時間序列趨勢外推預測

時間序列趨勢外推預測時間序列是指某種經(jīng)濟統(tǒng)計指標的數(shù)值，按時間先后順序排列起來的數(shù)列。時間序列是時間t的函數(shù)，若用Y表示，則有：Y=Y（t）。時間序列分析預測法時間序列分析預測法是將預測目標的歷史數(shù)據(jù)按照時間的順序排列成為時間序列，然后分析它隨時間的變化趨勢,外推預測目標的未來值。我們對以下幾種序列進行分析預測：具有水平趨勢的數(shù)據(jù)序列、具有非水平趨勢的序列、具有線性趨勢的數(shù)據(jù)序列和具有線性趨勢和季節(jié)波動的數(shù)據(jù)序列9.1具有水平趨勢的時間序列的外推預測假設某種商品的銷售額在某一水平下上下波動。已知現(xiàn)在的時刻為t，求在t＋1時刻的預測值1、樸素預測法所謂樸素預測法就是直接以本月的銷售額做為下月銷售額的預測值：L稱為預測期樸素預測法的優(yōu)點是簡單，成本低，如果序列的變化穩(wěn)定，波動小就具有一定的預測精度，缺點就是未能充分使用歷史的數(shù)據(jù)信息，受隨機波動影響大2、平均數(shù)預測法將樣本算術平均數(shù)作為預測值。這種方法較樸素預測法具有更高的精度，克服了易受隨機干擾的影響，充分使用了歷史信息，樣本越大，精度越高。3、理論模型－常數(shù)均值模型上述方法的理論基礎是時間序列的常數(shù)均值模型服從經(jīng)典假設該模型可以分成兩種1、已知，則系列的最小均方差預測值為預測誤差為：由于，所以預測值為無偏預測。預測方差為預測區(qū)間為：

若未知，那么可以通過最小二乘法求估。則：預測誤差為：方差為：由于未知，所以使用估計值代替則統(tǒng)計量服從t分布：則預測區(qū)間為：

預測校正：如果得到新的觀測值后，要進行新的預測就必須根據(jù)新得到的數(shù)據(jù)信息，對原來的預測結果進行校正，作為新的預測值。假定對時間序列作出的預測值為現(xiàn)在新增觀測值，要在n＋1的基礎上對作出預測，預測值記為或者9.2有非水平趨勢勢樣本序列的的趨勢外推法法如果時間序列列是均值緩慢慢變動的，則則使用局部均均值模型。1.加權滑動平均均預測法滑動平均預測測對時間序列要要外推預預測值為記記N為滑動平均時時段長，預測測值隨n的變化而變化化，稱為滑動動平均預測值值，通過滑動動平均可以清清除干擾，顯顯示趨勢，得得到趨勢外推推預測值。例1某市汽車配件件銷售公司某某年1月至12月的化油器銷銷售量如表所所示。試用簡簡單移動平均均法，預測下下年1月的銷售量。?；推麂N售量量及移動平均均預測值表單位：只月份t實際銷售量3個月移動平均預測值5個月移動平均預測值1423——2358——3434——4445405—5527412—6429469437742646743985024614529480452466103844694731142745644412446430444——419452解：分別取N=3和N=5，按預測公式式：計算3個月和5個月移動平均均預測值。當N=3時當N=5時計算結果表明明：N=5時，MSE較小，故選取取N=5。預測下年1月的化油器銷銷售量為452只。例2某商業(yè)企業(yè)季季末庫存的資資料如下表，，試用簡單移移動平均法對對該企業(yè)下一一季末的庫存存進行預測觀察期季末庫存n=3n=510.610.8————11.1————10.410.830.43——11.210.770.43——1210.91.110.821.1811.811.20.611.10.711.511.670.1711.30.211.911.770.1311.380.521211.730.2711.680.3212.211.80.411.840.3610.712.031.3311.881.1810.411.631.2311.661.2611.211.10.111.440.24解：1、分別取n=3，n=5同時計算移動動平均預測值值，如表所示示。2、計算平均絕絕對誤差：n=3時，n=5時，很明顯n=5時的預測誤差差大于n=3時的預測誤差差，所以取移移動平均期數(shù)數(shù)n=3。3、對下期庫存存額進行預測測。設時間序列為為：加權移動平均均公式為式中：Mtw為t期加權移動平平均數(shù)；Wt為的的權數(shù)，它體體現(xiàn)了相應的的y在加權平均數(shù)數(shù)中的重要性性。利用加權移動動平均數(shù)來作作預測，其預預測公式為：：即以第t期加權平均數(shù)數(shù)作為第t+1期的預測值。。例3我國1979~1988年原煤產(chǎn)量如如表所示，試試用加權移動動平均法預測測1989年的產(chǎn)量。我國原煤產(chǎn)量量統(tǒng)計數(shù)據(jù)及及加權移動平平均預測值表表單位：億噸年份t原煤產(chǎn)量三年加權移動平均預測值相對誤差（%）19796.35——19806.20——19816.22——19826.666.246.3119837.156.449.9319847.896.8313.4319858.727.4414.6819868.948.188.5019879.288.696.3619889.809.077.45解：取W1=3，W2=2，W3=1，按預測公式式：計算三年加權權移動平均預預測值其結果果列于上表中中。1989年我國原煤產(chǎn)產(chǎn)量的預測值值為：這個預測值偏偏低，可以修修正。其方法法是：先計算算各年預測值值與實際值的的相對誤差，，例如1982年為：將相對誤差列列于上表中，，再計算總的的平均相對誤誤差：由于總預測值值的平均值比比實際值低9.50%，所以可將1989年的預測值修修正為：例4現(xiàn)仍以例2的數(shù)據(jù)為例，，令n=3，權數(shù)由遠到到近分別為0.1，0.2，0.7觀察期季末庫存（萬元）加權移動平均預測值10.6——10.8——11.1——10.410.990.5911.210.580.621211.030.9711.811.680.1211.511.780.2811.911.610.291211.810.1912.211.930.2710.712.131.4310.411.130.7311.210.640.56某商業(yè)業(yè)企業(yè)業(yè)季末末庫存存資料料解：取取W1=0.7，W2=0.2，W3=0.1，按預預測公公式：：計算n=3的加權權移動動平均均預測測值其其結果果列于于上表表中。。下期期預測測值為為：2.指數(shù)平平滑法法指數(shù)平平滑法法既不不需要要存貯貯很多多歷史史數(shù)據(jù)據(jù)，又又考慮慮了各各期數(shù)數(shù)據(jù)的的重要要性，，且使使用了了全部部歷史史資料料。指數(shù)平平滑法法，根根據(jù)平平滑次次數(shù)不不同，，有一一次指指數(shù)平平滑法法、二二次指指數(shù)平平滑法法和三三次指指數(shù)平平滑法法等。在加權權平均均算法法中，，如果果所加加權數(shù)數(shù)隨數(shù)數(shù)據(jù)的的時限限增長長而幾幾何方方式減減小，，則的的預預測值值可可以寫寫為：：其中由由于于則則令則則：簡化得得到一一次指指數(shù)平平滑公公式為為：平滑系系數(shù)的的選擇擇1、a值就根根據(jù)時時間序序列的的具體體性質(zhì)質(zhì)在0~1之間進進行選選擇。。具體體如何何選擇擇一般般可遵遵循下下列原原則：：（1）如果果時間間序列列波動動不大大，比比較平平穩(wěn)，，則a應取小小一點點，如如（0.1~0.3）。（2）如果果時間間序列列具有有迅速速且明明顯的的變動動傾向向，則則a就取大大一點點，如如（0.6~0.8）。在實用用上，，類似似移動動平均均法，，多取取幾個個a值進行行試算算，看看哪個個預測測誤差差小，，就采采用哪哪個。。例7某市1976~1987年某種種電器器銷售售額如如下表表所示示。試試預測測1988年該電電器銷銷售額額。年份t銷售額a=0.2的預測值a=0.5的預測值a=0.8的預測值

1976150515151197725250.850.550.2197834751.0451.2551.64197945150.2349.1347.93198054950.3850.0750.39198164850.1049.5449.28198275149.6848.7748.26198384049.9449.8950.45198494847.9544.9542.091985105247.9646.4846.821986115148.7749.2450.961987125949.2250.1250.99解：采采用指指數(shù)平平滑法法，并并分別別取a=0.2,0.5,0.8進行計計算，，初始始值即按預測測模型型，計計算各各期預預測值值，列列于上上表中中.從上表表中可可以看看出，，a=0.2,0.5,0.8時，預預測值值是很很不相相同的的。究究竟a取何值值為好好，可可通過過計算算它們們的均均方誤誤差MSE，選使MSE較小的那那個a值。當a=0.2時，當a=0.5時，當a=0.8時，計算結果果表明：：a=0.2時，MSE較小，故故選取a=0.2，預測1988年該電器器銷售額額為：9.3序列有線線性趨勢勢的外推推預測對于有線線性增長長趨勢的的時間序序列，如如果采用用滑動平平均法和和指數(shù)平平滑法去去做預測測，就會會產(chǎn)生滯滯后，預預測值小小于實際際值。假假設線性性趨勢方方程為：：則如果時間間從t增加到t+N，如果采用用滑動平平均法預預測得：：因此有必必要采用用二次滑滑動平均均值預測測法二次移動動平均法法（1）基本原原理為了避免免利用移移動平均均法預測測有趨勢勢的數(shù)據(jù)據(jù)時產(chǎn)生生系統(tǒng)誤誤差，發(fā)發(fā)展了線線性二次次移動平平均法。。這種方方法的基基礎是計計算二次次移動平平均，即即在對實實際值進進行一次次移動平平均的基基礎上，，再進行行一次移移動平均均。（2）計算方方法線性二次次移動平平均法的的通式為為：m為預測超超前期數(shù)數(shù)（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）（5.1）式用于于計算一一次移動動平均值值；（5.2）式用于于計算二二次移動動平均值值；（5.3）式用于于對預測測（最新新值）的的初始點點進行基本修修正，使使得預測測值與實實際值之之間不不存在滯后現(xiàn)現(xiàn)象；（5.4）式中用用其中：除以，這是因因為移動平均均值是對對N個點求平平均值，，這一平平均值應應落在N個點的中中點。二、二次次指數(shù)平平滑法計算公式式為：可用以下下直線趨趨勢模型型來預測測預測方程程為：例8仍以我國國1965~1985年的發(fā)電電總量資資料為例例，試用用二次指指數(shù)平滑滑法預測測1986年和1987年的發(fā)電電總量。。年份t發(fā)電總量一次平滑值二次平滑值19651676676676

19662825720.7689.467619673774736.7703.6765.419684716730.5711.7784.019695940739.4736.2757.4197061159903.1786.3875.11971713841047.4864.61070.01972815241190.4962.31308.51973916681333.71073.71516.319741016881440.01183.61705.119751119581595.41307.11806.3我國發(fā)電電總量及及一、二二次指數(shù)數(shù)平滑值值計算表表單位：億億度19761220311726.11432.82007.319771322341878.51566.52145.119781425662084.81722.02324.219791528202305.41897.02603.419801630062515.62082.62888.819811730932688.82264.53134.219821832772865.32244.73294.919831935143059.92629.33466.219842037703272.92822.43675.019852141073523.13032.63916.5解：取a=0.3，初始值值都都取序序列的首首項級數(shù)數(shù)值，即即。。計計算列列于于表中，，得到。。又由公式式知t=21時，于是得t=21時的直線線趨勢方方程為：：預測1986年和1987年的發(fā)電電總量為為：例9某公司1990~2001年的實際際銷售額額如下表表所示，，據(jù)此資資料預測測2002年和2003年企業(yè)銷銷售額。年份實際銷售值一次平滑值二次平滑值19903333.733.733.70—19913633.333.533.1-0.333.719923234.934.335.50.932.919933433.233.632.8-0.736.319944233.733.733.70.032.119954038.736.740.73.033.819964439.538.440.61.743.719974842.240.743.72.342.319984645.743.747.73.046.019995045.945.046.81.350.720005448.447.049.82.048.120015851.849.953.72.956.55解：由于于觀察值值變動基基本呈線線性趨勢勢，選用用二次指指數(shù)平滑滑法。取取α=0.6。初始值取取前三期觀觀察值的平平均值，其其數(shù)值為33.7。預測過程程如下：1、計算一、、二指數(shù)平平滑值。如如表所示。。2、計算和和的的值。則預測模型型為：3、運用預測測模型，確確定預測值值。即2002年及及2003年的的預預測測值值為為56.6億元元和和59.4億元元。。9.4序列列有有線線性性趨趨勢勢和和季季節(jié)節(jié)趨趨勢勢的的外外推推預預測測時間間序序列列分分析析預預測測法法，，是是將將預預測測目目標標的的歷歷史史數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)按按照照時時間間的的順順序序排排列列成成為為時時間間序序列列，，然然后后分分析析它它隨隨時時間間的的變變化化趨趨勢勢，，外外推推預預測測目目標標的的未未來來值值。。時時間間序序列列分分析析法法也也稱稱歷歷史史延延伸伸法法或或趨趨勢勢外外推推法法。。編制制時時間間序序列列要要做做到到：：總體體范范圍圍一一致致；；代表表的的時時間間單單位位長長短短一一致致；；統(tǒng)計計數(shù)數(shù)值值的的計計算算方方法法和和計計量量單單位位一一致致。。時間間序序列列是是指指某某種種統(tǒng)統(tǒng)計計指指標標的的數(shù)數(shù)值值，，按按照照時時間間先先后后順順序序排排列列起起來來的的數(shù)數(shù)列列。。例例如如某某種種商商品品銷銷售售量量按按季季度度或或月月度度排排列列起起來來的的數(shù)數(shù)列列等等等等都都是是時時間間序序列列。。時時間間序序列列一一般般用用表表示示，，t為時時間間。。時間序列長期趨勢季節(jié)變動循環(huán)變動不規(guī)則變動時間間序序列列的的因因素素分分析析1、長長期期趨趨勢勢：：是是時時間間序序列列的的主主要要構構成成要要素素，，指指由由于于某某種種根根本本性性因因素素的的影影響響，，時時間間序序列列在在較較長長時時間間內(nèi)內(nèi)朝朝著著一一定定的的方方向向持持續(xù)續(xù)上上升升或或下下降降，，以以及及停停留留在在某某一一水水平平上上的的傾傾向向。。它它反反映映了了事事物物的的主主要要變變化化趨趨勢勢。。2、季節(jié)變變動：指指由于自自然條件件和社會會條件（（生產(chǎn)生生活條件件）的影影響，時時間序列列在一年年內(nèi)隨著著季節(jié)的的轉變而而引起的的周期性性變動。。3、循環(huán)變變動：是是近乎規(guī)規(guī)律性的的周而復復雜始的的變動，，是以數(shù)數(shù)年為周周期的周周期變動動。4、不規(guī)則則變動：：是指由由各種偶偶然性因因素引起起的無周周期變動動。二、時間間序列的的組合形形式（1）加法型型（2）乘法型型（3）混合型型其中：Yt為時間序序列的全全變動；；Tt為長期趨趨勢；St為季節(jié)變變動；Ct為循環(huán)變變動；It為不規(guī)則則變動。。1、加法型型序列的的外推預預測法1.對樣本序序列做長長度為（（k－1）的滑動動平均，，削去隨隨機干擾擾，記滑滑動平均均的序列列為2.對于求求出出趨勢線線3.將序列消消除趨勢勢的影響響，求出出削去趨趨勢后的的序列值值4、將按按季節(jié)次次序重排排，假定定t＝1為春季季5、對季季節(jié)指指數(shù)進進行檢檢驗，，，，符合合季節(jié)節(jié)指數(shù)數(shù)條件件，否否則對對指數(shù)數(shù)進行修正正。若若，，則6、進行行預測測2.乘法型型序列列的外外推預預測對于乘乘法型型序列列1.對序序列列值分分解出出長期期趨勢勢因素素，假假設季季節(jié)長長度為為4，只要要將序序列做做滑動動長度度為4的滑動動平均均，即即可消消除隨隨即干干擾和和季節(jié)節(jié)波動動。記記滑動動平均均值為為，，滑滑動的的序列列只只包含含趨勢勢因素素。2.對分分解解出季季節(jié)因因素和和隨機機因素素，，3.從中中分分解季季節(jié)因因素。。為為避免免直接接平均均將季季節(jié)因因素也也消除除掉，，需將將序列列按照照春夏夏秋冬冬的順順序逐逐季排排列，，然后后將相相同季季度的的相加平平均消消除隨隨機性性，保保留季季節(jié)性性。如如果得得到的的平均均數(shù)相相加則需需進進行行季季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)整整4。利利用用序序列列，，求求出出線線性性趨趨勢勢方方程程，，記記為為：：5.根據(jù)據(jù)3、4得到到的的季季節(jié)節(jié)指指數(shù)數(shù)和和，，可可得得預預測測公公式式：：9.5不同同的的滑滑動動平平均均方方法法及及其其在在趨趨勢勢外外推推的的應應用用移動動平平均均的的數(shù)數(shù)值值應應放放在在所所平平均均時時間間的的中中間間位位置置N為奇奇數(shù)數(shù)時時，，新新數(shù)數(shù)列列首首尾尾各各少少（（N-1）/2項；；N為偶偶數(shù)數(shù)時時，，新新數(shù)數(shù)列列首首尾尾各各少少N/2項。。當N為奇奇數(shù)數(shù)，，只只需需一一次次移移動動平平均均當N為偶偶數(shù)數(shù)，，需需再再進進行行二二項項移移動動平平均均即即移移正正平平均均（（或或中中心心化化））新新數(shù)數(shù)列列較較原原數(shù)數(shù)列列項項數(shù)數(shù)少少,造成成部部分分信信息息缺缺損損。。N越大大，，缺缺項項越越多多。。偶數(shù)數(shù)項項的的中中心心化化簡簡單單平平均均數(shù)數(shù)要要經(jīng)經(jīng)過過兩兩次次移移動動計計算算才才可可得得出出。。例如如：：移移動動項項數(shù)數(shù)N＝4時，，計算算的的移移動動平平均均數(shù)數(shù)對對應應中中項項在在兩兩個個時時期期的的中中間間：：由于于這這樣樣計計算算出出來來的的平平均均數(shù)數(shù)的的時時期期不不明明確確，，故故不不能能作作為為趨趨勢勢值值。。解決決辦辦法法：對第第一一次次移移動動平平均均的的結結果果，，再再作作一一次次移移動動平平均均。偶數(shù)項項“移動法法則”：1.要取““2n+1”項；2.采用““首尾取取半法法”計算算移動動平均均數(shù)；；3.作為n+1項的長長期趨趨勢值值。3×3項移動動平均均就是是對3項移動動平均均值再再進行行3項移動動平均均，首首先進進行3項移動動平均均：5×5項移動動平均均對稱的的henderson移動平平均在X11中，為為了從從TC1序列中中獲得得趨勢勢循環(huán)環(huán)要素素TC，必須須消除除其中中的不不規(guī)則則要素素I，這使使用的的是henderson移動平平均法法，也也稱Henderson濾波：：Henderson加權移移動有有5，9，13，23項之別別，不不規(guī)則則要素素越大大，需需要的的項數(shù)數(shù)也越越大，，具體體推導導可見見Kennyanddurbin（1982）。下面給給出5項平均均的公公式前后后各差差兩項項中位平平均數(shù)數(shù)在每一一個序序列中中除去去最大大值和和最小小值，，然后后再對對余數(shù)數(shù)進行行平均均，稱稱為中中位平平均數(shù)數(shù)9.6溫特線線性和和季節(jié)節(jié)性指指數(shù)平平滑預預測法法一、溫特線線性和和季節(jié)節(jié)性指指數(shù)平平滑法法的基基本原原理溫特線線性和和季節(jié)節(jié)性指指數(shù)平平滑法法利用用三個個方程程式和和一個個預測測方程程組成成，其其中每每一個個方程程式都都用于于平滑滑模型型的三三個組組成部部分（（平穩(wěn)穩(wěn)的、、趨勢勢的和和季節(jié)節(jié)性的的），，且都都含有有一個個平滑滑參數(shù)數(shù)。已知時時間序序列，，乘法法序列列的形形式：：滿足平滑公公式霍爾特特-溫特斯斯指數(shù)數(shù)平滑滑法的的三個個平滑滑公式式：設定初初始值值：預測方方程霍爾特特-溫特斯斯指數(shù)數(shù)平滑滑法的的預測測方程程為：：是季節(jié)節(jié)長度度。平滑系系數(shù)的的確定定1.三個平平滑系系數(shù)：：、、的取取值可可以相相同也也可以以不同同，一一般根根據(jù)經(jīng)經(jīng)驗選選定，，常在在0.1~0.2之間。。2.理論上上可以以通過過多值值試算算，也也可以以應用用工具具軟件件幫助助實現(xiàn)現(xiàn)。9、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Sunday,January1,202310、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。20:37:2220:37:2220:371/1/20238:37:22PM11、以我獨獨沈久，，愧君相相見頻。。。1月-2320:37:2220:37Jan-2301-Jan-2312、故人江海海別，幾度度隔山川。。。20:37:2220:37:2220:37Sunday,January1,202313、乍乍見見翻翻疑疑夢夢，，相相悲悲各各問問年年。。。。1月月-231月月-2320:37:2220:37:22January1,202314、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國國見青山。。。01一月月20238:37:22下下午20:37:221月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。。一月月238:37下下午午1月月-2320:37January1,202316、行動動出成成果，，工作作出財財富。。。2023/1/120:37:2220:37:2201January202317、做前，，能夠環(huán)環(huán)視四周周；做時時，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點點的射線線向前。。。8:37:22下午午8:37下午午20:37:221月-239、沒有失敗敗，只有暫暫時停止成成功！。1月-231月-23Sunday,January1,202310、很多事情努努力了未必有有結果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。20:37:2220:37:2220:371/1/20238:37:22PM11、成功就是日日復一日那一一點點小小努努力的積累。。。1月-2320:37:2220:37Jan-2301-Jan-2312、世間成事，，不求其絕對對圓滿，留一一份不足，可可得無限完美美。。20:37:2220:37:2220:37Sunday,January1,202313、