2023屆山東省淄博市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省淄博市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，i是虛數(shù)單位，且是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到，再由純虛數(shù)的概念得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，是虛?shù)單位，所以，又是純虛數(shù)，則，解得：，所以，故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分清楚集合，然后再進(jìn)行集合的運(yùn)算即可.【詳解】對于集合：；對于集合：；故選：C3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則公比（

）A． B．2或 C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入解方程即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式所以,，又因?yàn)?，即所?故選：B4．已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，點(diǎn)P是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)．若在x軸上的投影向量的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的坐標(biāo)可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，二倍角公式求出.【詳解】若在x軸上的投影向量的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，點(diǎn)P是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，有，∴.故選：B5．若命題p：“，”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題可知，，則有，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，故選:C.6．函數(shù)與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)，.若點(diǎn)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)和函數(shù)的奇偶性得到和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，再利用這個結(jié)論結(jié)合得到含有和這兩個未知量的等式，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，且函數(shù)圖象過原點(diǎn)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.又因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)和，所以和關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A.7．已知定義在R上的函數(shù)和，導(dǎo)函數(shù)的定義域也為R．若為偶函數(shù)，，，則下列不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】容易分析知在軸兩側(cè)的一段區(qū)域內(nèi)單調(diào)性相反，；再經(jīng)過賦值法可以依次判斷ACD是否正確.【詳解】依題意：為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的定義為R，，B對；令代入A對；又又，D對；又為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；由又，也為周期為4的函數(shù)，C錯；故選：C8．已知，，，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造新的函數(shù)，，，，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以.設(shè)函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即，所以.設(shè)，，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，，所以，所以，故.故選：D二、多選題9．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（

）A．函數(shù)解析式B．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2【答案】BC【分析】根據(jù)圖像得到解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)項(xiàng)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由題圖知：，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，所以函數(shù)．將點(diǎn)代入解析式中可得，即，則，得，因?yàn)?，所以，因此，故A錯誤；將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖像，故B正確；由，當(dāng)時，，故C正確；當(dāng)時，，所以，即，即最大值為，故D錯誤．故選：BC．10．甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲盒子中隨機(jī)取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機(jī)取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．，，是兩兩互斥的事件 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】AD【分析】根據(jù)的意義可求其概率，從而可判斷D的正誤，根據(jù)全概率公式可計(jì)算，故可判斷B的正誤，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件的定義可判斷AC的正誤.【詳解】，又，故D正確.故，故B錯誤.，故，所以事件與事件不相互獨(dú)立，故C錯誤，根據(jù)互斥事件的定義可得兩兩互斥，故A正確.故選：AD11．下列命題是真命題的有（

）A．分層抽樣調(diào)查后的樣本中甲、乙、丙三種個體的比例為3：1：2，如果抽取的甲個體數(shù)為9，則樣本容量為30B．某一組樣本數(shù)據(jù)為125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5，124.5]內(nèi)的頻率為0.4C．甲、乙兩隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)分別為60，68，人數(shù)之比為1：3，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的平均數(shù)為67D．一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數(shù)為5【答案】BD【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)判斷A選項(xiàng)；利用落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)除以總數(shù)計(jì)算概率，即可判斷B選項(xiàng)；由甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)比，計(jì)算出兩隊(duì)在所有隊(duì)員中的所占權(quán)重，然后利用平均數(shù)的計(jì)算公式，即可判斷C選項(xiàng)；由百分位數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的有120，122，116，120共4個，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)之比為，則甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的平均數(shù)為，故選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第9個數(shù)，該數(shù)為5，故選項(xiàng)D正確.12．小明和小童兩位同學(xué)玩構(gòu)造數(shù)列小游戲,規(guī)則是:首先給出兩個數(shù)字1,10,然后小明把兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到第一個新數(shù)列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項(xiàng)的積插入此兩項(xiàng)之間,得到第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數(shù)列．假設(shè)第n個新數(shù)列是:記:,則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義,寫出前4項(xiàng),即可判斷選項(xiàng)AD的正誤,再根據(jù)新定義找到項(xiàng)數(shù),,與第幾個數(shù)列之間的關(guān)系,利用數(shù)學(xué)歸納法即可判斷選項(xiàng)B的正誤,根據(jù)和之間的聯(lián)系即可得到選項(xiàng)C的正誤.【詳解】解:由題可知:第一個新數(shù)列為:1,10,10,項(xiàng)數(shù)為:3,,第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,由于第二個新數(shù)列的得到是第一個數(shù)列的基礎(chǔ)上,相鄰兩項(xiàng)積插入,故項(xiàng)數(shù)為:,,第三個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故項(xiàng)數(shù)為:,,第四個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故項(xiàng)數(shù)為:,,故選項(xiàng)A正確;不妨記第個數(shù)列時，為,當(dāng)時,即第一個數(shù)列時,滿足,不妨假設(shè)當(dāng)時,即第個數(shù)列時滿足,且數(shù)列有項(xiàng),則當(dāng)時,即第個數(shù)列時,數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有項(xiàng),此時,滿足,故選項(xiàng)B正確;由于新數(shù)列是將兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到,且,故在中比多出來的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故選項(xiàng)C正確;由選項(xiàng)A中可知:,,故選項(xiàng)D錯誤.故選:ABC三、填空題13．已知函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)．當(dāng)時，，則______．【答案】【分析】根據(jù)解決即可.【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)，所以因?yàn)楫?dāng)時，，所以，，所以.故答案為：14．已知,且,則______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出,的值,因?yàn)?利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】,,又,,則,.故答案為:.15．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為35，則實(shí)數(shù)a的值為______．【答案】或3【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，分別求出含有項(xiàng)的系數(shù)，利用系數(shù)為35，列出方程即可求解.【詳解】解：由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)可得，，，，因?yàn)轫?xiàng)的系數(shù)為35，所以，整理得，解得或，故答案為：或3.16．設(shè)，，若關(guān)于x的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，，，且，則的值為______．【答案】##【分析】設(shè)，，由得其為偶函數(shù)，則根據(jù)解的情況得，，，再對x分類討論去絕對值，求解，即可解出a，b，得出的值.【詳解】設(shè)，，則，∴為偶函數(shù)，則恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，，，結(jié)合偶函數(shù)對稱性，顯然，，則，以下討論上性質(zhì)確定：當(dāng)，；當(dāng)，單調(diào)遞增，由得：，則，聯(lián)立，解得，故.故答案為：四、解答題17．為了解患某種疾病A與某種生活習(xí)慣B是否有關(guān)．某社區(qū)所在地隨機(jī)調(diào)查了500位居民，結(jié)果如下：有疾病A病歷無疾病A病歷有生活習(xí)慣B40160無生活習(xí)慣B30270(1)估計(jì)該地區(qū)居民中，有疾病A病歷的比例；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析有生活習(xí)慣B是否會增加患某種疾病A的風(fēng)險．附：，α0.0500.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】對于（1），利用500人中有疾病A的比例，估計(jì)該地區(qū)居民中有疾病A病歷的比例；對于（2），由表中數(shù)據(jù)計(jì)算出，比較與6.635大小即可得答案.【詳解】（1）在500人中，有70人有疾病A病歷，則估計(jì)該地區(qū)居民中有疾病A病歷的比例為：.（2）由表中數(shù)據(jù)，.故在犯錯幾率不超過的前提下，可以認(rèn)為有生活習(xí)慣B會增加患某種疾病A的風(fēng)險．18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據(jù)余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及余弦和角公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先將代入得到，并求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，然后通過直線的點(diǎn)斜式方程即可寫出切線方程.（2）先求出的導(dǎo)函數(shù)并進(jìn)行因式分解，可得到一個含參的二次式，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋郧芯€方程的斜率為，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以切線方程為，即，故當(dāng)時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，令，解得或，?dāng)時，即，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，令，解得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，令，解得或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.20．已知數(shù)列,.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)若,數(shù)列,記數(shù)列的前2n項(xiàng)和為,求.【答案】(1)見解析過程(2)【分析】(1)由已知結(jié)合等差中項(xiàng)的定義證明即可;(2)根據(jù)(1)得到,代入可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,再根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法和等比數(shù)列求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由①,得②,②①得:,即,數(shù)列為等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的公差為,當(dāng)時,,又,且數(shù)列為等差數(shù)列,,,,則.21．世界杯期間，明星隊(duì)和火車頭隊(duì)相遇，雙方要打n（n為奇數(shù)）場比賽，某球隊(duì)至少有一半的場次贏球即為戰(zhàn)勝對方球隊(duì)，其中明星隊(duì)每場贏球的概率為，各場比賽間相互獨(dú)立．(1)若，，估計(jì)明星隊(duì)贏球多少場；(2)對任意的正整數(shù)k，找出p的范圍使得比對明星隊(duì)更合算．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二項(xiàng)分布可求估計(jì)明星隊(duì)贏球場；（2）令表示“明星隊(duì)在場比賽中贏球的場數(shù)”，表示場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)，表示場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)，則可由題設(shè)得到，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）設(shè)明星隊(duì)贏球場數(shù)為，由題設(shè)由，故，故估計(jì)明星隊(duì)贏球場.（2）令表示“明星隊(duì)在場比賽中贏球的場數(shù)”，表示場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)的概率，表示場比賽中明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)的概率，其中，在場比賽中比賽中，明星隊(duì)?wèi)?zhàn)勝對方球隊(duì)，由以下3個互斥事件構(gòu)成：（?。?；（ⅱ），且余下兩場比賽中，明星隊(duì)至少勝一場；（ⅲ），且余下兩場比賽中，明星隊(duì)全勝；故，所以，若，則.故當(dāng)時，有對任意的正整數(shù)k，使得比對明星隊(duì)更合算．22．已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍；(2)證明：對，．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負(fù)得函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)在上的最小值不小于0即可得；（2）在（1）的討論中得出，時，，