初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專題一數(shù)及式的運(yùn)算

jz*jz*初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專題〔一〕★專題一數(shù)與式的運(yùn)算【要點(diǎn)回憶】1．絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義:.即Ia1=.絕對(duì)值的幾何意義：的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：|a-b表示的距離.兩個(gè)絕對(duì)值不等式：丨xI<a(a>0)o；Ixl>a(a>0)o2．乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式平方差公式:；完全平方和公式:；完全平方差公式:．我們還可以通過(guò)證明得到以下一些乘法公式:[^^式1](a+b+c)[公式3]=a[公式3]=a3-b3(立方差公式)說(shuō)明:上述公式均稱為“乘法公式"?根式式子「萬(wàn)(a>0)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：ba=?平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做a的平方根，記作x=±冷萬(wàn)(a>0)，其中、'萬(wàn)(a>0)叫做a的算術(shù)平方根.[公式2]⑴(討‘a(chǎn))2=;(2)va2=[公式2]⑴(討‘a(chǎn))2=;(2)va2=;(3)\ab=;(4)2〕．BB2mn+p說(shuō)明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1)利用除法法那么；(2)利用分式的根本性質(zhì).有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程【例題選講】例1解以下不等式：〔例1解以下不等式：〔1〕X-2<1〔2〕x—1+X—3>4.例2計(jì)算：例2計(jì)算：〔1〕(x2—2x+—)2⑵(-m—-n)(丄m2+—mn+-n2)5225104〔3〔3〕(a+2)(a—2)(a4+4a2+16)4〕(x2+2xy+y2)(x2一xy+y2)21求x3+的值.x3例4a+b+c=0，求a(—+)+b(—+)+c(—+)的值.bccaab例5計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：1〕〔2〕\：'(1—x例5計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：1〕〔2〕\：'(1—x)2+￡(2—x)2(x>1)3〕4〕x3+例62+石_2-羽2-府y~2+爲(wèi)，求x3+y3的值．例7化簡(jiǎn)：〔1例62+石_2-羽2-府y~2+爲(wèi)，求x3+y3的值．例7化簡(jiǎn)：〔1〕x2+3x+96x2x2—27+9x—x26+2x1〕解法一：原式=x(x+1)x+12〕1—xx+x2—1解法二：原式=解：原式=x+(1—x)?x(x+1)(x—1)x+(1—x)-x(x—丄)-xxx+x2—1x2+3x+96xxx—

x+1xx—x+1x2x+1x(x+1)x2+x-x+(x—3)(x2+3x+9)x(9—x2)2(3+x)x—3(x+3)(x—3)2(x—3)_2(x+3)—12—(x—1)(x—3)_—(x—3)2_3—x-2(x+3)(x—3)-2(x+3)(x—3)一2(x+3)說(shuō)明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)展，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)展約分化簡(jiǎn)(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式穩(wěn)固練習(xí)】1.解不等式x+3+x—2<711x2+xy+y22．設(shè)x二K'y=73正，求代數(shù)式2．3.當(dāng)3a2+ab—2b2=0(a豐0,b豐0)aba2+b2求b—a的值.4．求x4+x2+2x—1的值.5.計(jì)算(x+y+z)(—x+y+z)(x—y+z)(x+y—z)6.化簡(jiǎn)或計(jì)算：⑴皿—胡J)￥(3)xw'x+xjyx+\：'xy+yxy—y2xx—yy(4)Qa+b—'.'ab、：a+、；'bax.ab+ba+b)<ab?各專題參考答案?專題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案例1〔1〕解法1:由x—2—0，得x=2;①假設(shè)x>2,不等式可變?yōu)閄-2<1，即x<3；②假設(shè)x<2,不等式可變?yōu)?(X-2)<1,即—x+2<1,解得：x>1?綜上所述，原不等式的解為1<x<3.解法2：為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為解法2：為x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為x的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為1<x<3．解法3x—2<1o—1<x—2<1o1<x<3，所以原不等式的解為1<x<3.〔2]解法一：由x一1—0，得x二1；由x一3二0，得x二3；①假設(shè)x<1，不等式可變?yōu)橐?x-1)一(x-3)>4，即一2x+4>4,解得xVO,又xV1,「.xV0;②假設(shè)1Wx<2，不等式可變?yōu)?x一1)-(x-3)>4，即1>4,二不存在滿足條件的x;③假設(shè)x>3，不等式可變?yōu)?x-1)+(x-3)>4，即2x-4>4,解得x>4.又x》3,「.x>4.綜上所述，原不等式的解為xVO,或x>4.lx；31解法二：如圖，x—1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|,即|PA|=|x—1|;|x—3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PBlx；31所以，不等式|x-1|+|x->4的幾何意義即為|PA|+|PB|>4.由|AB|=2PCA可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè).x_0_1所以原不等式的解為xVO,或x>4.lx-1l例2〔1〕解:原式=[x2+(—2x)+3〕2=(x2)2+(—、:2x)2+(3)2+2x2(—\;2)x+2x2x3+2x3x(—--J2x)

TOC\o"1-5"\h\z82邁1=x4―2\：2x3+x2―x+—339說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列．〔2〕原式=(丄m)3一(丄n)3=—m3一1n521258〔3〕原式=(a2一4)(a4+4a2+42)=(a2)3一43=a6一64〔4〕原式二(x+y)2(x2一xy+y2)2=[(x+y)(x2一xy+y2)]2=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6例3解：x2一3x=1=0x豐0x+—=3x原式二(x+—)(x2—1+丄)=(x+—)[(x+—)2—3]=3(32—3)=18TOC\o"1-5"\h\zxx2xx例4解:a+b+c=0,.a+b=一c,b+c=—a,c+a=—bb+c7a+ca+ba(—a)b(-b)c(—c)a2+b2+c2???原式=a-+b-+c?=++=-①bcacabbcacababca3+b3=(a+b)[(a+b)2一3ab]=—c(c2一3ab)=—c3+3abc3abcca3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=—=—3abc例5解：〔1〕原式=3(2一同=竺二③=6—3爲(wèi)(2+73)(2-73)22—3〔2〕原式=Ix—II+1x—21=(x—1)+〔2〕原式=Ix—II+1x—21=(x—1)—(x—2)=1(1<x<2)說(shuō)明：注意性質(zhì)、.；a2=IaI的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的X圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類討論.,a+bJa2,a+bJa2b+ab2原式二-ab-一2x原式二2x-x2+x22x二—xjx+2jSx=3J2T—xjx2x2x=2+'3=(2+"3"=7+4；3,y=7—4、.：3—x+y=14,xy=12一梟22—3原式二(x+y)(x2一xy+y2)=(x+y)[(x+y)2一3xy]=14(142一3)=2702說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點(diǎn)倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量．【穩(wěn)固練習(xí)】ab4〕例6解：4.34.3-、再1.一4VxV32.一33.一3或265.—x4一y4一z4+2x2y2+2x2z2+2y2z263y[3]立方根的概念：叫做a的