函數(shù)的平均變化率 課件

函數(shù)的平均變化率微積分主要與四類問題的處理相關(guān):一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具。例子:

假設(shè)下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標(biāo)系。A是出發(fā)點(diǎn)，H是山頂。爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示。H

自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y=f(x)表示此時(shí)旅游者所在的高度。想想看，如何用數(shù)量表示此旅游者登山路線的平緩及陡峭程度呢？某旅游者從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，假設(shè)這段山路是平直的。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，自變量x的改變量為x1－x0，記作△x，函數(shù)值的改變量為y1－y0，記作△y，即△x=x1－x0，△y=y1－y0，假設(shè)向量對(duì)x軸的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，容易看出于是此人從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的位移可以用向量來表示，顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對(duì)值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比的絕對(duì)值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩?，F(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？一個(gè)很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的。例如，山坡DE可近似的看作線段DE，再用對(duì)平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻畫。注意各小段的是不盡相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均變化都可以用起點(diǎn)、終點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值來度量。由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。平均變化率的概念：一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).則當(dāng)△x≠0時(shí)，商稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。進(jìn)一步理解：1.式子中△x、△y的值可正、可負(fù)，但的△x值不能為0，△y

的值可以為0；2.若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，△y=0；

3.變式:例1．求函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率。解：函數(shù)y=x2在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率為例2．求函數(shù)在區(qū)間[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均變化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函數(shù)的平均變化率為由上式可以看出，當(dāng)x0取定值時(shí)，△x取不同的值，函數(shù)的平均變化率不同，當(dāng)△x取定值，x0取不同的值時(shí)，該函數(shù)的平均變化率也不一樣。例如，x0取正值，并不斷增大時(shí)，該函數(shù)的平均變化率也不斷地增大，曲線變得越來越陡峭。例3．已知函數(shù)f(x)=－x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(－1,－2)及臨近一點(diǎn)B(－1+△x,－2+△y),則

．3－△x練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x由x0改變到x0+△x時(shí)，函數(shù)的改變量為（）A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0

)

·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D2.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=1－2t2，則在一段時(shí)間[1，2]內(nèi)的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C3.將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加△R，則球的表面積增加△S等于（）A．B．

C．D．B4.在曲線y