一次函數(shù)與方程不等式教案

19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式八年級科目：數(shù)學(xué)主備人：范德彪時間：年月日課時安排與說明：1課時一、教案設(shè)計1、教案目標（1）了解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯(lián)系；（2）能運用一次函數(shù)的圖象來解釋一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通過函數(shù)圖象來求一元一次方程、一元一次不等式的解集；（3）經(jīng)歷探究一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯(lián)系的過程，體會數(shù)形結(jié)合、分類、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，并能簡單應(yīng)用于生活實踐.2、內(nèi)容分析（1）函數(shù)、方程、不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型。用函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式，學(xué)生不僅能加深對方程（組）、不等式的理解，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，加強知識間橫向與縱向的融會貫通。本節(jié)課關(guān)鍵是探究一次函數(shù)與一次方程、一次不等式的聯(lián)系，并利用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，這對發(fā)展學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的思想和辯證思維能力具有重要的意義，同時為高中利用二次函數(shù)解一元二次不等式的學(xué)習(xí)作一些鋪墊。（2）基于以上分析，確定本節(jié)課的教案重是一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯(lián)系，教案難點是能通過函數(shù)圖象來求一元一次方程、一元一次不等式的解集.3、學(xué)情分析（1）學(xué)生的認知基礎(chǔ)：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了從數(shù)的角度認識一次方程和一次不等式，從形的角度認識了一次函數(shù)和數(shù)軸表示不等式的解集。而本節(jié)課通過函數(shù)圖像動態(tài)的變化和點的對應(yīng)來探究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.但學(xué)生對函數(shù)的理解還停留在直觀的解讀式或者圖象上，學(xué)生很難想到利用函數(shù)的觀點來看待方程和不等式的問題，從函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來辯證的理解三個數(shù)學(xué)模型。(2)學(xué)生是年齡心理特點：八年級學(xué)生的思維已經(jīng)逐步從幾何直觀向抽象的邏輯思維過渡，具備一定的識圖能力和歸納概括的能力，并且在學(xué)習(xí)中有了想自己動手、運用知識解決實際問題的欲望。因此，本節(jié)課主要是教給學(xué)生“動手做，動腦想，多合作，大膽猜，會驗證”的研討式學(xué)習(xí)方法。從實際生活情境和簡單問題中引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流來探究發(fā)現(xiàn)一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，另補充相應(yīng)的練習(xí)，鼓勵學(xué)生運用新思維，即從“形”的角度解決舊知，增強學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識。4、設(shè)計思路(1)以學(xué)生活動為主線一一讓學(xué)生主動建構(gòu)新知識本節(jié)課讓學(xué)生類比一次函數(shù)與一元一次方程的學(xué)習(xí)方法，自己通過觀察、聯(lián)想、分析、歸納，把新知識正確地納入到已有的認知結(jié)構(gòu)中。本節(jié)課設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)、每一個活動都是以學(xué)生為主體，他們在每個活動中始終是主動的探索者、研究者，實現(xiàn)學(xué)生的主體地位。(2)突出數(shù)學(xué)思想方法一一讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓本節(jié)課學(xué)習(xí)不是把運用圖象解不等式作為一種技巧，而是用函數(shù)觀點統(tǒng)領(lǐng)方程、不等式，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。在教案中，我把培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力作為重點，通過一連串的問題和活動，讓學(xué)生逐步去領(lǐng)會，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(3)重視自主探索與合作交流一一讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)新課程倡導(dǎo)“自主探索、合作交流”的學(xué)習(xí)方式，本節(jié)課，教師創(chuàng)設(shè)了一個個探究情境，學(xué)生在思考中合作，在合作中交流，在交流中體驗，在體驗中感悟。這樣，既調(diào)動了學(xué)生參與的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的合作交流能力和學(xué)習(xí)能力，促進了每一位學(xué)生的發(fā)展。二、教案過程(一)導(dǎo)入1、填空：一元一次方程2x+4=0解是；一元一次不等式2x+4>0的解集為；一元一次不等式2x+4<0的解集為.

2、方程、不等式與函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，下面我們就從函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式。【設(shè)計意圖】通過解一元一次方程、一元一次不等式為探討一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系作好鋪墊.(二)新授課活動一：一次函數(shù)與一元一次方程思考：下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對這3個方程進行解釋嗎？(1)2x+1=3；(2)2x+1=0； (3)2x+1=-1.【師生活動】三個方程的左邊都是代數(shù)式2x+1,而右邊分別是3、0、一1。我們可以把代數(shù)式2x+1的取值記作變量》它可以看成是關(guān)于x的函數(shù)，于是我們就得到了一次函數(shù)y=2x+1。如右圖，從函數(shù)的角度看，解這三個方程可以看成一次函數(shù)y=2x+1的函數(shù)值分別為3、0、一1(即y=3,y=0,y=-1)時，求自變量x的值?；蛘哒f，在直線y=2x+1上取縱坐標分別為3、0、一1時，看它們的橫坐標分別為多少，即圖象上A、B、C三點的橫坐標。【追問】此時這三個方程的解在圖象上如何表示？【師生活動】從函數(shù)圖象可知，當y=3時，對應(yīng)的A點的橫坐標為1,則方程(1)的解為x=1；同理，方程(2)的解為x=」，方程(3)的解為x=-1.2【歸納】一元一次方程的解是它所對應(yīng)一次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標。活動二：一次函數(shù)與一元一次不等式思考：下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對這3個不等式進行解釋嗎？(1)3x+2>2； (2)3x+2<0；(3)3x+2<-1.【師生活動】三個不等式的左邊都是代數(shù)式3x+2，而右邊分別是2、0、一1。從函數(shù)的角度，它們可以分別看成一次函數(shù)y=3x+2當y>2,y<0,y<-1時，求自變量x的取值范圍(如右圖）.【追問】此時這三個不等式的解集在圖象上如何表示？【師生活動】從函數(shù)圖象可知，當y>2時，對應(yīng)的自變量x的取值范圍為x>0,2則不等式（1）的解集為x>0；同理，不等式（2）的解集為x=-2，不等式（3）的3解為x<-1.【歸納】一元一次不等式的解集是它所對應(yīng)一次函數(shù)圖象函數(shù)值大于0或小于0時，自變量x的取值范圍?；顒尤阂淮魏瘮?shù)與二元一次方程（組）問題3 1號探測氣球從海拔5M處出發(fā)，以1m/s的速度上升.與此同時2號探測氣球從海拔15M處出發(fā)，以0.5m/s的速度上升.兩個氣球都上升了1h.（1）請用式子表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位:m）關(guān)于上升時間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系。（2）在某一時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)列函數(shù)關(guān)系式的知識和方法，分析問題，巡視并提醒學(xué)生取值可以多元化.分析：（1）氣球上升時間x滿足0<x<60.對于1號氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解讀式y(tǒng)=x+5.對于2號氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解讀式y(tǒng)=0.5x+15.（2）在某時刻兩個氣球位于同一高度，就是說對于x的某一個值（0<x<60），函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如果能求出這個x和y，則問題得到解決.由此容易想到解二元一次方程組；y=x+5 即1-y=-5[y=0.5x+15 1y-0.5=15「x=20.解得：1 ，這就是說，當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25m的高度.[y=25.【追問1】參考前面用一次函數(shù)圖象來解一元一次方程、一元一次不等式的方法，你能從函數(shù)的觀點來解釋二元一次方程（組）嗎？【追問2】回答以下問題：（1）在同一直角坐標系內(nèi)分別畫出一次函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15的圖象.

⑵找出兩個圖象的交點坐標.⑶由這個交點坐標，你能確定二元一次方程組”—>=-5的解嗎？為什么？⑵找出兩個圖象的交點坐標.⑶由這個交點坐標，你能確定二元一次方程組J—0.5=15【師生活動】觀察兩個函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：二元一次方程組的解是同時滿足兩個方程的公共解，同時，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足上述兩個函數(shù)，易知交點坐標滿足這個方程組的解.【師生活動】觀察兩個函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)：二元一次方程組的解是同時滿足兩個方程的公共解，同時，兩個【歸納】一般地，因為每個含有未知數(shù)x和y二元一次方程，都可以改寫為y=kx+b（k，b是常數(shù)，k豐0）的形式，所以每個這樣的方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)一條直線.這條直線上每個點的坐標（x，y）都是這個二元一次方程的解.二元一次方程組的的解是它所對應(yīng)兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標。（三）課堂小結(jié)（1）一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（組）之間有什么樣的聯(lián)系？（2）如何用函數(shù)的觀點來解釋一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（組）？（四）反饋1、一個物體現(xiàn)在的速度是5M/秒，其速度每秒增加2M，再過幾秒它的速度為17M/秒？分析：設(shè)再過x秒它的速度為17M/秒.根據(jù)題意可知5+2x=17。用函數(shù)圖象法來解答，將方程5+2x=17化簡為2x-12=0，畫出對應(yīng)一次函數(shù)y=2x-12的圖象，找到圖象與x軸的交點（6,0），得x=6.2、用畫函數(shù)圖象的方法解不等式5x+4<2x+10.分析：將原不等式兩邊分別看成一次函數(shù)y=5x+4和y=2x+10，畫出兩個函數(shù)的圖象（如圖所示），找到交點的橫坐標為2，當x<2時，對于同一個x，直線y=5x+4上的點在直線y=2x+10上相應(yīng)點的下方，這時5x+4<2x+10，所以不等式的解集為x<2。y=—x+1.3、利用圖象解方程組1y=2xy=—x+1.分析：引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標系中畫出兩條直線，并找出兩條直線的交點坐標.即可得出所以方程組的解.解：在直角坐標系中畫出兩條直線，如下圖所解為x=2,y=T.解為x=2,y=T.(五)作業(yè)布置與課外輔導(dǎo)1、已知函數(shù)y[=2x-4