2023年山西省長治市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2023年山西省長治市普通高校對口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

2.

3.

4.鑒別的方法主要有查證法、比較法、佐證法、邏輯法。其中（）是指通過尋找物證、人證來驗證信息的可靠程度的方法。

A.查證法B.比較法C.佐證法D.邏輯法

5.若收斂，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.

8.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.A.

B.

C.

D.

9.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設(shè)法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

10.

11.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

12.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

13.（）。A.收斂且和為0

B.收斂且和為α

C.收斂且和為α-α1

D.發(fā)散

14.

15.設(shè)f(xo)=0，f(xo)<0，則下列結(jié)論中必定正確的是

A.xo為f(x)的極大值點

B.xo為f(x)的極小值點

C.xo不為f(x)的極值點

D.xo可能不為f(x)的極值點

16.

17.

18.

19.設(shè)y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

20.

二、填空題(20題)21.已知平面π：2x+y一3z+2=0，則過原點且與π垂直的直線方程為________．22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.設(shè)y=y(x)由方程x2+xy2+2y=1確定，則dy=______．30.若當(dāng)x→0時，2x2與為等價無窮小，則a=______．31.32.______。

33.

34.如果函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

35.36.________。

37.

38.

39.40.三、計算題(20題)41.42.證明：43.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．45.

46.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

47.

48.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．49.

50.當(dāng)x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則51.求微分方程的通解．52.53.54.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．55.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

56.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

57.求曲線在點(1，3)處的切線方程．58.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

59.

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答題(10題)61.求微分方程y"+4y=e2x的通解。

62.63.求在區(qū)間[0，π]上由曲線y=sinx與y=0所圍成的圖形的面積A及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。64.求由曲線y=x2(x≥0)，直線y=1及Y軸圍成的平面圖形的面積·

65.

66.

67.

68.69.

70.

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品利潤L(x)=5000+x一0．0001x2百元[單位：件]，問生產(chǎn)多少件時利潤最大，最大利潤是多少?

六、解答題(0題)72.設(shè)y=xsinx，求y'。

參考答案

1.A

2.D解析：

3.A解析：

4.C解析：佐證法是指通過尋找物證、人證來驗證信息的可靠程度的方法。

5.D本題考查的知識點為級數(shù)的基本性質(zhì)．

由級數(shù)收斂的必要條件：若收斂，則必有，可知D正確．而A，B，C都不正確．

本題常有考生選取C，這是由于考生將級數(shù)收斂的定義存在，其中誤認(rèn)作是un，這屬于概念不清楚而導(dǎo)致的錯誤．

6.B

7.D

8.B本題考查的知識點為：若f(x)可積分，則定積分的值為常數(shù)；可變上限積分求導(dǎo)公式的運用．

注意到A左端為定積分，定積分存在時，其值一定為常數(shù)，常量的導(dǎo)數(shù)等于零．因此A不正確．

由可變上限積分求導(dǎo)公式可知B正確．C、D都不正確．

9.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

10.D

11.C本題考查的知識點為不定積分的性質(zhì)．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導(dǎo)．若設(shè)g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導(dǎo)，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應(yīng)選C．

12.C由可變上限積分求導(dǎo)公式有，因此選C．

13.C

14.B

15.A

16.B

17.C

18.D

19.A

20.B

21.

本題考查的知識點為直線方程和直線與平面的關(guān)系．

由于平面π與直線1垂直，則直線的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

22.(2x+cosx)dx．

本題考查的知識點為微分運算．

23.

24.

25.

26.-1本題考查了利用導(dǎo)數(shù)定義求極限的知識點。

27.

解析：

28.

29.

；30.6；本題考查的知識點為無窮小階的比較．

當(dāng)于當(dāng)x→0時，2x2與為等價無窮小，因此

可知a=6．31.x-arctanx+C；本題考查的知識點為不定積分的運算．

32.本題考查的知識點為極限運算。

所求極限的表達(dá)式為分式，其分母的極限不為零。

因此

33.-2y-2y解析：

34.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。35.1．

本題考查的知識點為反常積分，應(yīng)依反常積分定義求解．

36.

37.

38.2

39.1本題考查了無窮積分的知識點。

40.

41.

42.

43.由二重積分物理意義知

44.

45.

則

46.

47.

48.

49.由一階線性微分方程通解公式有

50.由等價無窮小量的定義可知

51.

52.

53.

54.函數(shù)的定義域為

注意

55.

列表：

說明

56.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％57.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

58.

59.

60.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

61.62.解如圖所示，將積分區(qū)域D視作y-型區(qū)域，即

63.64.y=x2(x≥0)，y=1及y軸圍成的平面圖形D如圖3—1所示．其面積為

65.

66.

67.

68.

69.本題考查的知識點為二重積分的計算(極坐標(biāo)系)．

利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

0≤0≤π，0≤r≤2，

如果積分區(qū)域為圓域或圓的－部分，被積函數(shù)為f(x2＋y2)的二重積分，通常利用極坐標(biāo)計算較方便．

使用極坐標(biāo)計算二重積分時，要先將區(qū)域D的邊界曲線化為極坐標(biāo)下的方程表示，以確定出區(qū)域D的不等式表示式，再將積分化為二次積分．

本題考生中常見的錯誤為：

被積函數(shù)中丟掉了r．這是將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二次積分時常見的錯誤，考生務(wù)必要注意．

70.

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""(x)=一0．0002<0∴x=5000取極大值L(5000)=7500答：生產(chǎn)5000件時利潤最大最大利潤是7500(百元)。L(x)=5000