2022年高考沖刺數(shù)學（理科）試題（天津卷）2

2017年天津市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）（2017?天津）設(shè)集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）（2017?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+y的最大值為（）A． B．1 C． D．33．（5分）（2017?天津）閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）（2017?天津）設(shè)θ∈R，則“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（5分）（2017?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，離心率為．若經(jīng)過F和P（0，4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）（2017?天津）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣），b=g（），c=g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）（2017?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，則（）A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=8．（5分）（2017?天津）已知函數(shù)f（x）=，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．（5分）（2017?天津）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為．10．（5分）（2017?天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為．11．（5分）（2017?天津）在極坐標系中，直線4ρcos（θ﹣）+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點的個數(shù)為．12．（5分）（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為．13．（5分）（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．14．（5分）（2017?天津）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有1080個．（用數(shù)字作答）三.解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）（2017?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）（2017?天津）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（Ⅰ）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．17．（13分）（2017?天津）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．18．（13分）（2017?天津）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n∈N+），{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和（n∈N+）．19．（14分）（2017?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為．已知A是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為．（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點D．若△APD的面積為，求直線AP的方程．20．（14分）（2017?天津）設(shè)a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個零點x0，g（x）為f（x）的導函數(shù)．（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)m∈[1，x0）∪（x0，2]，函數(shù)h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求證：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)A，使得對于任意的正整數(shù)p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，滿足|﹣x0|≥．答案與解析一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）（2017?天津）設(shè)集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，則（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}知識點：集合的概念及其基本運算難度：中等解析：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故選：B．2．（5分）（2017?天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+y的最大值為（）A． B．1 C． D．3知識點：二元一次不等式（組）與簡單線性規(guī)劃難度：中等解析：變量x，y滿足約束條件的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+y結(jié)果可行域的A點時，目標函數(shù)取得最大值，由可得A（0，3），目標函數(shù)z=x+y的最大值為：3．故選：D．3．（5分）（2017?天津）閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3知識點：算法與程序框圖、基本算法語句難度：中等解析：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，輸出N=2，故選：C4．（5分）（2017?天津）設(shè)θ∈R，則“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件知識點：命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件難度：中等解析：|θ﹣|＜?﹣＜θ﹣＜?0＜θ＜，sinθ＜?﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，則（0，）?[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要條件．故選：A．5．（5分）（2017?天津）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，離心率為．若經(jīng)過F和P（0，4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1知識點：雙曲線難度：中等解析：設(shè)雙曲線的左焦點F（﹣c，0），離心率e==，c=a，則雙曲線為等軸雙曲線，即a=b，雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，則經(jīng)過F和P（0，4）兩點的直線的斜率k==，則=1，c=4，則a=b=2，∴雙曲線的標準方程：；故選B．6．（5分）（2017?天津）已知奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣），b=g（），c=g（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a知識點：函數(shù)的單調(diào)性及其最值難度：中等解析：奇函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，當x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）=xf（x）偶函數(shù)，∴a=g（﹣）=g（），則2＜﹣＜3，1＜＜2，由g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，則g（）＜g（）＜g（3），∴b＜a＜c，故選C．7．（5分）（2017?天津）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，則（）A．ω=，φ= B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣ D．ω=，φ=知識點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的圖象難度：中等解析：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，則，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故選：A．8．（5分）（2017?天津）已知函數(shù)f（x）=，設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（）A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]知識點：函數(shù)模型及其應用難度：較難解析：當x≤1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即為﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的對稱軸為x=＜1，可得x=處取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的對稱軸為x=＜1，可得x=處取得最小值，則﹣≤a≤①當x＞1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即為﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（當且僅當x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（當且僅當x=2＞1）取得最小值2．則﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故選：A．二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9．（5分）（2017?天津）已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為﹣2．知識點：數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入難度：中等解析：a∈R，i為虛數(shù)單位，===﹣i由為實數(shù)，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案為：﹣2．10．（5分）（2017?天津）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為．知識點：空間幾何體的表面積和體積難度：中等解析：設(shè)正方體的棱長為a，∵這個正方體的表面積為18，∴6a2=18，則a2=3，即a=，∵一個正方體的所有頂點在一個球面上，∴正方體的體對角線等于球的直徑，即a=2R，即R=，則球的體積V=π?（）3=；故答案為：．11．（5分）（2017?天津）在極坐標系中，直線4ρcos（θ﹣）+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點的個數(shù)為2．知識點：坐標系與參數(shù)方程難度：中等解析：直線4ρcos（θ﹣）+1=0展開為：4ρ+1=0，化為：2x+2y+1=0．圓ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標方程：x2+y2=2y，配方為：x2+（y﹣1）2=1．∴圓心C（0，1）到直線的距離d==＜1=R．∴直線4ρcos（θ﹣）+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點的個數(shù)為2．故答案為：2．12．（5分）（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，則的最小值為4．知識點：不等式選講難度：中等解析：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，當且僅當，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣時取“=”；∴上式的最小值為4．故答案為：4．13．（5分）（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．知識點：平面向量的數(shù)量積及平面向量應用難度：較難解析：如圖所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）?（λ﹣）=（λ﹣）?﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案為：．14．（5分）（2017?天津）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有1080個．（用數(shù)字作答）知識點：排列組合難度：中等解析：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、四位數(shù)中沒有一個偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個，組成一共四位數(shù)即可，有A54=120種情況，即有120個沒有一個偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；②、四位數(shù)中只有一個偶數(shù)數(shù)字，在1、3、5、7、9種選出3個，在2、4、6、8中選出1個，有C53?C41=40種取法，將取出的4個數(shù)字全排列，有A44=24種順序，則有40×24=960個只有一個偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120+960=1080個；故答案為：1080．三.解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）（2017?天津）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．知識點：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系與誘導公式難度：中等解析：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．16．（13分）（2017?天津）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（Ⅰ）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．知識點：離散型隨機變量及其分布難度：中等解析：（Ⅰ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3；則P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，隨機變量X的分布列為X0123P隨機變量X的數(shù)學期望為E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）?P（Z=1）+P（Y=1）?P（Z=0）=×+×=；所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為．17．（13分）（2017?天津）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．知識點：立體幾何綜合難度：中等解析：（Ⅰ）證明：取AB中點F，連接MF、NF，∵M為AD中點，∴MF∥BD，∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N為BC中點，∴NF∥AC，又D、E分別為AP、PC的中點，∴DE∥AC，則NF∥DE．∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，則MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A為原點，分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），則，，設(shè)平面MEN的一個法向量為，由，得，取z=2，得．由圖可得平面CME的一個法向量為．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為，則正弦值為；（Ⅲ）解：設(shè)AH=t，則H（0，0，t），，．∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為4．18．（13分）（2017?天津）已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n∈N+），{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和（n∈N+）．知識點：數(shù)列的綜合應用難度：中等解析：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因為q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，聯(lián)立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，數(shù)列{an}的通項公式為an=3n﹣2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n．（II）設(shè)數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和為Tn，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述兩式相減，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得Tn=．所以，數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項和為．19．（14分）（2017?天津）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為．已知A是拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為．（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于A），直線BQ與x軸相交于點D．若△APD的面積為，求直線AP的方程．知識點：圓錐曲線綜合問題難度：較難解析：（Ⅰ）解：設(shè)F的坐標為（﹣c，0）．依題意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，橢圓的方程為x2+=1，拋物線的方程為y2=4x．（Ⅱ）解：直線l的方程為x=﹣1，設(shè)直線AP的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立方程組，解得點P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．聯(lián)立方程組，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直線BQ的方程為（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面積為，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直線AP的方程為3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．（14分）（2017?天津）設(shè)a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個零點x0，g（x）為f（x）的導函數(shù)．（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)m∈[1，x0）∪（x0，2]，函數(shù)h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求證：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù)A，使得對于任意的正整數(shù)p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，滿足|﹣x0|≥．知識點：函數(shù)性質(zhì)綜合應用難度：較難解析：（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，進而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，