分組分解法因式分解

分組分解法(第二教時)分組分解法(第二教時)(一)復(fù)習(xí)(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)把下列多項式因式分解(1)2x(2)a(m+n)+b(m+n)

(4)(x+y)2-2(x+y)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(二)新課講解1.引入提問：如何將多項式am+an+bm+bn因式分解？分析：很顯然，多項式am+an+bm+bn中既沒有公因式，也不好用公式法。怎么辦呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).這樣就有:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。說明：如果把一個多項式的項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。練習(xí)：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y(2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b(4)2m-2n-4x(m-n)2．應(yīng)用舉例例1.把a(bǔ)2-ab+ac-bc分解因式分析:把這個多項式的四個項按前兩項與后兩項分成兩組，分別提出公因式a與c后，另一個因式正好都是a-b,這樣就可以繼續(xù)提公因式。解：a2—ab+ac—bc=(a2-ab)+(ac—bc)=a(a—b)+c(a—b)=(a—b)(a+c)例2：把2axT0ay+5by-bx分解因式分析：把這個多項式的四個項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按x的降冪排列，然后從兩組中分別提出公因式2a與-b,這時另一個因式正好都是x-5y,這樣就可繼續(xù)提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提問：這兩個例題還有沒有其他分組解法？請你試一試。如果能,請你看一下結(jié)果是否相同？練習(xí)：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b(2)a2+2ab-ac-2bc(3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3(6)2ax+6bx+5ay+15by(7)mn+m-n-1(8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx(10)x2-2bx-ax+2ab(11)ma2+na2-mb2-nb2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1．3．5．7．9．11.13.15.a(m＋n)－b(m＋n)n(x＋y)＋x＋yp(m－n)－m＋na2＋ac－ab－bc2x3－x2＋6x－3xy＋x－y－1x3－2x2y－4xy2＋8y4x3＋4x2y－9xy2－9y2.4.6.8.10.12.14.16.xy(a－b)＋x(a－b)a－b－q(a－b)2a－4b－m(a－2b)3a－6b－ax＋2bx2ax＋6bx＋7ay＋21byax2＋bx2－ay2－by23m－3y－ma＋ayx3y－3x2－2x2y2＋6xy分組分解法(第三教時)分組分解法(第三教時)(一)復(fù)習(xí)1．提問：什么是分組分解法？分組時有什么要求？2．用分組分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4(二)新課講解1．例題分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上節(jié)課一樣，分別把前后兩項分別分成兩組，則無法繼續(xù)分解，但把一、三兩項和二、四兩項分別分成兩組，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交換律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分組=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b)練習(xí):用分組分解法因式分解：再提公因式(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后兩項分別分成兩組，雖然后兩項有公因式，但前后兩組之間卻沒有公因式，不好繼續(xù)分解。如果把一、四兩項和二、三兩項分成兩組，就可以繼續(xù)分解了。解：m2+5n-mn—5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(3)x2+yz-xy-xz(5)5am+b-a-5bm(2)5ax2-b2-b2x+5ax(4)4x2+3z-3xz-4x(6)x2-yz+xy-xz四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1．mn＋m－n－13．m3－m2＋m－15．a(chǎn)2－2b＋ab－2a7．xy－z＋y－xz9．mx3－mx2－mx＋m2．3mx＋4ny＋4my＋3nx4．m3＋m2－m－16．a(chǎn)x＋by＋ay＋bx8．a(chǎn)2x＋by－ay－abx10．a(chǎn)2b－a2c＋a3－abc(一)復(fù)習(xí)分組分解法(第四教時)分組分解法(第四教時)(3)a2(3)a2-2ab+b2=例5：把x2-y2+ax+ay分解因式1．什么是分組分解法？2．把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd(3)5ax+6by+10ay+3bx3.填空⑴a2-b2二(二)新課講解1．例題與練習(xí)(2)ay2-ax+bx-by2(4)5x2+7a-7ax-5x(2)a2+2ab+b2= 分析：顯然無論如何分組都無法用前面的知識來分解，是不是無法分解呢？不是。由于第一、二兩項滿足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四兩項有公因式a,而ax+ay=a(x+y).這時可以看出(x+y)(x-y)與a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a(bǔ)2-2ab+b2-c2分解因式分析：用剛才的方法不能見效。我們發(fā)現(xiàn)a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此時，原式就變?yōu)?a-b)2-C2,再用平方差公式。分組運用完全平方公式運用平方差公式解：a2-2ab+b2—c2=(a2-2ab+b2分組運用完全平方公式運用平方差公式=(a-b)2-c2=[(a-b)+c][(a-b)-c]=(a-b+c)(a-b-c)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1.4x2－y2－4x＋2y2.b2－a2＋ax＋bx3.m－2n＋m2－4n24.p＋3q－9q2＋p25.s2－t2＋3s－3t6.x2－2x＋2y－y27.4a2－b2－2a－b8.9a2－6a＋2b－b29.x2－2x＋1－y210.m2＋2mn＋n2－p211.4x2－4xy＋y2－16z212.a2－b2－2bc－c213.x2－4y2＋4y－114.x2－y2－z2－2yz(一)復(fù)習(xí)把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2(4)a2-b2+2bc-c2提問：什么樣的多項式可以用分組后運用公式法？(二)新課講解1．例題與練習(xí)例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第(1)題分好的兩組中，雖然第一組可用平方差公式，但與第二組卻無公因式，因此無法分解。如果將括號去掉，再重新分組，得x2-(4y2-4y+1)，此題可用分組后直接用公式法分解因式。在第(2)題中，先用平方差公式分解，再用分組分解法。注意：必須進(jìn)行到每一個多項式因式不能再分解為止。解：⑴(x2-4y2)+(4y-1)=x2-4y2+4y-1=x2-(4y2-4y+1)=x2—(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2+2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)(2ab-a2)+(c2-b2) (2)(ax+by)2+(bx-ay)24a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多項式分解因式x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2分組分別提公因式提公因式運用平方差公式相同因式寫成冪的形式先提公因式分組運用完全平方公式解：⑴x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)(x分組分別提公因式提公因式運用平方差公式相同因式寫成冪的形式先提公因式分組運用完全平方公式提問：還有其他解法嗎？a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2)=a[a2-(b2-4bc+4c2)]=a[a2-(b-2c)2]=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)]運用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理練習(xí)：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13．作業(yè)：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1(2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1.3ax+5ay—6bx—10by2.a2—b2—4a—4b3.m2—4mn＋4n2—44.4—x2—2xy—y25.ax2—ay2＋a2x—a2y6.a3＋2a2b＋ab2—a7.a2b2—a2—2ab—b28.x3—x2y＋xy2—y39.(ax—by)2＋(bx＋ay)210．(m2－4n2)＋(4n－1)11．(a2—m2—n2)2—4m2n2分組分解法(第五教時)(一)復(fù)習(xí).什么是分組分解法？怎樣才是正確的分組？.把下列多項式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq(二)新課講解.引入(1)把x2+(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已學(xué)的知識來分解因式，可以把式子展開為x2+px+qx+pq。這時，可以用分組分解法。x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我們知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(2)特點式子x2+(p+q)x+pq的特點為：(1)二次項的系數(shù)是1。(2)常數(shù)項是兩個數(shù)之積。(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和。說明：根據(jù)上面的結(jié)果，可以直接將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式。.應(yīng)用舉例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15分析：(1)x2+3x+2的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項2=1X2,一次項系數(shù)3=1+2。這是一個x2+(p+q)x+pq型式子。(2)x2-7x+6的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項6=(-1)X(-6),一次項系數(shù)-7=(-1)+(-6)。這也是一個x2+(p+q)x+pq型式子。x2+x-2的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項-2=(-1)X2,一次項系數(shù)1=(-1)+2。這也是一個x2+(p+q)x+pq型式子。

x2-2x-15的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項-15=(-5)X3,一次項系數(shù)-2=(-5)+3,這也是一個x2+(p+q)x+pq型式子。解：(1)因為2=1X2,并且3=1+2,所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2)因為6=(-1)X(-6),并且-7=(-1)+(-6),所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)(3)因為-2=(-1)X2,并且1=(-1)+2,所以x2+x-2=(x-1)(x+2)(4)因為-15=(-5)X3,并且-2=(-