多元函數(shù)的極值

多元函數(shù)的極值第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日

極值和最大、最小值問題屬于優(yōu)化問題范疇,它是一種簡單的優(yōu)化問題.多元函數(shù)的極值

無約束極值

有約束極值

變量替代法拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日無約束極值的形式目標函數(shù)：表現(xiàn)形式：一.無約束極值第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日

極大值和極小值的定義設在內(nèi)有定義.若總有則稱為函數(shù)的極大值(極小值).稱為函數(shù)的極大點(極小點).

函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日例1函數(shù)在點處取極大值.函數(shù)在點處取極小值.例2

現(xiàn)在對已有的結(jié)果進行分析,

看能否得到一點什么.函數(shù)在點處不取極小值.例3第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日xyzxyzoxyzo第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日若是函數(shù)的極值點,則是一元函數(shù)的極值點;是一元函數(shù)的極值點,能存在,也可能不存在,故可得到結(jié)論:但函數(shù)在極值點處偏導數(shù)可如果偏導數(shù)存在,則極值點處的偏導數(shù)必為零.使偏導數(shù)不存在的點,也可能是函數(shù)的極值點.

先以二元函數(shù)為例,敘述結(jié)果,然后將它推廣到一般的n元函數(shù).第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日定理(二元可導函數(shù)取極值的必要條件)證:化為一元函數(shù)的結(jié)論若在點具有偏導數(shù),且在處取極值,則必有定理(n元可導函數(shù)取極值的必要條件)若在點具有偏導數(shù),且在處取極值,則必有第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日處的切平面方程為由可微函數(shù)取極值的必要條件：

此時,切平面平行于xy平面.設函數(shù)在點處可微且取極值,則相應的曲面在點

下面看看函數(shù)極值的幾何意義故切平面方程實際為第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日

函數(shù)的駐點以及使函數(shù)的一階偏導數(shù)不存在的點,稱為函數(shù)的極值可疑點.

函數(shù)在其極值可疑點處,可能取極值,也可能不取極值.使函數(shù)零的點稱為函數(shù)的駐點.的一階偏導數(shù)全為

這就產(chǎn)生了一個問題:如何判斷函數(shù)在極值可疑點處是否取極值.第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日

我們首先進行分析、討論,然后再歸納出結(jié)果.則故由微分形式的泰勒公式,得第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日

我們首先進行分析、討論,然后再歸納出結(jié)果.則故由微分形式的泰勒公式,得

注意條件

正(負)取決于二次型的正(負)定

余項設第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日記則H稱為函數(shù)f的Hessian矩陣當且時,二次型正定,即從而,為函數(shù)的極小值.

二次型與它的矩陣具有相同的有定性

矩陣H正定第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日當且時,二次型負定,從而,即為函數(shù)的極大值.當時,二次型是不定的,此時,不是函數(shù)的極值.當時,二次型Q

是半定的,運為函數(shù)的極值.

若要判定則需要運用更高階的泰勒公式.用二階泰勒公式已不能判定

是否第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日定理(可微的二元函數(shù)極值判別法)記設

A.與C對稱第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日

該判別法可直接推廣到元函數(shù)的情形.第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日例3求的極值.解聯(lián)立方程組,求駐點:解之得駐點又第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日點是極小點,極小值為點是極大點,極大值為點不是極值點.故第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日

函數(shù)的最大值和最小值上的最大值和最小值.第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日

求函數(shù)最大值和最小值的基本原則工程中遇到的函數(shù)大部分是連續(xù)的,或者能保證在所討論的區(qū)域內(nèi),取到它的最大值或最小值.如果知道可微函數(shù)的最大值或最小值一定在區(qū)域內(nèi)達到,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)又僅有一個駐點,則該駐點一定是最大值點或最小值點.如果為有界閉區(qū)域,則函必在上取到它的最大值和最小值.數(shù)第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日例4距離之平方和為最大及最小的點.解·所求距離之平方和為第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域：目標函數(shù)：最值問題：所討論的問題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問題:第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:求函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大、最小值的一般步驟為：※※先求函數(shù)在開區(qū)域上的極值可疑點;再求函數(shù)在邊界上的極值可疑點;※將所求出的所有受檢點(包括邊界的角點)的值,進行比較即可得出函數(shù)的最大、最小值.第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:※由方程組得到駐點且第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點：函數(shù)值：第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點：函數(shù)值：第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:※·由一元函數(shù)求極值的方法,得駐點：函數(shù)值：第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:綜上所述※邊界上端點值：第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域:目標函數(shù):最值問題:所求最值點為：……

以下的工作,由學生自己完成.第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日例5求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.球面解選擇坐標系,使球心位于坐標原點,則球面方程為設所求長方體在第一卦限中的頂點為則長方體的三個棱邊長是長方體體積為第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域：目標函數(shù)：最值問題：原問題歸結(jié)為下面的優(yōu)化問題:第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日區(qū)域：目標函數(shù)：最值問題：由解之得第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日由解之得應用題,又僅有唯一的個駐點,故該駐點即為極值點,從而所求球內(nèi)接長方體的邊長為區(qū)域：目標函數(shù)：最值問題：第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日這就是對目標函數(shù)的約束應滿足方程

對自變量附加一定條件的極值問題就是有約束極值問題.例如,上面講的求球內(nèi)接體積最大的長方體的問題,就是一個有約束的極值問題:長方體頂點必須位于球面上,其坐標x2+y2+z2=a2.三.有約束極值（條件極值）第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日

有約束極值(條件極值)的定義若有(或則稱為函數(shù)在約束條件下的極大值(或極小值).

這種極值通常簡稱為函數(shù)的條件極大(小)值.

這里的約束稱為等式約束.第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日

有約束極值

帶等式約束的極值

帶其它約束的極值

無約束極值轉(zhuǎn)化第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日

有約束極值的形式目標函數(shù)：表現(xiàn)形式：第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日

有約束極值

無約束極值

拉格朗日乘數(shù)法

變量替代法

我們再舉一例說明變量替代法第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日例6現(xiàn)需用鋼板制造容積為2m3的有蓋的長方體水箱,問當長、寬、高各為多少時用料最??？解設長方體的長、寬、高分別為則問題歸結(jié)為下列有約束極值問題：由約束條件得代入目標函數(shù)中,使問題轉(zhuǎn)化為下列無約束極值問題：第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日令唯一的駐點故當水箱的長、寬、高均為時,用料最省.就是已經(jīng)講過的方法.第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日

拉格朗日乘數(shù)法問題：求函數(shù)在下的極值.條件

運用變量替代法求解有約束極值問題時,往往會遇到困難——有時不能從條件中解出變量間的顯函數(shù)表示式.

自然我們會想到運用隱函數(shù)及其有關的定理和方法.第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日能由這里求得z=z(x,y)再作變量替代嗎？一般不能,但對滿足隱函數(shù)存在定理條件的可微函數(shù)可行.問題：求函數(shù)在下的極值.條件

拉格朗日乘數(shù)法第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日分析與推導若函數(shù)在點處取得極值,求在條件下的極值.則首先應有0.),,(000=zyxj若

可確定隱函數(shù)于是原問題轉(zhuǎn)化為無約束極值問題：求函數(shù)的極值.則函數(shù)在處取極值.(假設以下的各種運算均成立)第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導公式,得第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導公式,得代入第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日對函數(shù)的無約束極值,有由隱函數(shù)求導公式,得代入想想這一段要求函數(shù)滿足什么條件？第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日在條件函數(shù)下,于點處取得極值的必要條件是綜上所述:還有一個第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日令則上述的必要條件可寫為第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日令則上述的必要條件可寫為

方程組的左端是一個函數(shù)對x,y,z,的偏導數(shù).第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)問題：求函數(shù)在條件下的極值.若則稱為該極值問題的拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù).

轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無條件極值問題第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日

拉格朗日乘數(shù)法求解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日由取極值的必要條件解方程組

駐點

進行判別這部分確定隱函數(shù)關系這部分確定變量xi與i

間的關系第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日注2：拉格朗日方法求出的點是極值函數(shù)的駐點以及極值函數(shù)的等值線與約束函數(shù)相切的切點。注1：用拉格朗日方法求出的點是函數(shù)的可疑極值點。第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日例4距離之平方和為最大及最小的點.解·所求距離之平方和為第五十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日·第五十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日所求最值點為：第五十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日例7求函數(shù)在條件下的極小值,并證明此時不等式成立：其中,x、y、z、a>0為實數(shù).第五十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日解作拉格朗日函數(shù)令由這一部分找出與間的關系。代入此方程，求出拉格朗日函數(shù)的駐點第五十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日由前