課件匯總附案例-9.0模型及解分析檢驗(yàn)

1.9模型及解的分析檢驗(yàn)求解數(shù)學(xué)模型

實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型模型與模型解的分析及檢驗(yàn)

始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)建模工作最終要得到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解答

求出模型的數(shù)學(xué)解以后，應(yīng)對(duì)解的意義進(jìn)行分析、檢驗(yàn)一、模型解分析常需討論以下類似問(wèn)題：1.這個(gè)解說(shuō)明了什么問(wèn)題？2.是否達(dá)到了建模目的？3.模型的適用范圍怎樣？4.所建模型是否合理？是否合乎實(shí)際？是否有原理性錯(cuò)誤、常識(shí)性錯(cuò)誤？……

例1.9.1P65《格列佛游記》中小人國(guó)的小人們?yōu)楣浪愀窳蟹鸬氖沉?，利用身體的相似性，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型.

W=aH3

W是人的體重，H

是人的身高.檢驗(yàn)先確定參數(shù)a，新生嬰兒身長(zhǎng)約50厘米，重約3千克,代入模型得

得模型為

W=24H3

這是一個(gè)適用于肥胖人群的體重－身高模型,據(jù)此可計(jì)算得

身高為1.5米的兒童體重為

W(1.5)=81(千克)；身高為2米的運(yùn)動(dòng)員體重為

W(2)=192(千克).檢驗(yàn)?zāi)Ｐ图捌浣馐菙?shù)學(xué)建模工作的重要環(huán)節(jié)

例1.9.2(P66)將一塊石頭扔進(jìn)洞中估計(jì)洞的深度.一名學(xué)生建立了從扔下石頭到聽(tīng)到聲音的時(shí)間

t和洞深

h的關(guān)系模型：h—洞深，t—聽(tīng)到回聲的時(shí)間.用到假設(shè)：其中k為比例系數(shù).*1

石頭下降時(shí)所受空氣的阻力和速度成正比;*2

阻力產(chǎn)生的加速度也和速度成正比.系列分析檢驗(yàn)：1.檢查模型的量綱是否正確?

應(yīng)用量綱齊次原則對(duì)數(shù)學(xué)模型和模型的解進(jìn)行量綱一致性檢驗(yàn).

參見(jiàn)律師辯護(hù)問(wèn)題P89~92此例中根據(jù)比例系數(shù)k

的定義有

LT－2=[k]LT－1

[k]=T－1

量綱齊次原則:任一有意義的物理方程必定是量綱一致的,即有

[左邊]=[右邊]

注意到exp(－kt)是無(wú)量綱量，驗(yàn)證得模型的量綱正確.

2.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠衽c物理定律相符?

若忽略空氣阻力（即k=0）,應(yīng)有

h=0.5gt2

驗(yàn)證模型是否與此物理定律相符.能否將k=0代入模型？參見(jiàn)講義P66.3.參數(shù)的靈敏度分析取參數(shù)

k的值為0.05(克/秒),可算得即若回聲在4秒聽(tīng)到，模型測(cè)算出洞深73.50米.

若參數(shù)k有微小變化，測(cè)算值會(huì)怎樣變化？令k=0.045,

參數(shù)的相對(duì)變化幅度為︱0.045－0.05︱/0.05=10%，

計(jì)算得

h2=h(4)≈73.98，洞深預(yù)測(cè)值相對(duì)變化幅度為

（73.5－73.89）/73.5＜1%.

怎樣解釋這兩個(gè)數(shù)據(jù)？？

說(shuō)明模型對(duì)空氣阻力比例系數(shù)k不敏感,即對(duì)洞深預(yù)測(cè)影響不大,可忽略空氣阻力.

問(wèn)題在模型中完全不考慮空氣影響？4.進(jìn)一步分析空氣的影響

若完全忽略空氣的影響,有

h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，絕對(duì)誤差為

78.48－73.50≈5(米)，相對(duì)誤差為（78.48－73.50）/73.50≈7%，結(jié)果分析

說(shuō)明被忽略的空氣因素對(duì)模型解產(chǎn)生較明顯的影響.空氣空氣阻力？

事實(shí)上，

模型中用到隱含假設(shè)：石頭撞擊地面的聲音能立即聽(tīng)到.未考慮聲音在空氣中的傳播速度.

傳播速度大約為330米／秒

,則石頭著地聲音的傳播時(shí)間大約為取修正時(shí)間為

t=4－0.223=3.777（秒）

可得

h(3.777)≈65.77(米)h／330≈73.5／330≈0.223（秒）

結(jié)論

聲速的影響遠(yuǎn)甚于空氣阻力的影響.

通過(guò)對(duì)模型的分析、檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)由于模型假設(shè)不合理,考慮因素不合適,造成模型不合理.需重新進(jìn)行問(wèn)題的前期分析工作數(shù)學(xué)建模過(guò)程分為若干有明顯差別的階段性工作

求解數(shù)學(xué)模型

實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報(bào)告

模型及模型解的分析及檢驗(yàn)

1.

量綱一致性檢驗(yàn)；2.

假設(shè)的合理性檢驗(yàn)；3.

對(duì)模型參數(shù)的靈敏度分析；4.

模型及模型解的誤差分析，分析誤差及誤差的來(lái)源等；5.

參數(shù)或變量的臨界值；……

模型與模型解的分析與檢驗(yàn)，通常需要做以下幾類工作：

1．模型誤差的客觀存在性希望建立的模型盡善盡美：

能“逼真”地模擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)；

能“精確”地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來(lái)情況；

能“準(zhǔn)確”地控制系統(tǒng)；

得到問(wèn)題的“最優(yōu)”解；…良好愿望

二、模型誤差分析逼真、精確、準(zhǔn)確、最優(yōu)、…

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的理想化，不可能是真實(shí)世界的再現(xiàn)

任何數(shù)學(xué)模型在建立和使用的過(guò)程中，不可避免的產(chǎn)生模型誤差.

如：附加進(jìn)數(shù)據(jù)測(cè)量誤差,舍入誤差和截?cái)嗾`差等.有必要對(duì)模型誤差進(jìn)行分析，并給出估計(jì).

常用“絕對(duì)誤差”和“相對(duì)誤差”來(lái)衡量誤差的大小程度：

絕對(duì)誤差=測(cè)量值－近似值相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/測(cè)量值與數(shù)量級(jí)有關(guān)

例1.19.3用經(jīng)驗(yàn)公式

作為土豆產(chǎn)量的近似估計(jì)公式,其誤差數(shù)值列表如下（參見(jiàn)p168表7.6）0.0010.0641.201960.0622.5638.4898－0.06－2.0334.50240.06相對(duì)誤差1.96絕對(duì)誤差

31.50施肥量

問(wèn)題

如何評(píng)價(jià)誤差數(shù)據(jù)？2．誤差分析各類誤差

數(shù)據(jù)測(cè)量誤差

截?cái)嗾`差

模型假設(shè)誤差

1）數(shù)據(jù)測(cè)量誤差*在建立模型之前應(yīng)該盡量控制實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的質(zhì)量,使之測(cè)量準(zhǔn)確可靠.

*數(shù)據(jù)帶有無(wú)法消除的測(cè)量誤差時(shí),應(yīng)分析它對(duì)模型造成的影響,并對(duì)模型誤差進(jìn)行估計(jì).例1.19.4儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定(2010A)通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲(chǔ)油罐正面示意圖油位探針油位探針α地平線圖2儲(chǔ)油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測(cè)裝置注油口檢查口水平線工作:已確定罐容表的基礎(chǔ)上用油位計(jì)來(lái)測(cè)量罐內(nèi)油位高度數(shù)據(jù),利用罐容表進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.罐容表：罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.問(wèn)題:若油位計(jì)測(cè)量罐內(nèi)油位測(cè)量高度有誤差,對(duì)問(wèn)題的解決會(huì)產(chǎn)生什么影響?hh+Δh例1.19.5有高為100厘米的半球形容器中裝滿了水.從某一時(shí)刻開(kāi)始，水從底部一個(gè)橫截面積為1平方厘米的小孔流出，可以隨時(shí)測(cè)出水面高度h.由水力學(xué)知，水從孔口流出的流量（即通過(guò)孔口橫截面的水的體積V對(duì)時(shí)間t的變化率)Q，有關(guān)系式

其中0.62為流量系數(shù),S是小孔口橫截面積，g為重力加速度.

由測(cè)出的水面高度h,可算得水流量,由于儀器所限，測(cè)出的高度值有±

0.1厘米的誤差,這會(huì)引起水流量Q的多大誤差？

100h水面高度h有誤差Δh

分析

水面高度誤差為Δh

,水流量誤差則為

在

h=50厘米處,代入Δh=0.1厘米,可算得絕對(duì)誤差為

相對(duì)誤差為在h=50厘米處的相對(duì)誤差為約為1‰.2)截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差的來(lái)源：

1.用數(shù)值方法近似求解會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差；

2.函數(shù)近似產(chǎn)生截?cái)嗾`差；3.計(jì)算機(jī)運(yùn)算的精度誤差；

應(yīng)分析截?cái)嗾`差對(duì)模型的影響

續(xù)例1.8.4廣義生日問(wèn)題求最小的整數(shù)n，使

f(n)≤q(給定)

利用求根法對(duì)不同x算出n

的最小值n*，見(jiàn)表(P170表7.7)的前兩列,建立經(jīng)驗(yàn)公式為建立滿足f(n)≤q(q=0.5)的最小值n*與x

之間的關(guān)系式.

方法一（最小二乘法）方法二泰勒近似建立泰勒近似公式為練習(xí)對(duì)兩種近似求解方法,計(jì)算各個(gè)近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差.泰勒近似式的誤差控制函數(shù)注意到f(n)和g(n)都是單調(diào)下降函數(shù),選擇n*使g(n*)≥q≥g(n*+1)≥f(n*+1)，又若f(n*)≥q，則n*或n*＋1就是整數(shù)n滿足f(n)＜q的最小值.g(n)f(n)qn*n*+1若f(n*)=qf(n)≤q

，當(dāng)n≥n*；若

f(n*)＞q對(duì)最小值n*點(diǎn)有當(dāng)n≥n*+1.

f(n*)＞q≥g(n*+1)≥f(n*+1)≥f(n)，3)模型假設(shè)誤差續(xù)例1.5.3施肥效果分析有人做了如下兩條假設(shè)：

*1在實(shí)驗(yàn)中除施肥量,其他影響因子:如環(huán)境條件,種植密度,土壤肥力等,均處于同等水平；是用g(n)代換f(n)的誤差控制函數(shù),比值越接近于零，誤差越小.*2各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立,誤差項(xiàng)ε均服從N(0,σ2).分析：從數(shù)據(jù)可見(jiàn)在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)實(shí)際重復(fù)了三次試驗(yàn).問(wèn)題：三次試驗(yàn)的土豆產(chǎn)量分別為43.15，41.26，38.43（單位：t/ha）第七試驗(yàn)水平

按照假設(shè)這3次重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生的產(chǎn)量波動(dòng)完全因隨機(jī)誤差所致.如何解釋這3個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)？并且土豆產(chǎn)量滿足回歸方程合理嗎？分析：由3個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算得

現(xiàn)30個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)絕大多數(shù)落在區(qū)間(33.82,48.07)之內(nèi)

由施肥水平變化所引起的土豆產(chǎn)量的變動(dòng)幅度不及隨機(jī)誤差產(chǎn)生的波動(dòng)幅度大

.不合理不合理的原因：實(shí)際上三次重復(fù)試驗(yàn)帶有系統(tǒng)誤差主要來(lái)源于土壤肥力,生長(zhǎng)期的管理措施等多種試驗(yàn)時(shí)的外界條件變化.

試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，將試驗(yàn)實(shí)施過(guò)程中外界環(huán)境條件的差異所造的系統(tǒng)偏差稱為區(qū)組效應(yīng).

施肥問(wèn)題中,對(duì)應(yīng)于每種營(yíng)養(yǎng)素的10個(gè)施肥試驗(yàn)點(diǎn),應(yīng)并為一個(gè)區(qū)組.

可認(rèn)為區(qū)組內(nèi)10次試驗(yàn)的試驗(yàn)條件較為一致,而不同區(qū)組間的試驗(yàn)條件差別較大.

由有區(qū)組效應(yīng)的數(shù)據(jù)不可能分析出各個(gè)肥素對(duì)土豆產(chǎn)量的交互作用.

利用數(shù)據(jù)建立模型應(yīng)盡量消除區(qū)組效應(yīng)

通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，保證數(shù)據(jù)質(zhì)量.例1.5.3施肥效果分析

某地區(qū)作物生長(zhǎng)所需的營(yíng)養(yǎng)素主要是氮(N)、鉀(K)、磷(P).某作物研究所在某地區(qū)對(duì)土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表所示,其中ha表示公頃,……當(dāng)一個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量變化時(shí),總將另兩個(gè)營(yíng)養(yǎng)素的施肥量保持在第七個(gè)水平上,如對(duì)土豆產(chǎn)量關(guān)于N的施肥量做實(shí)驗(yàn)時(shí),P與K的施肥量分別取為196kg／ha與372kg／ha.施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)015.183421.366725.7210132.2913534.0320239.4525943.1533643.4640440.8347130.75施肥量(kg/