中考數學第二輪專題復習：壓軸題提優(yōu)沖刺訓練

第第頁2021屆九年級數學第二輪專題復習專題1一線三等角/K型圖（垂直處理）專題2特殊幾何圖形在坐標系（函數圖像）中專題3設點法解決反比例函數問題專題4等腰三角形存在性問題專題5直角三角形存在性問題專題6特殊四邊形存在性問題專題7相似、全等三角形存在性問題專題8相切問題專題9線段問題專題10角度問題專題11面積問題專題一一線三等角/K型圖（垂直處理）一、一線三等角概念：顧名思義，“一線三等角”指的是有三個等角的頂點在同一直線上構成的相似（全等）圖形，這個角可以是直角、銳角、或鈍角。二、一線三等角的性質：圖1圖2圖3大家都知道：①如圖1，如果點B、E、C在一條直線上，且∠ABC=∠AED=∠DCE=90°，那么△ABE∽△ECD。②當然，∠ABC=∠AED=∠DCE，三個角相等，但并不一定等于90°，△ABE∽△ECD這個結論依然成立，如圖2、圖3。③若∠ABC=∠AED=∠DCE=90°，且AE=ED，（即△AED為等腰直角三角形）時，那么△ABE≌△ECD。三、一線三等角模型應用原理：化“斜”為“直”添加輔助線的作法：①以直角三角形的直角所在位置作平行x軸或y軸的平行線；②過三角形另外兩個端點分別作平行線的垂線，構造“K”字型。關鍵詞：“直角三角形”、“等腰直角三角形”例1：如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為（）。A、9B、12C、15D、18例2：如圖，已知點A（0，4），B（4，1），BC⊥x軸于點C，點P為線段OC上一點，且PA⊥PB，則點P的坐標為.例3：已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點）。連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖），設CP=x，DE=y。（1）寫出y與x之間的關系式_____

。（2）若點E與點A重合，則x的值為_____

。（3）是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點D’落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由。例4：（1）如圖②，已知點A(－2，1)，點B在直線y＝－2x＋3上運動，若∠AOB＝90°，求此時點B的坐標；

（2）如圖③，過點A(－2，1)作x軸與y軸的平行線，交直線y＝－2x＋3于點C、D，求點A關于直線CD的對稱點E的坐標.

隨堂練習1、如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，則△ABC的面積為（）.B、15C、D、2、如圖，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在點Q處，EQ與BC交于點G，則△EBG的周長為.3、如圖，直線y=

x+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰落在直線y=

x+3上，若N點在第二象限內，則tan∠AON的值為.4、在矩形紙片ABCD中，AB=8，BC=20，F為BC的中點，沿過點F的直線翻折，使點B落在邊AD上，折痕交矩形的一邊于G，則折痕FG=。如圖，正方形

的頂點

、

在反比例函數（x＞0）

的圖象上，頂點

、

分別在

x軸、

y軸的正半軸上，再在其右側作正方形，頂點

在反比例函數

（x＞0）的圖象上，頂點

在

x軸的正半軸上，則點

的坐標為

．

6、如圖，在△AOC中，AC=OC，O是坐標原點，點C在x軸上，點A坐標是（1，3），則點C的坐標是.若A點在雙曲線（x＞0）

上，AC與雙曲線交于點B，點E是線段OA上一點(不與O、A重合)，設點D（m，0）是x軸正半軸上的一個動點，且滿足∠BED=∠AOC，當線段OA上符合條件的點E有且僅有2個時，m的取值范圍是.7、已知：在矩形AOBC中，分別以OB、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系。E是邊AC上的一個動點(不與A、C重合)，過E點的反比例函數（x＞0）的圖象與BC邊交于點F.(1)若△OAE、△OBF的面積分別為、且+=2，求k的值；

(2)若OB=4，OA=3，記，問當點E運動到什么位置時，S有最大值，其最大值為多少?

(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點E，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上?若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由。專題二特殊幾何圖形在坐標系（函數圖像）中分類討論思想例1：有一個Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，將它放在直角坐標系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點A在反比例函數的圖象上，求點C的坐標．例2：在平面直角坐標系中，一次函數的圖像分別與x軸、y軸相交于點A、B。若以AB為一邊的等腰三角形ABC的底角為30°，求點C的坐標。變式：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線分別與x軸、y軸相交于點A、B。若以AB為腰，作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°，求點C的坐標。例3：在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖像與x軸相交于點A、B，頂點為C，點D在這個二次函數圖像的對稱軸上，若四邊形ACBD是一個邊長為2，且有一個內角為60°的菱形，求此二次函數表達式。隨堂練習1、已知等腰△ABC，點A是頂角頂點，三角形有一個內角是30°，把它放在直角坐標系中，使腰AB落在y軸上，點C的坐標為（，7），請在直角坐標系中畫出所有滿足題目要求的等腰△ABC，并求出A、B兩個點的坐標。2、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，將它放在直角坐標系中，使斜邊AB在x軸上，直角頂點C在反比例的圖象上.

(1)當Rt△ABC按如圖所示放置，求出點A的坐標.

(2)如果改變Rt△ABC的放置方式，A點的坐標還可能是．變式：有一個Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，將它放在直角坐標系中，使斜邊AB在x軸上，直角頂點C在反比例第一象限內的圖像上，則點B的坐標為.△ABO，OA=OB=5，OA邊上的高線長為4，將三角形ABO放在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，點A在x軸的正半軸上，那么點B的坐標是.4、在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），C（0，3），在y軸上是否存在一點M，使得△ACM為等腰三角形？若存在，請寫出所有滿足點M的坐標；若不存在，請說明理由.專題三設點法解決反比例函數問題例1：如圖所示，正方形的頂點、在反比例函數（x＞0）的圖像上，頂點、分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形，頂點在反比例函數（x＞0）的圖像上，頂點在x軸的正半軸上，則點的坐標是.例2：如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點F在x軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數（k≠0，x＞0）的圖像過點B、E，若AB=2，則k的值為.例3：如圖所示，將邊長為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標系xOy中，C是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），作CD⊥OB于點D，若點C、D都在雙曲線（k＞0，x＞0）上，求k的值？例4：如圖所示，已知點A是一次函數（x≥0）的圖像上一點，過點A作x軸的垂線l，B是l上一點（點B在點A上方），在AB的右側以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，反比例函數（x＞0）的圖像過點B、C，若，則.例5：如圖所示，在平行四邊形AOBC中，對角線交于點E，雙曲線（x＞0）經過A、E兩點，若平行四邊形AOBC的面積為18，則k=.隨堂練習1、如圖，A、B是雙曲線（k＞0）上的點，A、B零點的橫坐標分別為a、2a，線段AB的延長線交x軸于點C，若，則k=2、如圖所示，雙曲線經過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，，則k=.3、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B在雙曲線（x＞0）上，BC與x軸交于點D，若點A的坐標（1，2），則點B的坐標為4、如圖，若雙曲線（x＞0）與邊長為3的等邊△AOB（O為坐標原點）的邊OA、AB分別交于C、D兩點，且OC=2BD，則k的值為5、如圖所示，在平面直角坐標系中，一條直線與反比例函數（x＞0）的圖像交于A、B兩點，與x軸交于點C，且點B是AC的中點，分別過兩點A、B作x軸的平行線，與反比例函數（x＞0）的圖像交于D、E兩點，連接DE，求四邊形ABED的面積？6、如圖，雙曲線經過Rt△BOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，=21，則k=7、如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線交OB于D，且OD：OB=1:2，若△OBC的面積等于8，則k的值為．專題四等腰三角形存在性問題分類討論標準：通常以三個頂點輪流作頂角，進行分類討論問題1在平面中找一點P，使得點P與點A、B構成等腰三角形。第一類點，以AB為腰：分別過點A、B為圓心，AB為半徑畫圓，則兩圓上的點（除去與A、B重合或共線的點）都能與A、B構成等腰三角形。第二類點，以AB為底邊：連接兩圓的交點、，可證是線段AB的垂直平分線，則所在直線上的點（除去與直線AB共線的點）都能與A、B構成等腰三角形?？偨Y：兩圓一線去五點模型在具體題目中有時不僅要找出符合題意的點，還要計算出此點的坐標，計算點坐標的方法可以參考以下幾種：①全等或相似；②勾股定理；③銳角三角函數；④面積法；⑤方程或方程組。模型解析：【例】如圖，已知A（1，1），B（4，3），在x軸上取點C使得△ABC是等腰三角形。作圖并不難，問題是還需要把各個點坐標算出來，可通過勾股或三角函數來求?！編缀畏ā坷谩皟蓤A一線”得坐標：表示點：設點的坐標為（m表示點：設點的坐標為（m，0），A（1，1），B（4，3）。表示線段：，分類討論：根據，可得：求解的答案：解得：m=，故的坐標為（，0）專題攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況。解等腰三角形存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又快又好。幾何法三部曲：分類、畫圖、計算。代數法三部曲：羅列三邊長、分類類方程、解方程并檢驗。典型例題【例】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D的坐標為（3，4），點P是x軸正半軸上的一個動點，如果△DOP是等腰三角形，求點P的坐標。幾何法：∵D（3，4）∴OD=5，cos∠DOP=①如圖1，當PD=PO時，作PE⊥OD于E在Rt△OPE中，cos∠DOP==，OE=∴OP=∴P（，0）②如圖2，當OP=OD=5，∴P（5，0）.③如圖3，當DO=DP時，點D在OP的垂直平分線上，∴P（6，0）綜上所述：P點的坐標為（6，0）或（5，0）或（，0）。代數法：設P（x，0），則，，.①當DO=DP時，，解得x=6或x=0當x=0時，不符合P點在x軸正半軸上，故舍去∴P（6，0）②當OD=OP時，，解得x=±5，如圖4所示當x=-5時，不符合P點在x軸正半軸上，故舍去∴P（5，0）③當PO=PD時，，解得x=∴P（，0）綜上所述：P點的坐標為（6，0）或（5，0）或（，0）。總結：幾何法只要圖畫的夠好，就能快速找到目標，代數法不需要畫圖，但有時計算量會比較大，而且算出來的結果還要進行檢驗，這類存在性的問題，要能夠把幾何法與代數法相結合，才能使得解題又快又準。例1：如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D.

(1)求該二次函數的解析式；

(2)如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由.

變式：如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A、D的坐標分別為（-2，0），（6，-8）。（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標。（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由。（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q。試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形。例2：如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交x軸于點A（-4，0）、B（2，0），交y軸于點C（0，6），在y軸上有一點E（0，-2），連接AE。求二次函數的表達式；若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；拋物線對稱軸上是否存在點P，使得△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由。變式：如圖，拋物線交x軸于A（-3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m。求拋物線的表達式；過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，是探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。例3：如圖，已知二次函數的圖像與x軸相交于點A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，-3）。求這個二次函數的表達式；若P是第四象限內這個二次函數圖像上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC。①求線段PM的最大值；②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標。變式：如圖，在平面直角坐標中，拋物線經過點A（-5，0）和點B（1，0）。求拋物線的解析式和頂點D的坐標；點P是拋物線上A、D之間的一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PG⊥y軸，交拋物線于點G，過點G作GF⊥x軸于點F，當矩形PEFG的周長最大時，求點P的坐標；如圖，連接AD、BD，點M在線段AB上（不與A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN交線段AD于點N，是否存在這樣的點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由。隨堂練習1、如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P以2個單位/秒的速度從A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動，在P、Q兩點移動過程中，當△PQC為等腰三角形時，則t=.2、如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，當△APQ是等腰三角形時，點P的坐標為.3、如圖所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A、D的坐標分別是（-2，0）、（6，-8）.（1）求拋物線的函數表達式，并求出點B、點E的坐標；（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形.4、如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B、C兩點，與x軸另一交點為A。點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B、C重合），設運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M。求拋物線的解析式；如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當時，求t的值；如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值。專題四直角三角形存在性問題分類討論標準：通常以直角頂點作分類標準問題1在平面中找一點P，使得點P與點A、B構成直角三角形。第一類點，以AB為直角邊：分別過點A、B作垂線，則兩條垂線上的點（除去與A、B重合的點）都能與A、B構成直角三角形。第二類點，以AB為斜邊：以AB為直徑作圓O，圓O上（除去與A、B重合的點）都能與A、B構成直角三角形。（原理：直徑所對的圓周角為直角）總結：兩線一圓模型“兩線一圓”法會得到無數個滿足條件的點C，一般題目中也會對C點有限制條件，使得C點的個數變?yōu)橛邢薜?，所以此類題目一定要考慮全面，將所有滿足條件的點準確找出來，不能多，也不能少。模型解析：【例】已知：定點A（2，1）、B（6，4）和動點M（m，0），構成直角三角形作出圖形后，具體求解方法有三種：方法一：“K”型圖（一線三等角）易得：△ACM∽△BEA，利用相似對應線段成比例，求得CM長，從而求出點M的坐標。易得：△AEB∽△BFM，利用相似對應線段成比例，求得BF長，從而求出點M的坐標。易得：△ACM∽△BEA，利用相似對應線段成比例，求得CM長，從而求出點M的坐標。易得：△AEB∽△BFM，利用相似對應線段成比例，求得BF長，從而求出點M的坐標。當∠當∠B=90°則①表示：利用兩點間距離公式；②表示：；③表示：。聯(lián)立①②③，代入求解。當∠M=90°則①表示：利用兩點間距離公式；②表示：；③表示：。聯(lián)立①②③，代入求解。直線BM與x直線BM與x軸的交點即為M直線AM與x軸的交點即為M問題2熟練掌握判定直角的方法：角：兩銳角互余邊：勾股定理逆定理兩直線斜率：問題3熟練掌握直線與x軸正方向的夾角θ與斜率k的關系：|k|=tanθ。專題攻略直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似三角形。（“K”字型）在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用到：若A（，），B（，），那么AB=。解直角三角形問題，常常和相似三角形、三角函數聯(lián)系在一起。典型例題【例】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，D、E為線段BC上的兩個動點，且DE=3（E在D的右邊），運動初始時D和B重合，當E和C重合時運動停止，過E作EF∥AC交AB于F，連接DF，設BD=x，如果△BDF為直角三角形，求x的值?！痉治觥俊鰾DF中，∠B是確定的銳角，那么按照直角頂點分類，直角三角形BDF存在兩種情況。如果把夾∠B的兩條邊用含x的式子表示出來，分兩種情況列方程就可以了?！窘獯稹拷猓喝鐖D1，作AH⊥BC，垂足為H，