四川省遂寧市中區(qū)蓮花鄉(xiāng)真武初級(jí)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

四川省遂寧市中區(qū)蓮花鄉(xiāng)真武初級(jí)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，，則一定是

A、直角三角形

B、鈍角三角形

C、等腰三角形

D、等邊三角形參考答案：A2.若對(duì)任意實(shí)數(shù),都有，且，則實(shí)數(shù)的值等于A． B．－3或1 C． D．－1或3參考答案：B3.（5分）若集合A={x|x＞﹣3}，則（） A． 0?A B． {0}∈A C． ?∈A D． {0}?A參考答案：D考點(diǎn)： 元素與集合關(guān)系的判斷．專題： 集合．分析： 由已知，明確A集合中含有元素0，然后注意元素與集合關(guān)系的符號(hào)表示以及集合與集合的關(guān)系表示即可．解答： 因?yàn)?＞﹣3，所以0∈A，{0}?A；故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了元素與集合的關(guān)系以及集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為(

)A.3

B.4 C.6

D.12參考答案：A略5.在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別

（

）.Ａ．23與26B．31與26C．24與30D．26與30參考答案：

B6.已知非零向量、滿足,,則的形狀是(

)A.非等腰三角形

B.等腰三角形而非等邊三角形

C.直角三角形

D.等邊三角形參考答案：D7.某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級(jí)中選出5人負(fù)責(zé)校園開(kāi)放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，至少有1名男生的概率是（）A.

B.

C.

D.參考答案：D由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從半徑中抽取5人負(fù)責(zé)小圓開(kāi)放日的接待工作，則男生為人，女生為，從這5人中隨機(jī)選取2人，共有種，起哄全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.

8.已知映射f:A→B,其中A=B=R，對(duì)應(yīng)法則f:→.若對(duì)實(shí)數(shù)k∈B,在集合A中存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是（

）A、k≤1

B、k<1

C、k≥1

D、k>1參考答案：C9.已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x，3）（x＞0）且，則x等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9參考答案：B【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出x的值．【解答】解：由題意可得，cosθ=，∴x=1，故選B．10.已知集合A=.若A中只有一個(gè)元素,求的值;參考答案：

略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)點(diǎn)A(1,4)且在x、y軸上的截距相等的直線共有______條．參考答案：212.已知，，且對(duì)任意都有：①

②

給出以下三個(gè)結(jié)論：（1）；

（2）；

（3）

其中正確結(jié)論為

參考答案：①②③13.已知,則___________；參考答案：略14.如圖1，四面體P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，則PC＝_

_____。

參考答案：13cm略15.三個(gè)平面可以把空間最多分成_____________部分參考答案：略16.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=k有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

．參考答案：（1，2]【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】作圖題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意作函數(shù)f（x）的圖象，由圖象得到．【解答】解：作函數(shù)f（x）=f（x）=的圖象如圖，則由圖象可知，1＜k≤2，故答案為（1，2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的圖象和作法和函數(shù)零點(diǎn)與圖象的交點(diǎn)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．17.定義一種運(yùn)算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(，2sinx)(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為_(kāi)______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知圓C的圓心C在x軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓C的方程；（2）設(shè)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA，切點(diǎn)為A，證明：經(jīng)過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：(1)圓：.(2)證明見(jiàn)解析；(3,0)，(－1,－4).【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及圓弦長(zhǎng)列方程，解方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)圓的切線的幾何性質(zhì)，得到過(guò)，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.設(shè)出圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到該圓對(duì)應(yīng)的方程，根據(jù)方程過(guò)的定點(diǎn)與無(wú)關(guān)列方程組，解方程組求得該圓所過(guò)定點(diǎn).【詳解】解：（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離.因?yàn)閳A被直線截得的弦長(zhǎng)為∴.解得或（舍），∴圓：.（2）已知，設(shè)，∵為切線，∴，∴過(guò)，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.設(shè)圓上任一點(diǎn)為，則.∵，，∴即.若過(guò)定點(diǎn)，即定點(diǎn)與無(wú)關(guān)令解得或，所以定點(diǎn)為，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查圓的弦長(zhǎng)有關(guān)計(jì)算，考查曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.19.（12分）（2010秋?淄博校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且滿足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，試判斷△ABC的形狀．參考答案：考點(diǎn)：三角形的形狀判斷；向量的模；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．

專題：計(jì)算題．分析：（1）由得整理可得cosA=結(jié)合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a結(jié)合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，從而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求B，進(jìn)一步可求C，判斷三角形的形狀解答：解：（1）由得即1+1+2（coscos+sinsin）=3，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵||+||=||，∴b+c=a，由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，∴sinB+sin（﹣B）=×，即sinB+cosB=，∴sin（B+）=．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴B+=或，故B=或．當(dāng)B=時(shí)，C=；當(dāng)B=時(shí)，C=．故△ABC是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的向量的模的求解，向量數(shù)量積的運(yùn)算，和角的三角函數(shù)及正弦定理的應(yīng)用，由特殊角的三角函數(shù)值求解角等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于綜合試題．20.已知函數(shù)f（x）=log2x+ax+2．（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；（2）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并給出代數(shù)證明．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】方程思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由a=0，解方程log2x+2=0，可得零點(diǎn)；（2）求得f（1）＞0，f（）＜0，判斷f（x）的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理，即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=log2x+2=0，即log2x=﹣2，解得，∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是；（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=log2x+x+2，∵f（1）=（log21+1+2）=3＞0，，且f（x）的圖象在定義域內(nèi)連續(xù)，∴f（x）在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，又∵f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故f（x）在定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法和判斷，注意運(yùn)用方程的思想和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.（1）若M為BC邊的中點(diǎn)，求證:;（2）若，求△ABC面積的最大值.參考答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）1.【分析】（1）證法一：根據(jù)為邊的中點(diǎn)，可以得到向量等式，平方，再結(jié)合余弦定理，可以證明出等式；證法二：分別在和中，利用余弦定理求出和的表達(dá)式，利用，可以證明出等式；（2）解法一：解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，利用已知，再結(jié)合基本不等式，最后求可求出面積的最大值；解法二：利用余弦定理把表示出來(lái)，結(jié)合重要不等式，再利用三角形面積公式可得，令設(shè)，利用輔助角公式，可以求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】（1）證法一：由題意得

①

由余弦定理得

②將②代入①式并化簡(jiǎn)得，故；

證法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，

∵，∴，則，故；（2）解法一：記面積為．由題意并結(jié)合（1）所證結(jié)論得：，又已知，則，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為1．解法二：設(shè)則由，故.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用，考查了重要不等式及基本不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.22.(本題滿分10分)已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和為，求.參考答案：解：（1）∵是等差數(shù)列，且，，設(shè)公差為.

∴，

解得

∴

（）

…3分

在中，∵

當(dāng)時(shí)，，∴

當(dāng)時(shí)，由及可得

，