2022年人教版八2022年級數(shù)學(xué)下冊1勾股定理逆定理培優(yōu)訓(xùn)練（word版含答案）

17,2勾股定的逆定理[必備]☆知識點一、互逆命題與互逆定理互逆命題：如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個角做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.互逆定理：一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，則稱這兩個定理互為逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷真假.同位角相等，兩直線平行對頂角相等如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)的平方也相等隨堂練習(xí)：1：下列定理中，沒有逆定理的是（）等腰三角形的兩個底角相等對頂角相等三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等直角三角形的兩個銳角的和等于90°2：已知下列命題：①若a＞b,則ac＞bc；②若a=1，則；③內(nèi)錯角相等.其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是（）二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形，我們稱它為勾股定理的逆定理.例1：判斷下列條件的三角形是否為直角三角形.在△ABC中，∠A=20°，∠B=70°在△ABC中，AC=7，AB=24，BC=25一個三角形的三邊長a,b,c滿足（a+b）（a-b）=c2例2：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC邊上的中線AD=6，求BC的長.三：勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即中，a,b,c為正整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù).勾股數(shù)的求法：①如果a為一個大于1的奇數(shù)，b,c是兩個連續(xù)自然數(shù)，且有a2=b+c，那么a,b,c為一組勾股數(shù).如3為大于1的奇數(shù)，4,5為兩個連續(xù)自然數(shù)，且32=4+5，則3,4，5為一組勾股數(shù)，還有：5,12,13；7,24,25；9,40,41；11,60,61……②如果a,b,c為一組勾股數(shù)，則na,nb,nc也是一組勾股數(shù)，其中n（n≥1）為自然數(shù).例如3,4,5是一組勾股數(shù)，那么6,8,10也是一股勾股數(shù)，9,12,15也是一組勾股數(shù).拓展：勾股數(shù)有無數(shù)組，當(dāng)m＞n，m,n,k都是正整數(shù)時，利用a=k（m2-n2）,b=2kmn,c=k（m2+n2）,便可計算出所有的勾股數(shù)組.課后練習(xí)：練習(xí)：1.如圖是一個機器零件示意圖，∠ACD=90°是衡量這個零件是否合格的一項指標(biāo)．現(xiàn)測得AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，CD=12cm，∠ABC=90°，根據(jù)這些條件，能否知道∠ACD是否等90°？2.如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=20cm，D是腰AB上一點，且CD=16cm，BD=12cm，求：（1）∠BDC的度數(shù)；（2）△ABC的周長．3.邱老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：n2345a22－132－142－152－1b46810c22＋132＋142＋152＋1(1)請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n(n＞1)的代數(shù)式表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并說明你的猜想．4.閱讀下列解題過程．已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），①∴c2＝a2＋b2，②∴△ABC是直角三角形．③則（1）上述解決問題的過程，從第________步出現(xiàn)錯誤．（2）錯誤的原因是________．（3）本題正確的結(jié)論是________．5.在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)為CD上一點，且，試判斷△AEF是否是直角三角形？試說明理由．

答案：一、互逆命題與互逆定理例1：解：（1）兩直線平行，同位角相等；真（2）相等的角是對頂角；假（3）如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)的絕對值相等；真隨堂練習(xí)：BA二、勾股定理的逆定理例1：解：（1）是（2）是（3）是例2：解：延長AD到E使AD=DE，連接CE，在△ABD和△ECD中，AD＝DE∠ADB＝∠EDCBD＝DC∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°，由勾股定理得：，∴BC=2CD=答：BC的長是.課后練習(xí)：1.解：∵在Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=90°，

∴AC=5cm，

在△ACD中，∵AD=13cm，CD=12cm，AC=5cm，

∴AD2=169，CD2+AC2=169，

∴AD2=CD2+AC2，

∴∠ACD=90°．2.解：（1）∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm∴BC2=CD2+BD2∴∠BDC=90°（2）設(shè)AC=x，∴AD=x-12可得x2=（x-12）2+162解得x=∴cm3.解：（1）由圖表可以得出：

∵n=2時，a=22-1，b=4，c=22+1，

n=3時，a=32-1，b=2×3，c=32+1，

n=4時，a=42-1，b=2×4，c=42+1，

…

∴a=n

2-1，b=2n，c=n

2+1．

（2）a、b、c為邊的三角形時：

∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．4.解：（1）③；

（2）忽略了a2-b2=0的可能；

（3）接第③步：

∵c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），

∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，

∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，

∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0．故a=b或c2=a2+b2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．5.解：設(shè)正方形的邊長為4a，

∵E是BC的中點，CF＝CD，

∴CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．

由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=16a2+9a