2022年安徽省宿州數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng)，為人在路燈照射下的影子，為人在路燈照射下的影子．當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢(shì)是（）A．先變長(zhǎng)后變短 B．先變短后變長(zhǎng)C．不變 D．先變短后變長(zhǎng)再變短2．能說(shuō)明命題“關(guān)于的方程一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例為（）A． B． C． D．3．如圖，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足為點(diǎn)H，分別交AD、AB及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、M、F，且AE：FB＝1：2，則AH：AC的值為（）A． B． C． D．4．下列說(shuō)法正確的是（）A．了解飛行員視力的達(dá)標(biāo)率應(yīng)使用抽樣調(diào)查B．一組數(shù)據(jù)3，6，6，7，8，9的中位數(shù)是6C．從2000名學(xué)生中選出200名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，樣本容量為2000D．一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是25．在一個(gè)不透明的口袋中，裝有若干個(gè)紅球和4個(gè)黃球，它們除顏色外沒(méi)有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的概率是0.2，則估計(jì)盒子中大約有紅球（）A．12個(gè) B．16個(gè) C．20個(gè) D．25個(gè)6．已知下列命題：①等弧所對(duì)的圓心角相等；②90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；③關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；④若二次函數(shù)y=的圖象上有兩點(diǎn)（－1，y1）、（2，y2），則>；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C與F重合，邊CA與邊FE重合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果BA∥DE，那么n的值是（）A．105 B．95 C．90 D．758．在半徑為1的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°9．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．（3+）米10．拋物線y=（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）二、填空題(每小題3分,共24分)11．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系是__________________．(用“<”連接)12．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC中，以點(diǎn)A為圓心的圓與邊BC相切，與邊AB、AC相交于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積為_______．13．如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，則cos∠ADC＝______．14．若⊙O的直徑是4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是_________．15．為估計(jì)全市九年級(jí)學(xué)生早讀時(shí)間情況，從某私立學(xué)校隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，在這個(gè)問(wèn)題中，調(diào)查的樣本________（填“具有”或“不具有”)代表性.16．在一個(gè)不透明的袋中裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外都相同從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，并攪均，不斷重復(fù)上述的試驗(yàn)共5000次，其中2000次摸到紅球，請(qǐng)估計(jì)袋中大約有白球______個(gè)17．寫出一個(gè)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向下的二次函數(shù)的表達(dá)式_____．18．某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)元，三月份的營(yíng)業(yè)額為48萬(wàn)元，設(shè)每月的平均增長(zhǎng)率為x，則列出的方程是_______________.三、解答題(共66分)19．（10分）超速行駛被稱為“馬路第一殺手”，為了讓駕駛員自覺遵守交通規(guī)則，市公路檢測(cè)中在一事故多發(fā)地段安裝了一個(gè)測(cè)速儀器，如圖所示，已知檢測(cè)點(diǎn)A設(shè)在距離公路BC20米處，∠B＝45°，∠C＝30°，現(xiàn)測(cè)得一輛汽車從B處行駛到C處所用時(shí)間為2.7秒．（1）求B，C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）如果此地限速為80km/h，那么這輛汽車是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.7，≈1.4）20．（6分）如圖，是的直徑，是上半圓的弦，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作切線的垂線，垂足為，且與交于點(diǎn)，設(shè)，的度數(shù)分別是.用含的代數(shù)式表示，并直接寫出的取值范圍；連接與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值.21．（6分）某商場(chǎng)試銷一種成本為每件元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，．求一次函數(shù)的表達(dá)式；若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為元，試寫出利潤(rùn)與銷售單價(jià)之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？22．（8分）一個(gè)不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外無(wú)其它差別，其中紅球有個(gè)，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)，這個(gè)球是白球的概率為．（1）求袋子中白球的個(gè)數(shù)；（2）隨機(jī)摸出一個(gè)球后，不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)球，請(qǐng)結(jié)合樹狀圖或列表求兩次都摸到相同顏色的小球的概率．23．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），過(guò)D作DO⊥AB，垂足為O，點(diǎn)B′在邊AB上，且與點(diǎn)B關(guān)于直線DO對(duì)稱，連接DB′，AD．（1）求證：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．24．（8分）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，把沿軸對(duì)折，點(diǎn)落到點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)、的拋物線與直線交于點(diǎn)、．（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點(diǎn)，使面積最大，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，作垂直于軸，垂足為點(diǎn)，使得以、、為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（10分）閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題．經(jīng)過(guò)正四邊形(即正方形)各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正四邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S1．以圓心O為頂點(diǎn)作∠MON，使∠MON＝90°．將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與⊙O交于點(diǎn)E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點(diǎn)G、H．設(shè)由OE、OF、及正方形ABCD的邊圍成的圖形(陰影部分)的面積為S．（1）當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)(如圖①)，則S、S1、S1之間的關(guān)系為：(用含S1、S1的代數(shù)式表示)；（1）當(dāng)OM⊥AB于G時(shí)(如圖②)，則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖③），則（1）中的結(jié)論任然成立嗎：請(qǐng)說(shuō)明理由.26．（10分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀路匠蹋?/p>

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】連接DF，由題意易得四邊形CDFE為矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，設(shè)=a,DF=b（a,b為常數(shù)），可得出，從而可以得出，結(jié)合可將DH用含a,b的式子表示出來(lái)，最后得出結(jié)果.【詳解】解：連接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四邊形CDFE為矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.設(shè)=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的長(zhǎng)是定值不變，∴當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和不變．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．2、D【分析】利用m=5使方程x2-4x+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，從而可把m=5作為說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2-4x+m=0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例．【詳解】當(dāng)m=5時(shí)，方程變形為x2-4x+m=5=0，因?yàn)椤?（-4）2-4×5＜0，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以m=5可作為說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2-4x+m=0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．3、B【分析】連接BD，如圖，利用菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再證明EF∥BD，接著判斷四邊形BDEF為平行四邊形得到DE＝BF，設(shè)AE＝x，F(xiàn)B＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后證明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性質(zhì)得到AH：AC的值．【詳解】解：連接BD，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，∵EF⊥AC，∴EF∥BD，而DE∥BF，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴DE＝BF，由AE：FB＝1：2，設(shè)AE＝x，F(xiàn)B＝DE＝2x，BC＝3x，∴AE：CF＝x：5x＝1：5，∵AE∥CF，∴△AEH∽△CFH，∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，∴AH：AC＝1：1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì).4、D【分析】根據(jù)調(diào)查方式對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)中位數(shù)的定義對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)樣本容量的定義對(duì)C進(jìn)行判斷；通過(guò)方差公式計(jì)算可對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】A.了解飛行員視力的達(dá)標(biāo)率應(yīng)使用全面調(diào)查，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.數(shù)據(jù)3，6，6，7，8，9的中位數(shù)為6.5，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.從2000名學(xué)生中選出200名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，樣本容量為200，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是2，所以D選項(xiàng)正確故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了方差，方差公式是：，也考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念.5、B【解析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，列出方程求解．【詳解】解：設(shè)盒子中有紅球x個(gè)，由題意可得：=0.2，解得：x=16，故選：B．．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)黃球的概率得到相應(yīng)的等量關(guān)系6、B【分析】利用圓周角定理、一元二次方程根的判別式及二次函數(shù)的增減性分別判斷正誤后即可得到正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①等弧所對(duì)的圓心角也相等，正確，是真命題；②90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，正確，是真命題；③關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2－ac＞0，但不能夠說(shuō)明ac<0，所以原命題錯(cuò)誤，是假命題；④若二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)（－1，y1）（2，y2），則y1＞y2，不確定，因?yàn)閍的正負(fù)性不確定，所以原命題錯(cuò)誤，是假命題；其中真命題的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓周角定理、一元二次方程根的判別式及二次函數(shù)的增減性，難度不大．7、A【分析】畫出圖形求解即可．【詳解】解：∵三角尺DEF繞著點(diǎn)F按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），BA∥DE，∴旋轉(zhuǎn)角＝90°+45°﹣30°＝105°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.8、C【解析】試題分析：如圖所示，連接OA、OB，過(guò)O作OF⊥AB，則AF=FB，∠AOF=∠FOB，∵OA=3，AB=，∴AF=AB=，∴sin∠AOF=，∴∠AOF=45°，∴∠AOB=2∠AOF=90°，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°．故選C.考點(diǎn):1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.特殊角的三角函數(shù)值．9、A【解析】試題分析：根據(jù)CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根據(jù)AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，則BC=BD－CD=8－3=5米.考點(diǎn)：直角三角形的勾股定理10、A【解析】已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】：∵y=（x﹣2）2﹣3為拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）．

故選A.．【點(diǎn)睛】本題考查了將解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x=h．二、填空題(每小題3分,共24分)11、a＜b＜c【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)近即可解答.【詳解】由二次函數(shù)的解析式可知，對(duì)稱軸為直線x=-1，且圖象開口向上，∴點(diǎn)離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵-1-（-2）=1，1-（-1）=2，2-（-1）=3，∴a＜b＜c，故答案為：a＜b＜c.【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵.12、【分析】首先求得圓的半徑，根據(jù)陰影部分的面積＝△ABC的面積?扇形ADE的面積即可求解．【詳解】解：設(shè)以點(diǎn)A為圓心的圓與邊BC相切于點(diǎn)F，連接AF，如圖所示：

則AF⊥BC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，BC＝AB＝，

∴AF＝AB?sin60°＝×＝3，

∴陰影部分的面積＝△ABC的面積?扇形ADE的面積＝××3?＝．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算、三角函數(shù)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出AF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13、【分析】首先在△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)值計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦定義可算出cos∠ADC．【詳解】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角函數(shù)值計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)．14、相離【解析】r=2,d=3,則直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離15、不具有【分析】根據(jù)抽取樣本的注意事項(xiàng)即要考慮樣本具有廣泛性與代表性，其代表性就是抽取的樣本必須是隨機(jī)的，以此進(jìn)行分析．【詳解】解：要估計(jì)全市九年級(jí)學(xué)生早讀時(shí)間情況，應(yīng)從該市所以學(xué)校九年級(jí)中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，所以在這個(gè)問(wèn)題中調(diào)查的樣本不具有代表性.故此空填“不具有”.【點(diǎn)睛】本題考查抽樣調(diào)查的可靠性，解題時(shí)注意：樣本具有代表性是指抽取的樣本必須是隨機(jī)的，即各個(gè)方面，各個(gè)層次的對(duì)象都要有所體現(xiàn)．16、1【解析】根據(jù)口袋中有12個(gè)紅球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等求出即可．【詳解】解：通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率是，口袋中有12個(gè)紅球，設(shè)有x個(gè)白球，則，解得：，答：袋中大約有白球1個(gè)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用樣本估計(jì)總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實(shí)驗(yàn)比例應(yīng)該相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17、y=﹣2x2(答案不唯一)【分析】由題意知，圖象過(guò)原點(diǎn)，開口向下則二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，由此可寫出滿足條件的二次函數(shù)的表達(dá)式．【詳解】解：由題意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．故答案為：y=﹣2x2(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18、【分析】主要考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），用x表示三月份的營(yíng)業(yè)額即可【詳解】依題意得三月份的營(yíng)業(yè)額為，∴．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中的增長(zhǎng)率問(wèn)題，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，就能找到等量關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）（20+20）m；（2）這輛汽車沒(méi)超速，見解析【分析】（1）如圖作AD⊥BC于D．則AD=20m，求出CD、BD即可解決問(wèn)題；（2）求出汽車的速度和此地限速為80km/h比較大小，即可解決問(wèn)題，注意統(tǒng)一單位．【詳解】（1）如圖作AD⊥BC于D．則AD=10m，在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∴BD=AD=10m，在Rt△ACD中，∵∠C=30°，∴tan30°，∴CDAD=20m，∴BC=BD+DC=(20+20)m．（2）結(jié)論：這輛汽車沒(méi)超速．理由如下：∵BC=BD+DC=(20+20)BC≈54m，∴汽車速度20m/s=72km/h．∵72km/h＜80km/h，∴這輛汽車沒(méi)超速．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)、速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．20、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°【分析】（1）首先證明，在中，根據(jù)兩銳角互余，可知；（2）連接OF交AC于O′，連接CF，只要證明四邊形AFCO是菱形，推出是等邊三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）連接OC．∵DE是⊙O的切線，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．（2）連接OF交AC于O′，連接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四邊形AFCO是平行四邊形，∵OA=OC，∴四邊形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等邊三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓和三角形的問(wèn)題，掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和證明是解題的關(guān)鍵．21、（1）；（2）銷售單價(jià)定為元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是元．【分析】（1）根據(jù)題意將（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程組即可；（2）表示出利潤(rùn)解析式,化成頂點(diǎn)式討論即可解題.【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．所求一次函數(shù)的表達(dá)式為．（2），∵拋物線的開口向下，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又因?yàn)楂@利不得高于45%，60所以，∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)銷售單價(jià)定為元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,表示出二次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.22、（1）袋子中白球有4個(gè)；（2）【分析】（1）設(shè)白球有

x

個(gè)，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）畫樹狀圖展示所有30種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次摸到顏色相同的小球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）設(shè)袋中白球有x個(gè)，由題意得：，解之，得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故袋子中白球有4個(gè)；（2）設(shè)紅球?yàn)锳、B，白球?yàn)?，列舉出兩次摸出小球的所有可能情況有：共有30種等可能的結(jié)果，其中，兩次摸到相同顏色的小球有14種，故兩次摸到相同顏色的小球的概率為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．23、（1）證明見試題解析；（2）1；（3）．【解析】試題分析：（1）公共角和直角兩個(gè)角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，設(shè)BD＝x，CD，BD，BO用x表示出來(lái)，所以可得BD長(zhǎng).(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD長(zhǎng).試題解析：（1）證明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠ACB＝∠DOB＝90°,又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．（2）∵AD平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO＝DC,在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶1,設(shè)BD＝x，則DO＝DC＝x，BO＝x,∵CD＋BD＝8，∴x＋x＝8，解得x＝,1，即：BD＝1．（3）∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線DO對(duì)稱，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,∵∠B為銳角，∴∠OB′D也為銳角，∴∠AB′D為鈍角,∴當(dāng)△AB′D是等腰三角形時(shí)，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O＋BO＝10，∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，∴當(dāng)△AB′D為等腰三角形時(shí)，BD＝.點(diǎn)睛：角平分線問(wèn)題的輔助線添加及其解題模型.①垂兩邊：如圖（1），已知平分，過(guò)點(diǎn)作，，則.②截兩邊：如圖（2），已知平分，點(diǎn)上，在上截取，則≌.③角平分線+平行線→等腰三角形：如圖（3），已知平分，，則；如圖（4），已知平分，，則.(1)(2)(3)(4)④三線合一（利用角平分線+垂線→等腰三角形）：如圖（1），已知平分，且，則，.(1)24、（1）；（2）；（3）存在，或．【分析】(1)由直線可以求出A，B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；(2)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，作EF∥y軸交直線BD于F，設(shè)，利用三角形面積公式求得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；(3)如圖1，2，分類討論，當(dāng)△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時(shí)，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；【詳解】(1)∵直線AB為，令y=0，則，令，則y=2，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是：A(-1，0)，B(0，2)，根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)：點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(1，0)，設(shè)直線BD解析式為，把B(0，2)，C(1，0)代入，得，解得：，，∴直線BD解析式為，把A(-1，0)，B(0，2)代入得，解得：，，∴拋物線的解析式為；(2)解方程組得：和，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(3，-4)，作EF∥y軸交直線BD于F設(shè)∴(0＜＜3)∴當(dāng)時(shí)，三角形面積最大，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；(3)存在．∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(0，2)、C(1，0)，∴，，①如圖1所示，當(dāng)△MON∽△BCO時(shí)，∴，即，∴，設(shè)，則，將代入拋物線的解析式得：解得：(不合題意，舍去)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)