三角函數(shù)的發(fā)展歷史

WordWord三角學(xué)的起源與發(fā)展三角學(xué)之英文名稱Trigonometry，約定名于公元1600年，實際導(dǎo)源于希臘文trigono（三角）和metrein（測量），其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。早期的三角學(xué)是天文學(xué)的一部份，后來研究范圍逐漸擴(kuò)大，變成以三角函數(shù)為主要對象的學(xué)科?，F(xiàn)在，三角學(xué)的研究范圍已不僅限于三角形，且為數(shù)理分析之基礎(chǔ)，研究實用科學(xué)所必需之工具。西方的發(fā)展三角學(xué)〔Trigonometry〕創(chuàng)始于公元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識，主要用于測量。例如建筑金字塔、整理尼羅河泛濫后的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學(xué)者泰勒斯（p13）利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀(jì)后希臘天文學(xué)家希帕霍斯（Hipparchusof20。巳。）為了天文觀測的需要，作了一個和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的「弦表」，即在固定的圓內(nèi)，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學(xué)的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學(xué)之父」的稱謂。公元2世紀(jì)，希臘天文學(xué)家數(shù)學(xué)家托勒密（Ptolemy）（85-165）繼承希帕霍斯的成就，加以整理發(fā)揮，著成《天文學(xué)大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價于三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式，被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作。約同時代的梅內(nèi)勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學(xué)的著作《球面學(xué)》，內(nèi)容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質(zhì)。他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時期。（二）中國的發(fā)展我國古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念，只用勾股定理解決了一些三角學(xué)范圍內(nèi)的實際問題。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法后來稱為「重差術(shù)」。1631西方三角學(xué)首次輸入，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國學(xué)者徐光啟（p20）合編的《大測》為代表。同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。1653年薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以「三角」取代「大測」，確立了「三角」名稱。1877年華蘅煦等人對三角級數(shù)展開式等問題有過獨立的探討?，F(xiàn)代的三角學(xué)主要研究角的特殊函數(shù)及其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，如幾何計算等，多發(fā)展于20世紀(jì)中。貳、三角函數(shù)的演進(jìn)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（Trigonometricfunction）。盡管三角知識起源于遠(yuǎn)古，但是用線段的比來定義三角函數(shù)，是歐拉(pl6)(1707-1783)在《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前，研究三角函數(shù)大都在一個確定半徑的圓內(nèi)進(jìn)行的。如古希臘的托勒密定半徑為60;印度人阿耶波多(約476-550)定半徑為3438;德國數(shù)學(xué)家里基奧蒙特納斯(1436-1476)為了精密地計算三角函數(shù)值曾定半徑600,000;后來為制訂更精密的正弦表又定半徑為1。7。因此，當(dāng)時的三角函數(shù)實際上是定圓內(nèi)的一些線段的長。意大利數(shù)學(xué)家利提克斯(1514-1574)改變了前人的做法，即過去一般稱AB為16的正弦，把正弦與圓牢牢地連結(jié)在一起(如下頁圖)，而利提克斯卻把它稱為NAOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓。成為從屬地位了。稱此定理為正弦定理。正弦定理是由伊朗著名的天文學(xué)家阿布爾臧發(fā)(940-998)首先發(fā)現(xiàn)與^明的。中亞細(xì)亞人阿爾比魯尼〔973-1048〕215)給三角形的正弦定理作出了一個^明。也有說正弦定理的^明是13世紀(jì)的那希爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學(xué)作為獨立的學(xué)科進(jìn)行論述，首次清楚地論^了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。這是區(qū)別球面三角與平面三角的重要標(biāo)志。至此三角學(xué)開始脫離天文學(xué)，走上獨立發(fā)展的道路。托勒密(ClaudiusPtolemy)的《天文學(xué)大成》第一卷除了一些初級的天文學(xué)資料之外，還包括了上面講的弦表:它給出一個圓從(2)°到180°每隔半度的所有圓心WordWord.角所對的弦的長度。圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位，以六十進(jìn)制制表達(dá)。這樣，以符號crda表示圓心角^所對的弦長，例如crd36°=37p4'55”,意思是：36°圓37 4心角的弦等于半徑的60-（或37個小部分），加上一個小部分的60一，再加上一個小部55分的3600，從下圖看出，弦表等價于正弦函數(shù)表，因為sina=ABABcrd2xOA圜0的直^120公元6世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多制作了一個第一象限內(nèi)間隔°人和希臘人的習(xí)慣，將圓周分為360sina=ABABcrd2xOA圜0的直^120公元6世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多制作了一個第一象限內(nèi)間隔°人和希臘人的習(xí)慣，將圓周分為360度，每度為60分，整個圓周2nr=216000,得出r=3438〔近似值〕，然后用勾股定理先算出30°MAB21600451的正弦表，依照巴比倫然后據(jù)45°、90°的正弦玄之后，再用半角公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3°45'的正弦長表；；?用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近于現(xiàn)代正弦概念。印度人還用到正矢和余弦，并給出一些三角函數(shù)的近似分?jǐn)?shù)式。.正切、余切著名的敘利亞天文學(xué)、數(shù)學(xué)家阿爾一巴坦尼〔850-929〕于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切［cotangent］表。公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行歷》。為了求得全國任何一地方一年中各節(jié)氣的日影長度，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應(yīng)表，而太陽天頂距和日影長度的關(guān)系即為正切〔tangent〕函數(shù)。而巴坦尼編制的是余切函數(shù)表，而太陽高度〔角〕和太陽天頂距〔角〕互為余角，這樣兩人的發(fā)現(xiàn)實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世紀(jì)中葉，中亞細(xì)亞的阿魯伯〔1393-1449〕，原是成吉思汗的后裔，他組織了大規(guī)模的天文觀測和數(shù)學(xué)用表的計算。他的正弦表精確到小數(shù)9位。他還制造了30°到45°之間相隔為1'，45°到90°的相隔為5'的正切表。在歐洲，英國數(shù)學(xué)家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁〔1290？-1349〕首先把正切、余切引入他的三角計算之中。.正割、余割正割〔secant〕及余割〔cosecant〕這兩個概念由阿布爾Word一威發(fā)首先引入。 sec這個略號是1626年荷蘭數(shù)基拉德〔1595-1630〕在他的《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用才得以通行。正割、余割函數(shù)的現(xiàn)代定義亦是由歐拉給出的。歐洲的「文藝復(fù)興時期」，［14世紀(jì)-16世紀(jì)〕偉大的天文學(xué)家哥白尼〔1473-1543〕提倡地動學(xué)說，他的學(xué)生利提克斯見到當(dāng)時天文觀測日益精密，認(rèn)為推算更精確的三角函數(shù)值表刻不容緩。于是他定圓的半徑為1。⑸以制作每隔10”的正弦、正切及正割值表。當(dāng)時還沒有對數(shù)，更沒有計算機(jī)。全靠筆算，任務(wù)十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志，勤奮工作達(dá)12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學(xué)生鄂圖〔1550-1605〕完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯〔1561-1613〕又修訂了利提克斯的三角函數(shù)表，重新再版。后來英國數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，這就大大地簡化了三角計算，為進(jìn)一步造出更精確的三角函數(shù)表創(chuàng)造了條件。.三角函數(shù)符號毛羅利科早于1558年已采用三角函數(shù)符號，但當(dāng)時并無函數(shù)概念，于是只稱作三角線（什igonom一什iclin一s）。他以sinusImQrcus表示正弦,以sinus2marcus表示余弦。而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他于1583年創(chuàng)立以“tong一nt”（正切）及“s一cant”（正割）表示相應(yīng)之概念其后他分別以符號“sin."，“ton.”，“s一c.”，“"，“"，“s一”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三個符號與現(xiàn)代之符號相同。后來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發(fā)展變化。使用者年代正弦余弦正切余切正割余割備注羅格蒙格斯1622S.R.T.(Tang)T.cjplSecSec.Compl吉拉爾1626tansec.杰克1696s.cos.t.cot.sec.cosec.歐拉1753sin.cos.tag(tg).cot.sec.cosec謝格內(nèi)1767sin.cos.tan.cot.1巴洛1814sincos.tan.cot.seccosec1施泰納1827tgII皮爾斯1861sincos.tan.cotallseccosec奧萊沃爾1881sincostancotseccsc1申弗利斯1886tgctgII萬特沃斯1897sincostancotseccsc1舍費(fèi)爾斯1921sincostgctgseccscII注：l-現(xiàn)代（歐洲）大陸派三角函數(shù)符 II-現(xiàn)代英美派三角函數(shù)符號我國現(xiàn)正采用1類三角函數(shù)符號。1729年，丹尼爾?伯努利是先以符號表示反三角函數(shù)，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At表示反正切，一年后又以Asin”表示于單位圓上正弦值相等于J的弧。c b11772年，。申費(fèi)爾以arc.tang.表示反正切；同年，拉格朗日米以arc3m1 表示反正ILX弦函數(shù)。1776年，蘭伯特則以arc.sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數(shù)。其后這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現(xiàn)今通用之符號，如arcsinx,arccosx等。于三角函數(shù)前加arc表示反三角函數(shù)，而有時則改以于三角函數(shù)前加大寫字母開頭Arc,以表示反三角函數(shù)之主值。另一較常用之反三角函數(shù)符號如sin-1x,tan-1x等，是赫謝爾于1813年開始采用的，把反三角函數(shù)符號與反函數(shù)符號統(tǒng)一起來，至今亦有應(yīng)用。三、三角函數(shù)的和差化積公式下列公式.D門.A+B.A-BcosZi-cosd=-2sin---sm---..nn/l+B.Bsinh一sin8=2cos---sin---A+BA-BTOC\o"1-5"\h\zcosZl+cosg=2cd6 cos ,2 2..?n.X+BA~BsinA+sind=2sin cos f2 2稱為三角函數(shù)的和差化積公式。法國著名數(shù)學(xué)家韋達(dá)〔1540-1603〕（p18）在他的著名的三角學(xué)著作《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》中收集并WordWord整理了有關(guān)三角公式并給予補(bǔ)充，其中就有他給出的恒等式：sin4-sin5=2cosA+B,sin4-sin5=2cosA+B,A-B【后記】三角函數(shù)名稱的由來和補(bǔ)充想知道為何三角函數(shù)要叫做sin,cos這些名字嗎？經(jīng)過了多方的查取資料,想知道為何三角函數(shù)要叫做sin,cos這些名字嗎？經(jīng)過了多方的查取資料,找到了下圖:sinO=mpsinO=mpCOS0=OMtan0=atcot6=bssec0=otcsc9=osvers6=就covers6=nbexsecS=pt⑴正弦(si啕(2鷹弦(cusine)(3)正切(tangent)(4海切(tmangem)⑸正割(梵cant)⑹雄割(sgecant)⑺正矢(代rsine)岱)繪矢(versedcosine)(exsecant)上面這個圖稱為三角圓（半徑=1）,是用圖形的方式表達(dá)各函數(shù)。其中我們可以看到，sine為PM線段，也就是圓中一條弦（對20圓周角）的一半，所以稱為「正弦」。而8S0是OM線段，但OM=NP,故我們也可以將cose視為/NOP（90。-0）的正弦值，也就是0的余角的正弦值，故稱之為「余弦」。其余類推。另外，除了課本中教的六種三角函數(shù)外，我們還查到了其他的三角函數(shù)，如上圖中的verse,cov一rse和一xs一C0。事實上，在歷史上曾出現(xiàn)過的三角函數(shù)種類超過十種呢！但最后只剩下這六種常用的。其他的還有如半正矢（have）x古德曼函數(shù)和反古德曼函數(shù)等?！狙a(bǔ)充：小歷史】大部分的三角函數(shù)一開始都是由于天文上的需要而造出來的。在三角函數(shù)傳入中國時，正、余矢函數(shù)還未廢棄，故徐光啟將八種三角函數(shù)稱為「八線」。后來因為矢類函數(shù)廢棄不用，故八線之名漸被「三角」取代，但統(tǒng)一的名稱還是到了民國以后才確立的。ifWI.ill泰勒斯〔TalesofMiletus〕約公元前625-前547,古希臘ifWI.ill古希臘哲學(xué)家、自然科學(xué)家。生于小亞細(xì)亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學(xué)學(xué)派一伊奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人，他幾乎涉獵了當(dāng)時人類的全部思想和活動領(lǐng)域，被尊為『希臘七賢』之首。而他更是以數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)而出名的第一人。他認(rèn)為處處有生命和運(yùn)動，并以水為萬物的本源。泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的劃時代貢獻(xiàn)是開始引入了命題證明的思想，它標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從經(jīng)驗上升到理論。這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于：保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；揭露各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個嚴(yán)密的體系，為進(jìn)一步發(fā)展打下基礎(chǔ)；使數(shù)學(xué)命題具有充份的說服力，令人深信不疑。數(shù)學(xué)自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學(xué)。證明命題是希臘幾何學(xué)的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學(xué)的先驅(qū)。在幾何學(xué)中，下列的基本成果歸功于他：圓被任一直徑所平分；等腰三角形的兩底角相等；兩條直線相交，對頂角相等；已知三角形兩角和夾邊，三角形即已確定；對半圓的圓周角是直角；相似三角形對應(yīng)邊成比例等等。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認(rèn)識。在天文學(xué)中他曾精確地預(yù)測了公元前585年5月28日發(fā)生的日食，還可能寫過《航海天文學(xué)》一書，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。阿爾-比魯尼al-Biruni〔973-1050〕

比魯尼生于今烏茲別克的一個城市，畢生從事科學(xué)研究和寫作，共寫了大約146部著作，但留傳至今的只有22部。按已知其頁數(shù)的著作估算，比魯尼寫出的手稿當(dāng)有13000頁之多，當(dāng)中幾乎涉及到當(dāng)時所有科學(xué)領(lǐng)域，如天文學(xué)、歷史學(xué)、地理學(xué)、數(shù)學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、藥物學(xué)、氣象學(xué)等。比魯尼特別偏重于那些易受數(shù)學(xué)影響的學(xué)科，其大部份之著作均是天文學(xué)和占星術(shù)有關(guān)。他在數(shù)學(xué)的應(yīng)用，尤其在數(shù)學(xué)的傳播、東西方數(shù)學(xué)的交流方面，做出了突出的貢獻(xiàn)。歐拉(EulerLeonhard,1707-1783)歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾，1783年9月18日于俄國的彼得堡去逝。歐拉出生于牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué)。在上大學(xué)時，他已受到約翰第一.伯努利的特別指導(dǎo)，專心研究數(shù)學(xué)，直至18歲，他徹底的放棄當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，于19歲時（1726年）開始創(chuàng)作文章，并獲得巴黎科學(xué)院獎金。1727年，在丹尼爾?伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學(xué)院從事研究工作。并在1731年接替丹尼爾第一?伯努利，成為物理學(xué)教授。1735年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請到德國科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長一職。他在柏林期間，大大的擴(kuò)展了研究的內(nèi)容，如行星運(yùn)動、剛體運(yùn)動、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。1766年，他應(yīng)俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明。但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作。他通過與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的最后一刻。

歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，我們現(xiàn)在習(xí)以為常的數(shù)學(xué)符號很多都是歐拉所發(fā)明介紹的，例如：函數(shù)符號f（x）、圓周率TT、自然對數(shù)的底一、求和符號lxlogx.sinx、cosx以及虛數(shù)單位i等。喬治西蒙曾稱他為數(shù)學(xué)界的莎士比亞。韋達(dá)FrancoisV也怕（1540-1603）法國數(shù)學(xué)家。亦譯維埃特。因其著作均用拉丁文發(fā)表，故名字當(dāng)用拉丁文拼法，譯為韋達(dá)（Vilta）。1540年生于普瓦圖地區(qū)豐特奈-勒孔特，1603年12月13日卒于巴黎。早年在普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律