等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

會(huì)計(jì)學(xué)1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)回顧：1.{an}為等差數(shù)列.

，an=，更一般的，an=，d=.an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b為常數(shù)am+(n-m)d2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn

=

=

.第1頁(yè)/共54頁(yè)復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2頁(yè)/共54頁(yè)1、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系：例1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？第3頁(yè)/共54頁(yè)分析：所以當(dāng)n>1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式。

因而，數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。

第4頁(yè)/共54頁(yè)注：由上例得Sn與之間的關(guān)系：

由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，

第5頁(yè)/共54頁(yè)新課1第6頁(yè)/共54頁(yè)第7頁(yè)/共54頁(yè)探究：如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？分析：由，得令p+q+r=2p–(p+q)，得r=0。

==所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，第8頁(yè)/共54頁(yè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題一、第9頁(yè)/共54頁(yè)例題：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n的值。分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題第10頁(yè)/共54頁(yè)第11頁(yè)/共54頁(yè)1：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，（1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有（2）求此數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值練習(xí)：第12頁(yè)/共54頁(yè)小結(jié)：{an}為等差數(shù)列，求Sn的最值。第13頁(yè)/共54頁(yè)已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.7n113Sn能力提升第14頁(yè)/共54頁(yè)已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第15頁(yè)/共54頁(yè)已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為7n113Sn第16頁(yè)/共54頁(yè)練習(xí)1:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C練習(xí)2:等差數(shù)列｛

an｝中，

，則前n項(xiàng)和取最大值時(shí)，n為（）A．6 ； B．7；C．6或7；D．以上都不對(duì)；C第17頁(yè)/共54頁(yè)1、數(shù)列{an}是等差數(shù)列，作業(yè)第18頁(yè)/共54頁(yè)新課2第19頁(yè)/共54頁(yè)性質(zhì)1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)2:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=0－(m+p)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)3:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則第20頁(yè)/共54頁(yè)例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例2.一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為100,前100項(xiàng)的和為10,則它的前110項(xiàng)的和為

.－110例3.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.10第21頁(yè)/共54頁(yè)例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且求和.第22頁(yè)/共54頁(yè)課堂練習(xí)2.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn,且第23頁(yè)/共54頁(yè)練習(xí)第24頁(yè)/共54頁(yè)解:

練習(xí)第25頁(yè)/共54頁(yè)第26頁(yè)/共54頁(yè)作業(yè)第46頁(yè)課本習(xí)題A組第4,5題第27頁(yè)/共54頁(yè)新課3第28頁(yè)/共54頁(yè)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,n2dnd等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)第29頁(yè)/共54頁(yè)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=

,性質(zhì)5:

為等差數(shù)列.an第30頁(yè)/共54頁(yè)例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A例1.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為

.5第31頁(yè)/共54頁(yè)第32頁(yè)/共54頁(yè)新課4第33頁(yè)/共54頁(yè)例3.設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.153等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用第34頁(yè)/共54頁(yè)第35頁(yè)/共54頁(yè)例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項(xiàng),并說(shuō)明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)第36頁(yè)/共54頁(yè)(2)∵∴Sn圖象的對(duì)稱(chēng)軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時(shí)Sn有最大值.∴Sn有最大值.第37頁(yè)/共54頁(yè)作業(yè)求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.第38頁(yè)/共54頁(yè)作業(yè)1、已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使得Sn最大的序號(hào)n的值.2：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項(xiàng)和.（1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第39頁(yè)/共54頁(yè)課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.第40頁(yè)/共54頁(yè)3.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)第41頁(yè)/共54頁(yè)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項(xiàng)),

此時(shí)有:S偶－S奇=

,兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)6:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項(xiàng)的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)5:為等差數(shù)列.an第42頁(yè)/共54頁(yè)新課5第43頁(yè)/共54頁(yè)倒序法求和倒序相加法：將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。第44頁(yè)/共54頁(yè)倒序法求和例1.若，則的值為

。

【解析】∵∴

∴第45頁(yè)/共54頁(yè)裂項(xiàng)法求和所謂”裂項(xiàng)法”就是把數(shù)列的各項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差,相鄰的兩項(xiàng)彼此相消,就可以化簡(jiǎn)后求和.一些常用的裂項(xiàng)公