多元微積分課件一般周期函數(shù)的級數(shù)

多元微積分課件一般周期函數(shù)的級數(shù)第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明僅作了解,記牢結(jié)果第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日n>1

時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分交流部分由收收斂定理可得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中如果

f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.周期為的周期函數(shù)展開成Fourier級數(shù).第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情況見右圖.n＝5機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日2.在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日例4.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束因此得f(x)=x+1的值不同.第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日說明:

令

x=0

可得即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日例5.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級數(shù)收斂于何值?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日說明:

此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日補(bǔ)充例題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因

f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日得故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的