專題49 求數(shù)列前n項(xiàng)和常用方法及經(jīng)典例題(原卷版)

專題49求數(shù)列前n項(xiàng)和常用方法及經(jīng)典例題〔原卷版〕等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比擬等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1、定義a-a=d(n>1)；a-a=d(n>2)n+1nnn-1=q(n>1),=q(n>2)aann-12、通項(xiàng)a=a+(n-1)dn1a=a.qn-1n1公式a=a+(n一m)d(n,mgN*)nma=a?qn-mnm(a+a)ns=1nq=1,S=na;3、前n項(xiàng)和n2n11ca(1-qn)a-aqs=na+n(n-1)dn12q豐1,S=1=—n-in1-q1-qa+ba、A、b成等差數(shù)列OA=；Aba、A、b成等比數(shù)列O—=匚2aAa是其前k項(xiàng)a與后k項(xiàng)a的等差中項(xiàng)，nn-kn+k〔不等價(jià)于A2=ab，只能n丿；4、中項(xiàng)q丄ad十d艮卩：a=~n-k~n+ka是其前k項(xiàng)a與后k項(xiàng)a的n2nn-kn+k等比中項(xiàng)，即：a2=a?ann-kn+k假設(shè)m+n=p+q,那么a+a=a+a假設(shè)m+n=p+q,那么a?a=a?a特別5、下標(biāo)和公式mnpqmnpq特別地,假設(shè)m+n=2p,那么a+a=2a地，假設(shè)m+n=2p,那么a?a=a2mnpmnp等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的積等6、首尾項(xiàng)性質(zhì)尾兩項(xiàng)的和，即：于首尾兩項(xiàng)的積，即：a+a=a+a=...=a+aa?a=a?a=...=a?a1n2n-1kn-(k-1)1n2n-1kn-(k-1)｛a｝為等差數(shù)列，假設(shè)m,n,p成等差數(shù)列，那n｛a｝為等比數(shù)列，假設(shè)m,n,p成等差數(shù)列，那n么a,a,a成等差數(shù)列么a,a,a成等比數(shù)列mnpmnp〔兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列〕〔兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列丿r7、結(jié)論〔兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列丿r等差數(shù)列｛a｝,｛b｝的公差分別為d,e,那么nn等比數(shù)列｛a｝,｛b｝的公比分別為p,q,nn數(shù)列｛a+b｝仍為等差數(shù)列，公差為d+enn那么數(shù)列｛a?b｝仍為等比數(shù)列，公差nn為pq

取出等差數(shù)列的所有奇〔偶〕數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為2d取出等比數(shù)列的所有奇〔偶〕數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為q2假設(shè)a=n,a=m（m豐n）,那么a二0mnm+n無此性質(zhì)；假設(shè)S=n,S=m（m豐n）,那么mnS=-（m+n）m+n無此性質(zhì)；假設(shè)s—s（m豐n）,則s=0mnm+m無此性質(zhì)；s,s一s,s一s，…成等差數(shù)列，m2mm3m2m公差為m2d———————，…成等差數(shù)m2mm3m2m列，公比為qm當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，s-s—nd偶奇sa—奇—n—sa偶n+1當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n一1時(shí)，s-s—a奇偶中sns—（2n1）a，—奇—2n-1中—n—1偶當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，—-qS偶奇當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n—1時(shí)，——a+q—奇1偶8、等差（等比）數(shù)列的判斷方法定義法：a—a—d（n>2）nn—1等差中項(xiàng)概念；2a—a+a（n>2）nn—1n+1函數(shù)法：an—pn+q（p,q為常數(shù)）關(guān)于n的一次函數(shù)。數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為p+q,公差為pC0）的等差數(shù)列；數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和形如S—an2+bnn（a,b為常數(shù)），那么數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，定義法：一L—qan—1等差中項(xiàng)概念；aa—a2（a豐0）nn+2n+1n函數(shù)法：a—cqn（c，q均為不為0的n常數(shù)，ngN），那么數(shù)列｛a｝是等比數(shù)+n列.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和形如S—AqnA（A，q均為不等于0的常n數(shù)且q^1）,那么數(shù)列｛a｝是公比不為1n的等比數(shù)列.9、共性非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列數(shù)列求和常用的方法(1)公式法：n(a+a),n(n-1)①S=in=na+dn212na(q=1)

a(1-qn)(亠1)i(q豐1)1-q裂項(xiàng)求和:將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)：111①=n(n+1)nn+11n(n1n(n+k)1(--kn③—<匚=丄()；③—<匚=丄()；k2k2-12k-1k+11111111—=<<=kk+1(k+1)kk2(k—1)kk—1k1④1④n(n+1)(n+2)1(n+1)(n+2)=2(、''=2(、''n—\:n—1)<<

\；n+Qn+1nn+、：n—1錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法).倒序相加法:假設(shè)和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性，那么常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法).分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將刑式〃中“同類項(xiàng)〃先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.典型例題方法一：公式法等差數(shù)列｝中，a=1，a一a=1.n132⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n〔2〕求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S.nn正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a=2，a=8nn13⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n〔2〕求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S.nn方法二：裂項(xiàng)求和裂項(xiàng)求和:將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差，即，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)：

①=———n(n+1)nn+①=———n(n+1)nn+111(11)②=—(————n(n+k)knn+k11111③LV=三(—)；11k2k2—12k—1k+11亠④n(n+1)(n+2)=2[n(n+1)_(n+1)(n+2)1—v丄v」11kk+1(k+1)kk2(k-1)kk-1k12Gn+1—\-n)=vv=2(、*：n—\n一1)n+*n+1npn+、：n—13?數(shù)列｛"〔neN*〕是公差不為0的等差數(shù)列，假設(shè)ai-1，且a2,a4，役成等比數(shù)列.1〕求｛a｝的通項(xiàng)公式;n2〕假設(shè)b=一-—，求數(shù)列｛b｝的前n1〕求｛a｝的通項(xiàng)公式;n2〕假設(shè)b=一-—，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S.nnna-ann+14.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛。｝的的前n項(xiàng)和為S，對(duì)VneN*，有2S=a2+a.nnnnn〔I〕求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n〔II〕令bn=，設(shè)｛b｝的前n項(xiàng)和為T，求證：T<1.nnn方法三：含絕對(duì)值的數(shù)列求前n項(xiàng)和5.在數(shù)列｛a｝中，a=&a=2，且滿足a—2a+a=0CneN*)n14n+2n+1n⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;na+a+???+a12n，求T.n〔2〕設(shè)T=n6.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=25n—2n2nn⑴求證：｛a｝是等差數(shù)列;n｛a|｝的前n項(xiàng)和T.nn2〕求數(shù)列方法四：錯(cuò)位相減7.遞增數(shù)列｛a｝滿足a+a=2a，neN*，且a，a是方程x2—10x+21=0的兩根,nnn+2n+124數(shù)列龍｝的前n項(xiàng)和為S，且S二1-1b\ngN*nnn2n⑴求數(shù)列｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式；nn〔2〕記c二ab，求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和T.nnnnn8.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a是S與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛b｝,b=1，點(diǎn)P（b,b）nnnnn1nn+1直線x-y+2二0上.〔1〕求a1值；〔2〕求數(shù)列｛a｝,｛b｝的通項(xiàng)公式；nn〔3〕設(shè)c二ab，求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和T.nnnnn方法五：分組求和9.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=2n2-n，數(shù)列｛b｝滿足41ogb二a+3.nnn2nn⑴求數(shù)列｛a｝、｛b｝的通項(xiàng)公式;nn〔2〕設(shè)c=b+-^，求數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和T.nnaannnn+110.S是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，ann1a2=210.S是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，ann12n+1nn-1n>2,ngN*.〔1〕求證數(shù)列｛a―1｝是等比數(shù)列；n〔2〕求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S.nn方法六：倒序相加法求和111設(shè)f（x）=2X^2，利用教科書上推導(dǎo)數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法,可求得f（-5）+f（-4）當(dāng)堂訓(xùn)練°）的值為-1.等比數(shù)列{a}n的前1.等比數(shù)列{a}n的前n項(xiàng)和為Sn，5a+a=—

且132,5S=a+a=n=244，那么an〔A.A.4n-1B.4n—1C.2n-1D.2n—12.在等差數(shù)列｛a｝中，假設(shè)S為其前n項(xiàng)和,nna6—5，那么S11的值是〔A.60B.11C.50D.553.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為SC.2n-1D.2n—12.在等差數(shù)列｛a｝中，假設(shè)S為其前n項(xiàng)和,nna6—5，那么S11的值是〔A.60B.11C.50D.553.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,nn假設(shè)a2+a9—a3+8，那么S15—〔A.60B.120C.160D.2404.設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,nn假設(shè)S2—3，S4—15，那么S6—〔6A.31B.32C.63D.645.等差數(shù)列｛a｝中，a+a+a——24,a+a+a—78,n123181920那么此數(shù)列的前20項(xiàng)和等A.160B.180C.200D.2206.數(shù)列｛a｝、｛b｝都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為巴、彳，且a1+片—5,

(neN*)，那么數(shù)列｛c｝的前10項(xiàng)和等于］〕.nnna,beN*.設(shè)c—a11nbnA.55B.70C.85D.1007.我國古代數(shù)學(xué)名著?算法統(tǒng)宗?中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈.〞意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，那么塔的頂層的燈數(shù)是〔下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，那么塔的頂層的燈數(shù)是〔〕A.B.C.3D.68.數(shù)列1，A.B.C.3D.68.數(shù)列1，J244，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為〔〕n—1B.A.B.C.(—1)nD.(—C.(—1)n二、填空題n兀9數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an-訕+1)-血2(neN”其前n項(xiàng)和為Sn，那么10．?九章算術(shù)?中的“兩鼠穿墻題〞是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚假設(shè)干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢，各穿幾何？〞題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍：小老鼠第天也進(jìn)一尺，以后每天減半?如果墻足夠厚，S為前n天兩只老鼠打洞長度之和，那么尺.n尺.S3=a5成等差數(shù)列，記Sn是5n—a，數(shù)列｛b｝的前n2n—1nTOC\o"1-5"\h\z11.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。a5成等差數(shù)列，記Sn是5n—a，數(shù)列｛b｝的前n2n—1n數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，那么S4.n412.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，假設(shè)a—1，a2—2，a豐0,nn12n=aS—2nS，其中n>2，且n=aS—2nS，其中n>2，且ngN*.設(shè)bn+1n+1n—1nnn+1項(xiàng)和為t，那么T10o———.三、解答題13.數(shù)列｛a｝是公比為2的等比數(shù)列，且a2，《+1，a,成等差數(shù)列.n234⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和.n14?公差不為0的等差數(shù)列｛an｝前9項(xiàng)之和S廣45，且第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)成等比數(shù)列⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;n⑵假設(shè)數(shù)列｛⑵假設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足bn—%‘1"1求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)的和T.nn15.｛a｝是等差數(shù)列,a—12,a—4.TOC\o"1-5"\h\zn26(1〕求｛a｝的通項(xiàng)公式;n(2〕求｛a｝的前n項(xiàng)和S的最大值.nn16.設(shè)函數(shù)f(x)—(x>0)，數(shù)列｛a｝滿足a—1,a—\o"CurrentDocume