第十三章-復(fù)變函數(shù)級數(shù)與留數(shù)定理

1第

章13變函數(shù)的級數(shù)與留數(shù)定理復(fù)變函數(shù)項級數(shù)泰勒級數(shù)洛朗級數(shù)留數(shù)與留數(shù)定理復(fù)21.復(fù)數(shù)項級數(shù)

2.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

3.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

13.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)313.1.1復(fù)數(shù)項級數(shù)

設(shè)為一復(fù)數(shù)列，其中，為一確定的復(fù)數(shù)，若對任給

，存在自然數(shù)

，當(dāng)時恒有

則稱

為復(fù)數(shù)列當(dāng)時的極限，記作

也稱復(fù)數(shù)列收斂于，或稱收斂；否則稱發(fā)散。

定義13.1.113.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)4類似于復(fù)函數(shù)極限，有如下定理:

設(shè)則的充要條件是，

。證明如果,那么對任給的,就能找到自然數(shù),當(dāng)時恒有

,從而有

,所以,同理可證。定理1.1.15反之，如果，，那么當(dāng)時，

從而有，，

所以

6

設(shè)為一復(fù)數(shù)列，其中,表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項(無窮)級數(shù)，簡稱級數(shù)，其前n項之和稱為該級數(shù)的(前n項)部分和．如果部分和數(shù)列收斂，則稱級數(shù)

收斂，并稱極限為該級數(shù)的和；如果不收斂，則稱發(fā)散。定義1.1.27由于

，由定理1可知，當(dāng)且僅當(dāng)，

。由此可得以下定理：8

設(shè)(n=1,2,…),與為實(shí)數(shù),則級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)和都收斂。

定理2將復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項級數(shù)的審斂問題,而由實(shí)數(shù)項級數(shù)和收斂的必要條件為，,可得推論(必要條件)

若級數(shù)收斂,則。

定理1.1.29

若收斂，則也收斂。證明

設(shè)

(n=1,2,…),因，由正項級數(shù)比較判別法知

收斂，即絕對收斂．同理也收斂，故收斂。

若級數(shù)收斂，則稱為絕對收斂，并非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)。定理1.1.3(充分條件)10例1

下列級數(shù)是否收斂?若收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1);(2);(3).

解(1)因收斂,故原級數(shù)絕對收斂。(2)因?yàn)槠渲袑?shí)部和虛部都是交錯級數(shù)均收斂,所以收斂,但發(fā)散,故原級數(shù)條件收斂。(3)因，且發(fā)散,

收斂,由定理2知原級數(shù)發(fā)散。112.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

設(shè)為一復(fù)變函數(shù)序列，其中各項在區(qū)域D內(nèi)有定義，表達(dá)式

(13.1)稱為區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)。其前n項之和稱為該級數(shù)的前n項部分和．若，且，則該級數(shù)在收斂，而稱為它的和。

定義1.1.312

如果級數(shù)(13.1)在D內(nèi)處處收斂，那么它在D內(nèi)各點(diǎn)的和構(gòu)成D內(nèi)的一個函數(shù)：

，稱為級數(shù)的和函數(shù)。例如，級數(shù)，對區(qū)域內(nèi)的每個z都收斂到,所以是級數(shù)在區(qū)域內(nèi)的和函數(shù)。

13

若,則級數(shù)(13.1)成為

(13.2)稱此級數(shù)為冪級數(shù)，特別地，當(dāng)時，上式寫為

．(13.3)如果，則就是級數(shù)(13.3)的形式。為了方便，下面就級數(shù)(13.3)來討論。類似于實(shí)變量冪級數(shù)的結(jié)論，我們有如下定理：定義1.1.414若級數(shù)在收斂，則對滿足的z，該冪級數(shù)必絕對收斂；若在發(fā)散，則對滿足的z，該冪級數(shù)必發(fā)散。證明

讀者自己完成。Abel定理的幾何意義:若級數(shù)在收斂，則在以原點(diǎn)為中心，半徑為的圓內(nèi)，級數(shù)必絕對收斂；若級數(shù)在發(fā)散，則在以原點(diǎn)為中心，半徑為的圓外，級數(shù)也發(fā)散。

定理1.1.4(Abel定理)15

若存在圓，級數(shù)在圓內(nèi)絕對收斂，而在圓外發(fā)散，則稱圓域?yàn)榧墧?shù)的收斂圓盤(或收斂圓域)，圓周稱為該級數(shù)的收斂圓，R稱為收斂半徑。例如級數(shù)，當(dāng)時絕對收斂，而當(dāng)時,由于時級數(shù)的一般項不趨于零，故級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)的收斂圓為，收斂半徑為1。關(guān)于冪級數(shù)(13.3)收斂半徑的求法,我們有:定義1.1.516

如果，那么級數(shù)的收斂半徑。證

略，讀者可仿實(shí)變量冪級數(shù)的相關(guān)結(jié)論，自己證明。

如果，那么級數(shù)的收斂半徑。定理1.1.5(比值法)定理1.1.6(根值法)17例２

求級數(shù)、、的收斂半徑，并討論它們在收斂圓周上的斂散性。

解

這三個級數(shù)都有，故收斂半徑都為，但它們在收斂圓周上的斂散性卻不一樣。

在上，由于，故處處發(fā)散；

在上的處收斂，處發(fā)散；

在上處處絕對收斂，因而處處收斂。由此例可見，在收斂圓周上的情況較復(fù)雜，只能對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析。18例３求下列級數(shù)的收斂半徑，并考慮收斂情況。(1);(2);(3)．解(1)因所以收斂半徑級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂，在圓周外發(fā)散，在圓周上有收斂點(diǎn)，也有發(fā)散點(diǎn)。(2)對任意固定的z，存在，當(dāng)時恒有，從而，由此可知級數(shù)對任意的z均收斂，即在復(fù)平面上處處收斂，收斂半徑為。

19(3)當(dāng)時，由于時一般項不趨于零，故級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)僅在點(diǎn)收斂，收斂半徑。在上例中，對級數(shù)(2),相應(yīng)地收斂半徑；對級數(shù)(3),相應(yīng)地收斂半徑。由此可見，求收斂半徑的相關(guān)結(jié)論可適當(dāng)推廣。203.冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)與實(shí)變量冪級數(shù)類似，復(fù)變量冪級數(shù)也能進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算。結(jié)論１設(shè)；，則

,,

其中.更為重要的是冪級數(shù)可進(jìn)行如下代換(復(fù)合)運(yùn)算。

21

結(jié)論2如果當(dāng)時，,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足，則當(dāng)時，

代換運(yùn)算是函數(shù)展為冪級數(shù)的常用方法，以下例子說明如何應(yīng)用。

22例４

把函數(shù)表示成形如的冪級數(shù)，其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù)。解

把變形為如下形式

視，當(dāng)時，由等比級數(shù)得

，從而得到．23

由等比級數(shù)知，當(dāng)即時級數(shù)收斂；當(dāng)即時級數(shù)發(fā)散；故上述所求級數(shù)的收斂半徑．復(fù)變量冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)有如下分析運(yùn)算性質(zhì)。24設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R，則（1）其和函數(shù)在收斂圓域內(nèi)解析；（2）在收斂圓域內(nèi)，其和函數(shù)可逐項求導(dǎo)，即；（3）在收斂圓域內(nèi)，其和函數(shù)可逐項求積，即

定理1.1.725例５

將展成z的冪級數(shù)。解

因?yàn)楫?dāng)時，，逐項求導(dǎo)可得

．

26習(xí)題13.11、下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求其極限。(1)；(2)；(3)；(4).2、下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件