《微積分（第二版）》課件第一節(jié)函數(shù)

1線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國(guó)人民大學(xué)出版社第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)第四節(jié)函數(shù)模型一、函數(shù)的概念二、具有特性的幾類(lèi)函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念

變量：如果一個(gè)量在某個(gè)過(guò)程中是變化的,即可以取不同的數(shù)值,則稱這種量為變量.變量通常用x,y,t,表示．常量：如果一個(gè)量在某過(guò)程中保持不變,總?cè)⊥恢?則稱這種量為常量.常量通常用a,b,c，表示.

例變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、某地區(qū)的溫度、某產(chǎn)品的產(chǎn)量和成本等均為變量．一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的概念

變量與變量之間的依賴關(guān)系是微積分研究的主要問(wèn)題．先看下面的例子.

例自由落體運(yùn)動(dòng).設(shè)物體下落的時(shí)間為t,下落的距離為s，假定開(kāi)始下落的時(shí)刻為t=0，那么s與t之間的依賴關(guān)系式為:其中g(shù)是重力加速度，假定物體著地時(shí)刻為t=T，那么當(dāng)時(shí)間t在閉區(qū)間[0,T]上任取一值時(shí)，由上式就可以確定相應(yīng)的s值.1.函數(shù)的概念

例設(shè)有半徑為的圓,考慮內(nèi)接與圓的正邊形的周長(zhǎng).可得內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)與邊數(shù)之間的依賴關(guān)系式為:當(dāng)邊數(shù)在3,4,5,等自然數(shù)中取任意一個(gè)確定值時(shí),由上式都有周長(zhǎng)的已相應(yīng)值對(duì)應(yīng).

上述例子都表達(dá)了兩個(gè)之間的依賴關(guān)系,這種依賴關(guān)系確定了一種對(duì)應(yīng)法則,這種這種對(duì)應(yīng)法則所反映的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系.

定義1

設(shè)D是實(shí)數(shù)集上的一個(gè)非空子集，如果有D到R上的一個(gè)映射（對(duì)應(yīng)規(guī)則）f，使得對(duì)于每個(gè)，通過(guò)映射f都有惟一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在D上的函數(shù)，x稱為f的自變量，y

稱為因變量，函數(shù)記作其中稱D為函數(shù)的定義域，記作D（f），D中的每一個(gè)根據(jù)映射f對(duì)應(yīng)于一個(gè)y，記作y=f(x)，稱為函數(shù)f在x的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,對(duì)于任意的,通過(guò)函數(shù)y=f(x)都可確定一個(gè)點(diǎn)M(x,y),當(dāng)x取遍定義域D中的所有值時(shí)，點(diǎn)M(x,y)描出的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形.一個(gè)函數(shù)的圖形通常是一條曲線.因此,又稱函數(shù)y=f(x)的圖形為曲線y=f(x).xxyyy=f(x)

2.函數(shù)的兩個(gè)要素

(1)函數(shù)的定義域函數(shù)定義域的確定就是確定使得函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的定義域，通常由實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)而定.例求函數(shù)的定義域.所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.解要使函數(shù)y有定義，應(yīng)滿足

例

已知存款的月利率為k%，現(xiàn)存入銀行a元本金，按復(fù)利計(jì)算，記第n個(gè)月后的存款余額為C（n）則它給出了存款余額與存款時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.其定義域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系例解

兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是其定義域、對(duì)應(yīng)規(guī)則分別相同.若函數(shù)和則

例

說(shuō)明函數(shù)與是否相同?

解

函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗?，函?shù)與不相同.3.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有表格法,圖象法,公式法三種.

(1)表格法自變量x與因變量y的一些對(duì)應(yīng)值用表格列出，這樣函數(shù)關(guān)系就用表格法來(lái)表示出來(lái).如對(duì)數(shù)表和三角函數(shù)表等都是用表格法來(lái)表示函數(shù)的.

例某地區(qū)8天的最高氣溫可以由下面表格表示.

此表格反映溫度與日期之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(2)圖象法用函數(shù)y=f(x)的圖形直觀地表達(dá)自變量x與因變量y之間的關(guān)系的方法為圖象法.例某河道的斷面圖形如圖所示.此圖形反映了河道深度y與岸邊到測(cè)量點(diǎn)的距離x之間的函數(shù)關(guān)系.

這里河道深度y與岸邊到測(cè)量點(diǎn)的距離x之間的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的.其定義域?yàn)閰^(qū)間[0,b].xyy=f(x)

(3)公式法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法.

例設(shè)半徑為x的圓的面積為S,則面積S與半徑x之間的函數(shù)關(guān)系可由公式表示.函數(shù)的定義域?yàn)槔?/p>

f(x)的定義域是[-1,1].其對(duì)應(yīng)關(guān)系為

用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式來(lái)表示一個(gè)函數(shù),這類(lèi)函數(shù)稱為分段函數(shù)

.分段函數(shù)是公式法表達(dá)函數(shù)的一種方式.在理論分析和實(shí)際應(yīng)用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來(lái)表示一個(gè)函數(shù),而不是表示幾個(gè)函數(shù).

用公式法來(lái)表示一個(gè)函數(shù),通常表達(dá)為y=f(x)的形式稱為顯函數(shù);有時(shí)可以用方程F(x,y)=0來(lái)表達(dá)稱為隱函數(shù);有時(shí)也可用參數(shù)方程來(lái)表達(dá).

例半徑為r的上半圓其方程分別可以由下述形式表達(dá).顯函數(shù)形式隱函數(shù)形式參數(shù)方程形式1.函數(shù)的有界性三、函數(shù)的特性定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集，如果存在正數(shù)M,使得對(duì)于任意的,都有不等式成立,則稱f(x)在X上有界,如果這樣的M不存在,就稱函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.

注:如果M為f(x)的一個(gè)界,易知比M大的任何一個(gè)正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在X上無(wú)界,那么對(duì)于任意給定的正數(shù)M,X中總有相應(yīng)的點(diǎn),使

有界函數(shù)圖象特征:當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.

例函數(shù)f(x)=sinx在內(nèi)有界.這是因?yàn)閷?duì)于任意的都有(Ｍ=1)成立.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.注:

函數(shù)的有界性與自變量的變化范圍Ｘ相關(guān).2.函數(shù)的單調(diào)性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義.如果對(duì)于任意的,當(dāng)時(shí),均有成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加

(或單調(diào)減少).如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)，當(dāng)均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少).嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；單調(diào)函數(shù)圖形特征:xxyy例函數(shù)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.

例函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).xyxy

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間I上有定義.如果對(duì)于任意的,均有成立.則稱f(x)為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.3.函數(shù)的奇偶性

如果對(duì)任意的,均有成立,則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.例討論下列函數(shù)的奇偶性:解

若T是周期函數(shù)f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常周期函數(shù)的周期是指其最小周期.4.函數(shù)的周期性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x),如果存在正常數(shù)

T