二次函數(shù)型有關(guān)的恒成立與有解問(wèn)題學(xué)生版

二次函數(shù)型的恒成立與有解題型歸納一、知識(shí)點(diǎn)形如g(Q=a[fG)[2+bfG)+c的函數(shù)稱為二次型函數(shù)，與二次型函數(shù)有關(guān)的恒成立或有解問(wèn)題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.二、例題賞析(一)一元二次不等式在R上的恒成立或有解問(wèn)題對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c>0(a豐0)有：f(x)>0在xeR上恒成立oa>0且A<0； 2,f(x)<0在xeR上恒成立oa<0且A<0.基本題型：【例】(2020?貴州高三期末(理))若不等式2讓2+讓-；<0對(duì)一切實(shí)數(shù)%都成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為A.(-3,0) B.(-3,0]C.(—oo,0] D.(—oo,—3)U[0,+8)【變式訓(xùn)練】(2019?上海市高一期中)若關(guān)于【變式訓(xùn)練】(2019?上海市高一期中)若關(guān)于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+2

x2+x+1>0的解集為R范圍為 3 【變式訓(xùn)練】若一兀二次不等式2kx2+kx—3<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()8A.(—3,0] B.[—3,0)C.[—3,0] D.(—3,0)【變式訓(xùn)練】若函數(shù)y=log2(kx2-2kx+8)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(二)一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立或有解問(wèn)題設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a豐0).(1)當(dāng)(1)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0在xe[a,p]上恒成立o<-b<a或<、f(a)>0人-2b邛或-A<0--->p,

2a八P)>0.f(x)<0在xe[a,p]上恒成立o|f(?<0，If(p)<0.(2)當(dāng)a<(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0在xe[a,P]上恒成立of(a)>0,f(P)>0.f(x)<0在xe[a,P]上恒成立o-b--—<a2a 或-、f(a)>0b

a<-3<P.2a或-A<0一b>P，2a?f(P)<0.類型一：構(gòu)造二次函數(shù)分類討論【例】設(shè)函數(shù)f(x)=mx2—mx—1.若對(duì)于x￡[1,3],f(x)<—m+5恒成立，求m的取值范圍.【變式訓(xùn)練】已知不等式mx2—2x—m+1<0,是否存在實(shí)數(shù)m對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型二：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式f(x,入)20(xeD,九為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù)九的取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，即化為g(九)2f(x)(或g(入)<f(x))恒成立的形式；(2)求f(x)在xeD上的最大(或最小)值；(3)解不等式gG)2/(x)(或gQ)4/G)),得九的取值范圍.max min11【例】(2020?吉林吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末)已知函數(shù)/G)=q%3—5m入2+4%-3在區(qū)間11,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】(2019?江蘇淮陰中學(xué)高一期中)已知/(%)=2x—2-尤，若不等式/(r2—以+〃)+/(3)＞。對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)￡12,3]恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.類型三：主參換位~反客為主法【例】(2020?上海中學(xué)高一期中)已知二次函數(shù)/(x)=4%2—2(2—2)x—2p2—p+l,若在區(qū)間[—1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)％使/(幻＞°，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)/(%)=乂2+祖％―1,若對(duì)于任意l6[m,機(jī)+1],都有/(x)＜。成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是 .【變式訓(xùn)練】對(duì)任意加□[—1,1]，函數(shù)＜x)=x2+(加一4)x+4—2加的值恒大于零，求x的取值范圍.(三)?[/G)2+bfG)+c＞0恒成立問(wèn)題形如a[/G)[2+"(x)+c＞0的不等式恒成立問(wèn)題，可設(shè)，=/(%),轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，但要注意?=/(%)的范圍.2x—m 【例】(2019?湖南茶陵三中高一期中)函數(shù)f(x)=- 是R上的奇函數(shù)，m、n是常數(shù).2x+1+n(1)求m,n的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明；(3)不等式fQ?3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意xeR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【變式訓(xùn)練】若關(guān)于x的不等式cos2x+sinx+a<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【變式訓(xùn)練】設(shè)bGR，若函數(shù)f(%)=4久-2久i b在［-1,1］上的最大值是3,則其在［-1,1］上的最小值是()A.2 B.1 C.0D.-1(四)、其它類型：對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c>0(a中0)有：(1)a>fQ)恒成立=a>fQ)；maxa<fQ)恒成立=a<fQ)；minf(x)>0恒成立Of(x)min>0(注：若f(x)的最小值不存在，則f(x)>0恒成立of(x)的下界大于0)；f(x)<0恒成立Of(x)max<0(注：若f(x)的最大值不存在，則f(x)<0恒成立Of(x)的上界小于0).【例】(2019?河北高一期中)不等式x2-2x+5>a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【例】(2019?甘肅高二期末(理))若關(guān)于1的不等式x2—4x>m對(duì)任意％e[0,1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【變式訓(xùn)練】【2019天津市和平區(qū)高三第二次質(zhì)量調(diào)查】若不等式-%2+2%+342i-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)%都成立,則實(shí)數(shù)。的最大值為三、跟蹤訓(xùn)練1、(2020?福建廈門高二月考(理))已知函數(shù)f(x)=1x3—1mx2+4x—3在區(qū)間11,2]上是增函數(shù)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )A.4<m<5B.2<m<4 C.m<4 d.m<42.己知f(%)=%2+2%+1+a,V%CR,f(/(%))20恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )A.[^5-1,+rn] B.[q3,+8] C.[-1,+8) D.[0,+8)223、若函數(shù)f(x)=2x3-3mx2+6x在區(qū)間(1,+s)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是((—s,1](—s,1](fl)C.(f2]D.(f2)4、已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a￡R,b￡R),對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1~x)=f(1+x)成立，當(dāng)x引一1,1]時(shí)，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是()A.-1<b<0 B.b>2C.b<-1或b>2 D.不能確定.已知/(%)=6(％—2m)(%+m+3),g(%)=4久—2,若對(duì)任意％CR,f(%)<0或g(%)<0,則m的取值范圍是( )A.(-7,+8) B.(-8,1) C.(-；,0) D.(0,；).【河南省鄭州市2019年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】已知平面向量?jī)?yōu)b滿足同=1,⑶=2,|@-b|=V7,若 對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,不等式生五十班|>1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )A.(-8,-73)U(V3,+8) B.(-8,-g)U(：,+8) C.(V3,+8)D.(g,+8).【江西省宜豐中學(xué)2019屆高三第二次月考】在R上定義運(yùn)算⑤:％0y=x(1-y),若不等式。-a)⑤(%+a)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)久恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.-1<a<1B.」<a<3 C.-3<a<】D.0<a<2.【山東省濱州市2019屆高三期中】若對(duì)于任意的x>0,不等式mx<x2+2x+4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )A.(…，4] B.(-孫6] C. [-2,6] D. [6, +(?).【寧夏銀川一中2018屆高三第二次模擬】已知不等式孫<a%2+2y2對(duì)于％G[1,2],yG[2,3]恒成立，則a的取值范圍是A.[1,+8)B.[-1,4)C.[-1,+8) D.[-1,6]10、若關(guān)于x的二次不等式ax2+(a—1)x+a—1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是..【安徽省黃山市2019屆高三11月“八校聯(lián)考”】不等式(acos2%-3)sin%>-3對(duì)V%GR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是..【江西省臨川第一中學(xué)2019屆高三10月月考】若不等式k%+3k>|%2-4%-5|對(duì)第6[-1,5]恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.13、(2019?河南高二月考(文))設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-2(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)f(