北京市西城區(qū)2015屆高三二模數(shù)學(xué)理試題

北京市西城區(qū)2015年高三二模試卷數(shù)學(xué)（理科）2015.5本試卷分第I卷和第II卷兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.1.設(shè)集合貝={工尤一1〉0}，集合B=3}，則aHB=（）r□/TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.（一1,3）B.（1,3]C.Ll,3）D.（—1,3n…—已知平面向量3，：住=（-l,l）,g=（2,3）,u=（-2,氐）,若（住+3）/7c，則實(shí)數(shù)k=（）\o"CurrentDocument"A.4B.—4C.8D.—8設(shè)命題p:函數(shù)產(chǎn)（忑）=尹1在R上為增函數(shù)；命題q：函數(shù)/⑴=匚恥〔忑+兀）為奇函數(shù).則下列命題中真命題是（）A.f“E.C.（-^?）/\（-1堺）D.尹-＞堺：執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的2,3},則輸出的s屬于（）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,3,9}5?某生產(chǎn)廠商更新設(shè)備，已知在未來x年內(nèi)，此設(shè)備所花費(fèi)的各種費(fèi)用總和y（萬元）與x滿足函數(shù)關(guān)系尹=4/+64:，若欲使此設(shè)備的年平均花費(fèi)最低，則此設(shè)備的使用年限x為（）A.3B.4C.5D.66?數(shù)列匕｝為等差數(shù)列，滿足呦+尙+...+g=10，貝I」數(shù)列&｝前21項(xiàng)的和等于（）21A.B.21C.42D.842若"x>1”是"不等式、廿>*7成立”的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a>3B.aV3C.a>4D.aV4在長方體ABCD-中，=BC=AAy=1,點(diǎn)M為AB］的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC］上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動點(diǎn)（點(diǎn)P，Q可以重合），貝JMP+PQ的最小值為（）A.—B.—C.-D.1224第II卷（非選擇題共110分）二、填空題：本小題共6小題，每小題5分，共30分.9?復(fù)數(shù)—=3+1TOC\o"1-5"\h\z雙曲線C:的離心率為；漸近線的方程為.84已知角Q的終邊經(jīng)過點(diǎn)（—3，4），貝I」cosQ=；cos2d=.□如圖，P為。O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與0O相交于點(diǎn)B、C，3且PC=2PA，D為線段PC的中點(diǎn)，AD的延長線交0O于點(diǎn)E.若PB=才，則現(xiàn)有6人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法種.（用數(shù)字作答）如圖，正方形ABCD的邊長為2,O為AD的中點(diǎn)，射線OP從OA出發(fā)，繞著點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)至OD,在旋轉(zhuǎn)的過程中，記"OP為兀］）,OP所經(jīng)過的在正方形ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積S=f（X）,那么對于函數(shù)f（x）有以下三個結(jié)論:②任意XED,牙：，都有f--X+f-+x=A-￡」\匕/\匕/③任意補(bǔ)花E匹，兀，且X]|工花，都有"㈤—"X"<0,遼丿兀一可其中所有正確結(jié)論的序號是^三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分13分）在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知a=<7,b=3,J7smB+smA=2-^3.求角A的大小；求△ABC的面積.（本小題滿分13分）某廠商調(diào)查甲、乙兩種不同型號電視機(jī)在10個賣場的銷售量（單位：臺），并根據(jù)這10個賣場的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖.TOC\o"1-5"\h\z010220031143為了鼓勵賣場，在同型號電視機(jī)的銷售中，該廠商將銷售量高于數(shù)據(jù)平均數(shù)的賣場命名為該型號電視機(jī)的“星級賣場”.（I）當(dāng)a=b=3時，記甲型號電視機(jī)的“星級賣場”數(shù)量為m，乙型號電視機(jī)的“星級賣場”數(shù)量為n,比較m,n的大小關(guān)系；（II）在這10個賣場中，隨機(jī)選取2個賣場，記X為其中甲型號電視機(jī)的“星級賣場”的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(III)若a=1,記乙型號電視機(jī)銷售量的方差為s2,根據(jù)莖葉圖推斷b為何值時，s2達(dá)到最小值.(只需寫出結(jié)論)(本小題滿分14分)如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中，=60°,Q童丄衛(wèi)石于點(diǎn)E，將AADE沿DE折起到△AflE的位置，使九。丄DU，如圖2.⑴求證：嗎童丄平面BCDE；⑵求二面角盤-坷丑-C的余弦值；⑶判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn)P，使平面珂DF丄平面坷呂U?若存在，求出話的卜七值；若不存在，說明理由.(本小題滿分13分)已知函數(shù)，其中a^R.1+ax⑴當(dāng)a=時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵當(dāng)a>0時，證明：存在實(shí)數(shù)m>0,使得對于任意的實(shí)數(shù)x,都有丨f(x)|Q成立.(本小題滿分14分)x2y2設(shè)備巧分別為橢圓E：+二=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn),a2b2點(diǎn)B為橢圓E的上頂點(diǎn)，且|AB|=2.⑴若橢圓E的離心率為近，求橢圓E的方程;⑵設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線碼戸與y軸相交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F],證明：\OP\>^2.（本小題滿分13分）無窮數(shù)列P:兩，呦，十，務(wù)，十：，滿足eN*,且嗎荃絢+i（ieNJ，對于數(shù)列P，記頂F）=irnnS風(fēng)孑對（展町，其中表示集合｛用曲耳爐中最小的數(shù).（I）若數(shù)列P：1347…寫出￡（尸），爲(wèi)（戸），…’爲(wèi)（尸）；（II）若爲(wèi)㈢=肚-1，求數(shù)列P前n項(xiàng)的和；（III）已知的o=46，求￡二血+包+???+血+爲(wèi)（馬+爲(wèi)甲）+???+爲(wèi)儼）的值.北京市西城區(qū)2（）厲年高三二模試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)高三數(shù)學(xué)（理科）2015.56.B7.A8.C、填空題：本大題共6小題，毎小題5分，共30分.T9.1+3i!O.13.2886.B7.A8.C、填空題：本大題共6小題，毎小題5分，共30分.T9.1+3i!O.13.288注:第10,II,72512.14.①②12題第一問2分，第二問3分？第囲題務(wù)選、漏選或錯選均不得分.、選孫題：本大題；II：8小題，毎小題5分，共狎分,4.A2.D4.A解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.15,（本小題滿分15,（本小題滿分13分））解：^.SABC中，由正弦逞理一Z=sinAsinB#=i即77sin2?=3sin,sinAsinB又因?yàn)?7winS+sinA-2>/3?解爾sinA=—1因?yàn)闉殇J角2角形,（【I）解:在MBC,由余弦定理如丿“"2bc得U+"",即^-3c+2=0,26c10分解得c-1或10分當(dāng)時，因?yàn)??一-<0,lac14窩二.數(shù)學(xué)｛理》試題答案第1窩二.數(shù)學(xué)｛理》試題答案第1頁共$頁加議角B為鈍用.豐袴介掘意.站去.'^c2時，因?yàn)閏gsB』"二旦>°、且b>Cth>a.2ac14別以為銳角三角形.符合題恿.TOC\o"1-5"\h\z所鎖的面積S=^t：SinJ^lx3x2x^=^.|3分6（本小題滿分13分》〔i）解：棍據(jù)莖葉圖，.得甲紐數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10+10+14+18+22+25+27+30+41蘭4?=24,|分1010由莖葉圖，知甲型號電視機(jī)的“星級賣場”的個數(shù)，”=5,3分乙型號電視機(jī)的“星級賣場”的個數(shù)"=5,所以m-n,4分（1【）解：由題意，用的所有可能取值為10由莖葉圖，知甲型號電視機(jī)的“星級賣場”的個數(shù)，”=5,3分乙型號電視機(jī)的“星級賣場”的個數(shù)"=5,所以m-n,4分（1【）解：由題意，用的所有可能取值為①1,2,5分0°022^C15cJC°1且p（^=0）=^=-rp（x=i）=^H=^.?（y=2）=^p-=-,8分臨9%9X9所以*的分布列為：X012P295929TOC\o"1-5"\h\z9分所以ECY）=0xj+lxf+2x#=l.10分（III）解：當(dāng)6=0時，F(xiàn)達(dá)到最小值?13分1工苫小題滿分14分）〔i、證明：因列加丄BE.BEI/DC,閉冷DE丄DC,］分遼因?yàn)锳.DLDC,解咽E=D,所以DC'丄平面ADE?2分高二數(shù)學(xué)試題答案第2頁共R頁

TOC\o"1-5"\h\z⑷抵丄斗匚3分<因?yàn)榻蠩j_DE,DCf\DE=D,所W,d,￡'l平面HCDE4分iII)解：因?yàn)?清丄平面BCDE,DELBE，所以人￡DE,BE兩兩垂直，以ED、EA,

分別為工柚'『軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，'分易知=則4(0,0,2).8(2,0,0),C‘(4,2jj,0),D(0,2^3.0).所以甌=C2,0,2),~B€-=(2,241,0).山分平血州的一個法向劇術(shù)枠=(0丄(U，山分設(shè)平面力IBC■的法向量為加=(x,兒z),一——\-2x+2z=0,由BA.m=Q,BCm=r令y=\,得w=(-V3,l5-V3).—-m?n\H所以cos<m,n>==”=—*?|酬卜|和7由圖，得二面角E-A.B-C的為鈍二面角，所以二面角E-AJi-C的余弦值為-遼■TOC\o"1-5"\h\z(III)結(jié)論：在線段EB上不存在―點(diǎn)卩，使平面"DP丄平面A、BC.1［分解：假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)F，使平面人DP丄平面出BC.設(shè)P(t,0,0)(GW/W2),則A}P=(/,0.-2),~(0>2*^3>—2)?*12分設(shè)平面A}DP的法向量為P=,13分由'占尸P=0'得令卄2+得所以慶⑺加)?13分高三數(shù)學(xué)(3S)試題答案

州Lx.附._Q,即2-J3—產(chǎn)+J%=()>解閒■F=~3.因?yàn)?0W2,TOC\o"1-5"\h\z所以在線段E3上不存在點(diǎn)P.使得平面A^DP丄平面BBC.14分電(本小題滿分13分)(1)解：當(dāng)d=-丄時，函數(shù)/◎)=丄亠.4其建義域淘［XERIx工±2}.I分求導(dǎo).得/"『十…亠學(xué)-口4分4(1-lx2)144所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,-2),(-2,2),(2,+00)上單調(diào)遞減.5分1一Y(H)證明：當(dāng)q0時，/(町=丄各的定義域?yàn)榈?\+(3X求導(dǎo),得fM=(1+￡ir-)Jf\x)=求導(dǎo),得fM=(1+￡ir-)Jf\x)=01解待珂=1-<0,叫=I+當(dāng)x變化時，廣⑴與/(x)的變化情況如下表:X5沖必小)X’廣⑴+0—0/(工)Z/①分所以函數(shù)/(X)在(Y0,X|)，(勺,+°°)上單調(diào)遞增,在(《|,乂2)上單調(diào)遞減?jiJCj—JT12分又因?yàn)?(l)=o,當(dāng)X<1時，/匕)=仃忑7>°；當(dāng)X>l時，f(x)=y—12分所以當(dāng)xWI時，0W/(x)W/(xJ：當(dāng)x>l時，/(X2)W/(x)<0.島二數(shù)學(xué)(理)試題答案第4頁共8頁

記“max)I/('JI，|./(xj|},Jt中max{|/(xj|,|/(x,)|}為兩數(shù)|/(x,)|.l/U)l中舉丸的數(shù).綜上，當(dāng)a>0時，存任實(shí)數(shù)使得対任恵的實(shí)數(shù)x,不笹式|/(x)|W/n恒成立.13成立.(本小題満分2分)解：設(shè)c=Jd■護(hù)，TOC\o"1-5"\h\z由題意，得a1~4>且￡=*-2分a3解得a=羽'b=\,c=75.4分所以橢圜E的方程為斗十於".5分J解：由題意.得/+慶=4，所以橢圓E的方程為4+_匚=1,a4-則片(-c,0),巧(c,0),c=J/-b'=J2/-4?設(shè)戸(心，兒)，由題意，知心HC，則直線/[P的斜率&=一亠，6分1扯+C直線Ff的斜率你”=』一■1兀Y陽W直線/'；P時方程為_y=-^-U-c)t■■']x=o時.y=■即點(diǎn)0(°，」弓)，所以直線右。的斜率為kh.Q=-^―.8分住一旳因?yàn)長：ZPQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)所以円丄耳Q.所以缶急iW分化簡，得處=￡1(加，-引]①跚二數(shù)學(xué)(埋》試題答案扇5頁共N頁

②12分13分乂因?yàn)镻為橢上一點(diǎn).且在第一銀限內(nèi),所yV中〉"冷=I-②12分13分<r4-x山①②.解得斗=y.必=2_g”所wIOP匸討+F；€（/_2）；十2’因?yàn)?-+/r=4<2<?-■所曲>2,所tl|GP|>72.(本小題滿分13分)(1)解：7J(P)=1.7；(P)=2,7；(P)=2.7；(P)=3,7；(P)=4.3分(II)解:由題意,7；(P)=1,石(P)=3,可(尸)=5,7")=7,…因?yàn)檠?=3,且7；(尸)=min{”|a”刁t},4分同理，由yp）=5t且7；（P）=min{列％事績得包#3*且at<3>以此類推，得6三4,a6<4；???；a2n_^n.ain^2<n:???所以烏當(dāng)"為奇數(shù)時，硏十①十…十礙=2（f+2十…+了分粧為偶數(shù)時,角+旳豐…+兔=2{1+2—+寸）島吐數(shù)學(xué)（理）試題答案和患$二（卄+|比卜面用數(shù)學(xué)歸納法證陰：⑴當(dāng)心時■由以上敘述可如命題成立.⑵假設(shè)當(dāng)歸吋，命題成立趴,=葉閥當(dāng)M=k+1吋，若也=