其中判斷框內應填入的條件是(

)A．i＞10

B．i<10

C．i＞20

D．i＞20參考答案：A3.已知集合，，則A∩B=（

）A．{3} B．{1,2}

C．{2,3} D．{1,2,3}參考答案：D由題意，集合，，所以，故選D.4.已知函數f（x）的導函數f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，數列{an}是以為公差的等差數列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，則=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013參考答案：B【考點】等差數列的通項公式；導數的運算．【專題】方程思想；轉化思想；導數的綜合應用；等差數列與等比數列．【分析】函數f（x）的導函數f′（x）=2+sinx，可設f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由數列{an}是以為公差的等差數列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化簡可得6a2﹣=．利用單調性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函數f（x）的導函數f′（x）=2+sinx，可設f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵數列{an}是以為公差的等差數列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，則g′（x）=6+sin在R上單調遞增，又=0．∴a2=．則==2015．故選：B．【點評】本題考查了等差數列的通項公式及其性質、利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是A.若，，，，則

B.若，，，則C.若，，，則

D.若，，，則

參考答案：B6.函數的部分圖象大致是

（

）參考答案：C略7.設復數滿足是虛數單位），則（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.定義在R上的函數，在上是增函數，且函數是偶函數，當，且時，有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：因為函數是偶函數，所以，從而關于對稱。

又在上是增函數，所以在上是減函數，

因為，所以，故選擇A。9.在集合中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量，從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數為n，其中面積等于2的平行四邊形的個數為m，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B∵以原點為起點的向量有、、、、、共6個，可作平行四邊形的個數個，結合圖形進行計算，其中由、、確定的平行四邊形面積為2，共有3個，則，選B．10.若復數滿足,則的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，則實數a=

．參考答案：2【考點】18：集合的包含關系判斷及應用．【分析】根據并集的意義，由A∪B=A得到集合B中的元素都屬于集合A，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B?A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案為2．【點評】此題考查了并集的意義，以及集合中元素的特點．集合中元素有三個特點，即確定性，互異性，無序性．學生做題時注意利用元素的特點判斷得到滿足題意的a的值．12.已知、滿足約束條件，若目標函數的最大值為7,則的最小值為

。參考答案：7知識點：基本不等式在最值問題中的應用；簡單線性規(guī)劃．解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）

設，將直線：進行平移，并觀察直線在x軸上的截距變化，可得當經過點B時，目標函數z達到最大值,即．

因此，，

∵，可得，

∴，當且僅當時，的最小值為7．故答案為：7思路點撥：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內部，利用直線平移法求出當x=3且y=4時，取得最大值為7，即．再利用整體代換法，根據基本不等式加以計算，可得當時的最小值為7．13.已知函數，若?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），則實數a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2）∪（3，5）【考點】函數恒成立問題．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】分類討論，利用二次函數的單調性，結合?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得實數a的取值范圍．【解答】解：由題意，或∴a＜2或3＜a＜5故答案為：（﹣∞，2）∪（3，5）．【點評】本題考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于基礎題．14.在平面直角坐標系xOy中，若直線y=2a與函數y=|x﹣a|﹣1的圖象只有一個交點，則a的值為

．參考答案：【考點】函數的零點與方程根的關系．【專題】函數的性質及應用．【分析】由已知直線y=2a與函數y=|x﹣a|﹣1的圖象特點分析一個交點時，兩個圖象的位置，確定a．【解答】解：由已知直線y=2a是平行于x軸的直線，函數y=|x﹣a|﹣1的圖象是折線，所以直線y=2a過折線頂點時滿足題意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案為：．【點評】本題考查了函數的圖象；考查利用數形結合求參數．15.函數y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則+的最小值為

．參考答案：8【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故答案為：816.已知變量x，y滿足條件，若z=y﹣x的最小值為﹣3，則z=y﹣x的最大值為

．參考答案：考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，先求出m的值，然后通過平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象可知當直線y=x+z經過點C時，直線y=x+z的截距最小，此時z最小，為﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直線x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直線方程為x+y=1，當直線y=x+z經過點B時，直線y=x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即B（，），此時z=y﹣x=﹣=，故答案為：．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用圖象平行求得目標函數的最大值和最小值，利用數形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．17.已知點A，B為圓C：x2+y2=4上的任意兩點，且|AB|＞2，若線段AB中點組成的區(qū)域為M，在圓C內任取一點，則該點落在區(qū)域M內的概率為．參考答案：【考點】CF：幾何概型．【分析】由題意，求出線段AB中點組成的區(qū)域為M為半徑為的同心圓，利用幾何概型的公式得到所求．【解答】解：由題意，線段AB中點組成的區(qū)域M為以原點為圓心，為半徑的圓，由幾何概型的公式得到；故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓過點兩點．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設為第三象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．參考答案：（1）由題意得，，所以橢圓的方程為，又,所以離心率．．．．．．．．．．．5分（2）設，則，又，所以直線的方程為，令，得，從而，直線的方程為．令，得，從而，所以四邊形的面積：

從而四邊形的面積為定值．．．．．．．．．．．．12分19.（本小題滿分12分）已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F2，其離心率，點P為橢圓上的一個動點，△PF1F2面積的最大值為．（I）求橢圓的方程；（II）若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點，AC與BD相交于點F1，，求的取值范圍．參考答案：（I）由題意得，當點P是橢圓的上、下頂點時，的面積取最大值……1分此時……2分……3分所以橢圓方程為……4分（II）由（I）得，則的坐標為……5分因為,所以①當直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時，易得

……6分②當直線AC斜率時，其方程為，設則點A、C的坐標是方程組的解，…………7分

……8分此時直線BD的方程為…………………9分同理由可得……10分令，則…………11分，

綜上，的取值范圍是…………12分20.如圖所示，該幾何體是由一個直角三棱柱和一個正四棱錐組合而成，，.(1)證明：平面平面；(2)求正四棱錐的高，使得該四棱錐的體積是三棱錐體積的4倍.參考答案：.(1)證明：直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面.(2)到平面的距離.所以：，而：，所以.21.設函數f（x）=alnx+（e為自然對數的底數）．（Ⅰ）當a＞0時，求函數f（x）的極值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內有解，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）問題可化為函數f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，通過討論a的范圍結合函數的單調性求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=，（x＞0），a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故函數f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故函數f（x）只有極小值，f（x）極小值=f（）=aln+a，無極大值；（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內有解，問題可化為函數f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，（i）a≤0時，f′（x）＜0，則函數f（x）在區(qū)間（0，e2]內為減函數，故f（x）的最小值是f（e2）=2a+＜0，即a＜﹣；（ii）a＞0時，函數f（x）在區(qū)間（0，）內為減函數，在區(qū)間（，+∞）內為增函數，①若e2≤，即0＜a≤，函數f（x）在區(qū)間（0，e2]內為減函數，由（i）知，f（x）的最小值f（e2）＜0時，a＜﹣與0＜a≤矛盾；②若e2＞，即a＞，則函數f（x）的最小值是f（）=aln+a，令f（）=aln+a＜0，得a＞e2，綜上，實數a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（e2，+∞）．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．22.己知.函數的反函數是.設數列的前n項和為，對任意的正整數都有成立，且?(I)求數列的通項公式；

,(II)記，設數列的前n項和為，求證：對任意正整數n都有；(III)設數列的前n項和為，已知正實數滿足：對任意正整數n，恒成立,求的最小值參考答案：

（Ⅰ）根據題意得，，于是由an=得an=5Sn+1，…………1分，當時，.又an+1=5sn+1+1數列成等比數列，其首項，公比是………2分，

………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=.............