高等數(shù)學(xué)第五周講義商學(xué)院

第二章導(dǎo)數(shù)與微分11第一章小結(jié)及習(xí)題選講1、注意：求極限時(shí)注意分辨變量一、極限定義、判定及求法第二章導(dǎo)數(shù)與微分22辨析3、如判斷：函數(shù)是否無界，是否為x趨于正無窮大時(shí)的無窮大量。1.是否存在?為什么?問2.若為無窮小，存在，問是否為無窮小。第二章導(dǎo)數(shù)與微分33又如：第二章導(dǎo)數(shù)與微分44如何判斷函數(shù)在某點(diǎn)極限是否存在、是否連續(xù)利用定義、或利用左右極限是否存在且相等證明函數(shù)在某點(diǎn)是否存在極限；證明其是否左右連續(xù)證明是否連續(xù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分55二、掌握求極限的常用方法法1、用極限的四則運(yùn)算法則求。第二章導(dǎo)數(shù)與微分66用初等方法變形后用法則求。（因式分解、分子或分母有理化、約分等）第二章導(dǎo)數(shù)與微分77常見的等價(jià)無窮小：法2、用等價(jià)無窮小替換求極限第二章導(dǎo)數(shù)與微分88求極限：第二章導(dǎo)數(shù)與微分99法3、用換元求極限(1)(2)(3)第二章導(dǎo)數(shù)與微分1010法4、用極限存在準(zhǔn)則求（2）求數(shù)列的極限。（1）證明：第二章導(dǎo)數(shù)與微分1111三、函數(shù)是否連續(xù)的判斷，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)（間斷點(diǎn)的來源：函數(shù)無定義的點(diǎn)、分段函數(shù)的分界點(diǎn)。的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判別其類型。如討論函數(shù)如：判斷x=0是什么類型的間斷點(diǎn)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分1212四、利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論方程的根。習(xí)題1-10：1第二章導(dǎo)數(shù)與微分131313課后作業(yè)：習(xí)題1-7：p59：2、3、4（1，3）習(xí)題1-9：p69：1、4（1，2、3、4）、6習(xí)題1-10：p74：2第二章導(dǎo)數(shù)與微分14第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

第二章導(dǎo)數(shù)與微分15

引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)物體位移與時(shí)間的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為求此物體在t0時(shí)刻的速度。第二章導(dǎo)數(shù)與微分162.曲線在某點(diǎn)的切線割線MN

的斜率曲線在x0的切線斜率第二章導(dǎo)數(shù)與微分17屬同類數(shù)學(xué)問題瞬時(shí)速度切線斜率第二章導(dǎo)數(shù)與微分18二、函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)定義.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,

在點(diǎn)處可導(dǎo),

在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).第二章導(dǎo)數(shù)與微分19若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若稱在就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大.第二章導(dǎo)數(shù)與微分20在時(shí)刻的瞬時(shí)速度：位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率：曲線在M處的導(dǎo)數(shù)引例問題的解：導(dǎo)數(shù)就是一種特殊類型的極限。第二章導(dǎo)數(shù)與微分21例1：求函數(shù)y=x2+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)。解：函數(shù)的增量：第二章導(dǎo)數(shù)與微分22在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)定義

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,第二章導(dǎo)數(shù)與微分23定理.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為可導(dǎo)的充分必要條件是例.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).

第二章導(dǎo)數(shù)與微分24

函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理.證:設(shè)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo),存在,所以函數(shù)在點(diǎn)x0

連續(xù).注意:

若函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即第二章導(dǎo)數(shù)與微分25在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.

函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)第二章導(dǎo)數(shù)與微分26若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)自變量與導(dǎo)數(shù)值之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為導(dǎo)函數(shù).記作:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).

開區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（或簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）第二章導(dǎo)數(shù)與微分27函數(shù)在閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)在相應(yīng)的開區(qū)間上可導(dǎo)，且在端點(diǎn)處有單側(cè)導(dǎo)數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分28基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分29第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則

第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分30一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且第二章導(dǎo)數(shù)與微分31此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證:

設(shè),則故結(jié)論成立.例如,第二章導(dǎo)數(shù)與微分32(2)證:

設(shè)故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù)

)第二章導(dǎo)數(shù)與微分33(3)證:

設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù)

)第二章導(dǎo)數(shù)與微分34求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：第二章導(dǎo)數(shù)與微分35例2.

求證證:類似可證:第二章導(dǎo)數(shù)與微分36二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理.y的某鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo),

證:在

x

處的增量由反函數(shù)的單調(diào)性知由于函數(shù)與反函數(shù)都連續(xù)，所以因此第二章導(dǎo)數(shù)與微分37例.求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得,則第二章導(dǎo)數(shù)與微分38基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分39在點(diǎn)x

可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),鏈?zhǔn)椒▌t第二章導(dǎo)數(shù)與微分40例：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分41例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，并注意是對(duì)中間變量求導(dǎo)。推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.第二章導(dǎo)數(shù)與微分42例.設(shè)求第二章導(dǎo)數(shù)與微分43課后作業(yè)習(xí)題2-1，P86:4、5、9（奇數(shù)題）、18、19P97:2（偶數(shù)題）、3、6（偶數(shù)題）、7（偶數(shù)題）、8（偶數(shù)題）、11（偶數(shù)題）第二章導(dǎo)數(shù)與微分44定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n

階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù)

,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱第三節(jié)、高階導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分45求的各階導(dǎo)數(shù)。求的各階導(dǎo)數(shù)。求的各階導(dǎo)數(shù)。求的各階導(dǎo)數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分46第四節(jié)隱函數(shù)和參變量函數(shù)求導(dǎo)

第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分47一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此（1）隱函數(shù)與顯函數(shù)的概念。第二章導(dǎo)數(shù)與微分48（2）隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)。

兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)(解含導(dǎo)數(shù)的方程)第二章導(dǎo)數(shù)與微分49例.

求由方程的導(dǎo)數(shù)，并求在x=0處的導(dǎo)數(shù)值。解:

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分50求由方程確定的函數(shù)y=y(x)、函數(shù)x=x(y)的導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分51例.求的導(dǎo)數(shù).

解:兩邊取對(duì)數(shù),兩邊對(duì)x

求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)法在顯函數(shù)上的應(yīng)用：取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。第二章導(dǎo)數(shù)與微分52法1、用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求:冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法。法2、直接變形法求導(dǎo)第二章導(dǎo)數(shù)與微分53例,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)

x求導(dǎo)可用于取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的情況：第二章導(dǎo)數(shù)與微分54求函數(shù)：的導(dǎo)數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分55隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)法1、先兩邊求導(dǎo)解出一階導(dǎo)，再對(duì)一階求導(dǎo)得二階、對(duì)二階求導(dǎo)得三階，類推法2、先兩邊求導(dǎo)解出一階導(dǎo)，再對(duì)求好一次導(dǎo)以后的方程再求一次導(dǎo)，將一階代入得二階導(dǎo)，類推。第二章導(dǎo)數(shù)與微分56求由方程確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分57二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程：可以確定y

與

x之間的函數(shù)關(guān)系第二章導(dǎo)數(shù)與微分58由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)

y

與

x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)x看成是

y的函數(shù))關(guān)系,第二章導(dǎo)數(shù)與微分59例7：設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程：所確定，求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第二章導(dǎo)數(shù)與微分60二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).若參數(shù)方程中第二章導(dǎo)數(shù)與微分61例.

設(shè)由方程確定函數(shù)求第二章導(dǎo)數(shù)與微分62課后作業(yè)P103:1（奇數(shù)題）、3P111:1、3[2、4]、4、5第二章導(dǎo)數(shù)與微分63第五節(jié)微分

第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分64一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?

變到邊長(zhǎng)由其主要部分可忽略部分第二章導(dǎo)數(shù)與微分65故稱為函數(shù)在的微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分66的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即在點(diǎn)可微,微分就是函數(shù)增量的線性主要部分例：若x=1，Δx=0.1,0.05時(shí)，對(duì)于y=x2，dy分別是多少？第二章導(dǎo)數(shù)與微分67定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo)，且微分的求法第二章導(dǎo)數(shù)與微分68“充分性”已知即在點(diǎn)可導(dǎo),則第二章導(dǎo)數(shù)與微分69求函數(shù)y=x在任意一點(diǎn)處的微分從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商第二章導(dǎo)數(shù)與微分70例如,又如,第二章導(dǎo)數(shù)與微分71二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))第二章