2023年陜西省渭南市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版)

第19頁〔共19頁〕2023年陜西省渭南市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科〕一、選擇題1．復(fù)數(shù)z=，那么=〔〕A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i2．假設(shè)集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|〔x﹣2〕〔x+1〕＞0}，那么A∩B=〔〕A．〔2，3] B．[2，3] C．〔﹣∞，0〕∪〔0，2] D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，3]3．“x≥1〞是“l(fā)gx≥0〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，那么這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{an}，那么a10的值為〔〕A．45 B．55 C．65 D．665．雙曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么雙曲線的漸近線方程為〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．假設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=2an〔an≠0，n∈N*〕，且a3與a5的等差中項是10，那么a1+a2+…+an等于〔〕A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣17．執(zhí)行如下圖的程序框圖，那么輸出的s的值是〔〕A．7 B．6 C．5 D．38．某長方體的三視圖如圖，長度為的體對角線在主視圖中的投影長度為，在左視圖中的投影長度為，那么該長方體的體積為〔〕A．3+2 B．2 C．6+4 D．109．函數(shù)y=2x﹣x2的圖象大致是〔〕A． B． C． D．10．下面四個命題中的真命題是〔〕A．命題“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0〞的否認(rèn)是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0〞B．命題“假設(shè)x2=1，那么x=1〞的否命題為“假設(shè)x2=1，那么x≠1〞C．采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同學(xué)參加活動，學(xué)號為5、16、27、38、49的同學(xué)均被選出，那么該班人數(shù)可能為60D．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N〔1，σ2〕〔σ＞0〕，假設(shè)X在〔0，1〕內(nèi)取值的概率為0.3，那么X在〔0，2〕內(nèi)取值的概率為0.611．=〔cos2x，﹣1〕，=〔1，sin2x+sin2x〕〔x∈R〕，假設(shè)f〔x〕=?，那么函數(shù)f〔x〕的最小值為〔〕A．﹣2 B．0 C．﹣ D．﹣112．在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E為CD的中點．假設(shè)，那么AB的長為〔〕A． B． C． D．1二、填空題13．拋物線y=x2，那么其準(zhǔn)線方程是．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，假設(shè)M〔x，y〕為D上的動點，點A的坐標(biāo)為〔2，1〕，那么的最大值為．15．f〔x〕=x+在區(qū)間[1，4]上的最小值為n，那么二項式〔x﹣〕n展開式中x2的系數(shù)為．16．函數(shù)y=f〔x〕為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有f〔1+x〕=﹣f〔1﹣x〕．當(dāng)x∈〔2，3〕時，f〔x〕=log2〔x﹣1〕，給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于點〔k，0〕〔k∈Z〕成中心對稱；②函數(shù)y=|f〔x〕|是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)x∈〔﹣1，0〕時，f〔x〕=﹣log2〔1﹣x〕；④函數(shù)y=f〔|x|〕在〔k，k+1〕〔k∈Z〕上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號為．三、解答題17．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且=〔b，﹣a〕，=〔sinA，cosB〕，⊥．〔1〕求角B的大小；〔2〕假設(shè)b=3，c=2a，求a，c的值．18．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．〔Ⅰ〕求證：AA1⊥BC；〔Ⅱ〕求平面CA1B1與平面A1B1C1的夾角的大?。?9．私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行〞的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表：年齡〔歲〕[15，25〕[25，35〕[35，45〕[45，55〕[55，65〕[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634〔Ⅰ〕完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；〔Ⅱ〕假設(shè)從年齡在[55，65〕，的被調(diào)查者中各隨機選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的2人中贊成“車輛限行〞的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．橢圓C：〔a＞b＞0〕，其焦距為2，點P〔1，〕在橢圓C上．〔Ⅰ〕求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=mx+t〔m∈R〕，使得?=0成立？假設(shè)存在，求出實數(shù)t的取值范圍，假設(shè)不存在，請說明理由．21．函數(shù)f〔x〕=lnx﹣x﹣3．〔Ⅰ〕求函數(shù)f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕求證：ln〔22+1〕+ln〔32+1〕+ln〔42+1〕+…ln〔n2+1〕＜1+2lnn!〔n≥2，n∈N*〕請考生在22、23兩題中任選一題作答，[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是〔t是參數(shù)〕，以原點O為極點，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p=cos〔θ+〕．〔Ⅰ〕求圓心C的直角坐標(biāo)方程；〔Ⅱ〕由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．[選修4-5：不等式選講]23．函數(shù)f〔x〕=|x﹣1|．〔Ⅰ〕解不等式f〔x〕≥1；〔Ⅱ〕存在實數(shù)x，使不等式f〔x〕+|x+2|﹣m≤0有解，求實數(shù)m的取值范圍．2023年陜西省渭南市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題1．復(fù)數(shù)z=，那么=〔〕A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z，那么可求．【解答】解：z==，那么=﹣i．應(yīng)選：B．2．假設(shè)集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|〔x﹣2〕〔x+1〕＞0}，那么A∩B=〔〕A．〔2，3] B．[2，3] C．〔﹣∞，0〕∪〔0，2] D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，3]【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求出集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={x|1≤2x≤8}={x|0≤x≤3}，B={x|〔x﹣2〕〔x+1〕＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，那么A∩B={x|2＜x≤3}=〔2，3]．應(yīng)選：A．3．“x≥1〞是“l(fā)gx≥0〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】lgx≥0?x≥1．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：lgx≥0?x≥1．∴“x≥1〞是“l(fā)gx≥0〞的充要條件．應(yīng)選：C．4．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)，由以上規(guī)律，那么這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{an}，那么a10的值為〔〕A．45 B．55 C．65 D．66【考點】歸納推理．【分析】根據(jù)中第1個圖中黑點有1個，第2個圖中黑點有1+2個，第3個圖中黑點有1+2+3個，第4個圖中黑點有1+2+3+4個，…歸納可得第n個圖中黑點有1+2+3+…+n個，可得結(jié)論．【解答】解：由中：第1個圖中黑點有1個，第2個圖中黑點有3=1+2個，第3個圖中黑點有6=1+2+3個，第4個圖中黑點有10=1+2+3+4個，…故第10個圖中黑點有a10=1+2+3+…+10==55個，應(yīng)選B．5．雙曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，那么雙曲線的漸近線方程為〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可得=，從而可得=2，直接寫出漸近線方程即可．【解答】解：∵雙曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的離心率為，∴=，∴=2，∴雙曲線的漸近線方程為y=±2x，應(yīng)選D．6．假設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=2an〔an≠0，n∈N*〕，且a3與a5的等差中項是10，那么a1+a2+…+an等于〔〕A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】判斷數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，列方程，解方程求出首項，然后運用等比數(shù)列的求和公式即可．【解答】解：數(shù)列{an}滿足an+1=2an〔an≠0，n∈N*〕，可知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，a3與a5的等差中項是10，可得a3+a5=20，a3〔1+q2〕=20，解得a3=4，a1=1．那么a1+a2+…+an==2n﹣1．應(yīng)選：B．7．執(zhí)行如下圖的程序框圖，那么輸出的s的值是〔〕A．7 B．6 C．5 D．3【考點】程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運行過程，根據(jù)流程圖所示的順序，可知該程序的作用是累加并輸出S＞5時的值．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=1+02+12+22+…+〔k﹣1〕2的值S=1+02+12+22=6＞5輸出S=6．應(yīng)選：B8．某長方體的三視圖如圖，長度為的體對角線在主視圖中的投影長度為，在左視圖中的投影長度為，那么該長方體的體積為〔〕A．3+2 B．2 C．6+4 D．10【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】設(shè)長方體的長，寬，高分別為a，b，c．由題意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，聯(lián)立解出即可得出．【解答】解：設(shè)長方體的長，寬，高分別為a，b，c．由題意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，解得c=1，b=2，a=．∴該長方體的體積V=abc=2．應(yīng)選：B．9．函數(shù)y=2x﹣x2的圖象大致是〔〕A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的交點的個數(shù)就是方程的解的個數(shù)，也就是y=0，圖象與x軸的交點的個數(shù)，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分別畫出函數(shù)f〔x〕=2x〔紅色曲線〕和g〔x〕=x2〔藍(lán)色曲線〕的圖象，如下圖，由圖可知，f〔x〕與g〔x〕有3個交點，所以y=2x﹣x2=0，有3個解，即函數(shù)y=2x﹣x2的圖象與x軸由三個交點，故排除B，C，當(dāng)x=﹣3時，y=2﹣3﹣〔﹣3〕2＜0，故排除D應(yīng)選：A10．下面四個命題中的真命題是〔〕A．命題“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0〞的否認(rèn)是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0〞B．命題“假設(shè)x2=1，那么x=1〞的否命題為“假設(shè)x2=1，那么x≠1〞C．采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同學(xué)參加活動，學(xué)號為5、16、27、38、49的同學(xué)均被選出，那么該班人數(shù)可能為60D．在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N〔1，σ2〕〔σ＞0〕，假設(shè)X在〔0，1〕內(nèi)取值的概率為0.3，那么X在〔0，2〕內(nèi)取值的概率為0.6【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】寫出命題“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0〞的否認(rèn)可判斷A錯誤；寫出命題“假設(shè)x2=1，那么x=1〞的否命題可判斷B錯誤；利用系統(tǒng)抽樣原理及特點可判斷C錯誤；利用正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，經(jīng)過運算可判斷D正確．【解答】解：對于A，命題“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0〞的否認(rèn)是：“?x≥2，使得x2﹣3x+2＜0〞，∴A錯誤；對于B，命題“假設(shè)x2=1，那么x=1〞的否命題為“假設(shè)x2≠1，那么x≠1〞，∴B錯誤；對于C，采用系統(tǒng)抽樣法從某班按學(xué)號抽取5名同學(xué)參加活動，學(xué)號為5、16、27、38、49的同學(xué)均被選出，那么該班人數(shù)不會超過55〔分段間隔為11〕，不可能為60，∴C錯誤；對于D，在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N〔1，σ2〕〔σ＞0〕，假設(shè)X在〔0，1〕內(nèi)取值的概率為0.3，那么由正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，故P〔0＜X＜2〕=2P〔0＜X＜1〕=2×0.3=0.6，即X在〔0，2〕內(nèi)取值的概率為0.6，∴D正確．應(yīng)選：D．11．=〔cos2x，﹣1〕，=〔1，sin2x+sin2x〕〔x∈R〕，假設(shè)f〔x〕=?，那么函數(shù)f〔x〕的最小值為〔〕A．﹣2 B．0 C．﹣ D．﹣1【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】運用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和二倍角的余弦公式，以及兩角和的余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由=〔cos2x，﹣1〕，=〔1，sin2x+sin2x〕〔x∈R〕，那么f〔x〕=?=cos2x﹣sin2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=2〔cos2x﹣sin2x〕=2cos〔2x+〕，由x∈R，可得2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z時，f〔x〕取得最小值﹣2．應(yīng)選：A．12．在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E為CD的中點．假設(shè)，那么AB的長為〔〕A． B． C． D．1【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】用表示出，利用數(shù)量積運算公式列出方程即可求出AB．【解答】解：∵ABCD是平行四邊形，E為CD的中點，∴，=，∴=〔〕?〔〕==1．又，=1×AB×cos30°=AB，=AB2，∴1﹣AB2+AB=1，解得AB=或AB=0〔舍〕．應(yīng)選C．二、填空題13．拋物線y=x2，那么其準(zhǔn)線方程是y=﹣2．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解準(zhǔn)線方程即可．【解答】解：拋物線y=x2，的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=8y，那么其準(zhǔn)線方程是：y=﹣2．故答案為：y=﹣2．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，假設(shè)M〔x，y〕為D上的動點，點A的坐標(biāo)為〔2，1〕，那么的最大值為7．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，令z==2x+y，化為y=﹣2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣2x+z過B〔2，3〕時，z有最大值為2×2+3=7．故答案為：7．15．f〔x〕=x+在區(qū)間[1，4]上的最小值為n，那么二項式〔x﹣〕n展開式中x2的系數(shù)為15．【考點】二項式定理的應(yīng)用；根本不等式．【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性，即可得出最小值．再利用二項式定理的通項公式即可得出．【解答】解：f′〔x〕=1﹣=，x∈[1，4]．令f′〔x〕=0，解得x=3．∴x∈[1，3]時，函數(shù)f〔x〕單調(diào)遞減；x∈〔3，4]時，函數(shù)f〔x〕單調(diào)遞增．∴x=3時，函數(shù)f〔x〕取得最小值6．∴的通項公式：Tr+1==〔﹣1〕rx6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2．∴二項式〔x﹣〕n展開式中x2的系數(shù)為=15．故答案為：15．16．函數(shù)y=f〔x〕為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有f〔1+x〕=﹣f〔1﹣x〕．當(dāng)x∈〔2，3〕時，f〔x〕=log2〔x﹣1〕，給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于點〔k，0〕〔k∈Z〕成中心對稱；②函數(shù)y=|f〔x〕|是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)x∈〔﹣1，0〕時，f〔x〕=﹣log2〔1﹣x〕；④函數(shù)y=f〔|x|〕在〔k，k+1〕〔k∈Z〕上單調(diào)遞增．其中所有正確結(jié)論的序號為①②③．【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和f〔1+x〕=﹣f〔1﹣x〕，求出函數(shù)的周期，再由所給的解析式和周期性，求出函數(shù)在一個周期性的解析式，再畫出函數(shù)在R上的圖象，由圖象進(jìn)行逐一判斷．【解答】解：令x取x+1代入f〔1+x〕=﹣f〔1﹣x〕得，f〔x+2〕=﹣f〔﹣x〕∵函數(shù)y=f〔x〕為奇函數(shù)，∴f〔x+2〕=f〔x〕，那么函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，設(shè)0＜x＜1，那么2＜x+2＜3，∵當(dāng)x∈〔2，3〕時，f〔x〕=log2〔x﹣1〕，∴f〔x〕=f〔x+2〕=log2〔x+1〕，設(shè)﹣1＜x＜﹣0，那么0＜﹣x＜1，由f〔x〕=﹣f〔﹣x〕得，f〔x〕=﹣log2〔﹣x+1〕，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象：由上圖得，函數(shù)y=f〔x〕的圖象關(guān)于點〔k，0〕〔k∈Z〕成中心對稱；且函數(shù)y=|f〔x〕|的圖象是將y=f〔x〕的圖象在x軸下方的局部沿x軸對稱過去，其他不變，那么函數(shù)y=|f〔x〕|是以2為周期的周期函數(shù)；故①②③正確，而函數(shù)y=f〔|x|〕=，那么圖象如下列圖：由圖得，圖象關(guān)于y軸對稱，故y=f〔|x|〕在〔k，k+1〕〔k∈Z〕上不是單調(diào)遞增的，故④不正確，故答案為：①②③．三、解答題17．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且=〔b，﹣a〕，=〔sinA，cosB〕，⊥．〔1〕求角B的大??；〔2〕假設(shè)b=3，c=2a，求a，c的值．【考點】余弦定理；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】〔1〕利用⊥時?=0，列出等式，再利用正弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出B的值；〔2〕根據(jù)余弦定理，結(jié)合題意列出方程組，即可求出a、c的值．【解答】解：〔1〕=〔b，﹣a〕，=〔sinA，cosB〕，且⊥，∴?=bsinA﹣acosB=0，即bsinA=acosB；由正弦定理得sinBsinA=sinAcosB；又A∈〔0，π〕，∴sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=；又B∈〔0，π〕，∴B=；〔2〕由B=，且b=3，c=2a，根據(jù)余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+4a2﹣2a?2a?cos，解得a=或a=﹣〔不合題意，舍去〕；∴a=，c=2a=2．18．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．〔Ⅰ〕求證：AA1⊥BC；〔Ⅱ〕求平面CA1B1與平面A1B1C1的夾角的大小．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】〔Ⅰ〕因為四邊形AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC．因為平面ABC⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的性質(zhì)；〔Ⅱ〕推導(dǎo)出∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角，由此能求出平面CA1B1與平面A1B1C1的夾角的大?。窘獯稹孔C明：〔Ⅰ〕因為四邊形AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC．因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，所以AA1⊥平面ABC．解：〔Ⅱ〕因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB．又因為AC⊥AB，所以AB⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1，A1B1⊥A1C，所以∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角．由題意得tan∠C1A1C==1，所以二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角為45°．19．私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實施了機動車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行〞的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表：年齡〔歲〕[15，25〕[25，35〕[35，45〕[45，55〕[55，65〕[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634〔Ⅰ〕完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；〔Ⅱ〕假設(shè)從年齡在[55，65〕，的被調(diào)查者中各隨機選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的2人中贊成“車輛限行〞的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】〔Ⅰ〕由得各組的頻率分別是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，分別除以10可得圖中各組的縱坐標(biāo)，由此能作出被調(diào)查人員的頻率分布直方圖，如圖．〔Ⅱ〕由表知年齡在[55，65〕內(nèi)的有5人，不贊成的有2人，因此X=0，1，2．根據(jù)P〔X=k〕=即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕由得各組的頻率分別是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴圖中各組的縱坐標(biāo)分別是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被調(diào)查人員的頻率分布直方圖，如右圖：〔Ⅱ〕由表知年齡在[55，65〕內(nèi)的有5人，不贊成的有2人，因此X=0，1，2．那么P〔X=k〕=，可得P〔X=0〕=，P〔X=1〕=，P〔X=0〕=．可得X的分布列：X012PE〔X〕=0+=．20．橢圓C：〔a＞b＞0〕，其焦距為2，點P〔1，〕在橢圓C上．〔Ⅰ〕求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：y=mx+t〔m∈R〕，使得?=0成立？假設(shè)存在，求出實數(shù)t的取值范圍，假設(shè)不存在，請說明理由．【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】〔Ⅰ〕由題意可得c=1，再由點P〔1，〕在橢圓C上．，可得a=2，b=，進(jìn)而得到a，即可得到橢圓方程；〔Ⅱ〕設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕聯(lián)立得〔3+4m2〕x2+8tmx+4t2﹣12=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合條件能求出實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：〔Ⅰ〕由橢圓C的焦距2c=2，解得c=1，∵點P〔1，〕在橢圓C上，∴，解得a2=4，b2=3∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：．〔Ⅱ〕設(shè)A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕聯(lián)立得〔3+4m2〕x2+8tmx+4t2﹣12=0．△=〔8tm〕2﹣4〔3+4m2〕〔4t2﹣12〕＞0，化簡得3+4m2＞t2．x1+x2=，x1x2=，假設(shè)?=0成立，所以x1x2+y1y2=0．x1x2+〔mx1+t〕〔mx2+t〕=0，〔1+m2〕x1x2+tm〔x1+x2〕+m2=0，化簡得7t2=12+12m2．代入3+4m2＞t2中得．有∵7t2=12+12m2≥12，∴t2≥，即，或t．∴存在實數(shù)t，使得?=0成立，實數(shù)t的取值范圍為〔﹣]∪[，+∞〕．21．函數(shù)f〔x〕=lnx﹣x﹣3．〔Ⅰ〕求函數(shù)f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕求證：ln〔22+1〕+ln〔32+1〕+ln〔42+1〕+…ln〔n2+1〕＜1+2lnn!〔n≥2，n∈N*〕【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】〔I〕判斷f〔x〕的單調(diào)性，從而計算f〔x〕的最大值；〔II〕根據(jù)f〔x〕在〔1，+∞〕上單調(diào)遞減可得f〔x〕＜﹣4，化簡得ln〔x〕＜x﹣1，利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算ln〔22+1〕+ln〔32+1〕+ln〔42+1〕+…ln〔n2+1〕﹣2lnn!，根據(jù)f〔x〕的單調(diào)性化簡，再使用不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=1，∴當(dāng)0＜x＜1時，f′〔x〕＞0，當(dāng)x＞1時，f′〔x〕＜0，∴f〔