一類拋物線與多直線相交的中考?jí)狠S題解法

一類拋物線與多直線相交的中考?jí)狠S題解法張佑勝舒新詠翁先蘭縱觀近十年來(lái)全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題，大多數(shù)是以拋物線為背景的綜合性問(wèn)題.這類問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，解法靈活，是對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的綜合考查，具有較好的區(qū)分度和選拔功能.因此，很多考生不知所措，望而卻步！本文選取近年來(lái)幾例武漢市中考或調(diào)考數(shù)學(xué)壓軸題，探討一類拋物線與多直線相交問(wèn)題的解題通法與教學(xué)啟示先看幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1（2022武漢中考?jí)狠S題第（3）問(wèn)）如圖1,AMNE的頂點(diǎn)M,N在拋物線y=x2上，點(diǎn)M在N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點(diǎn)，ME,NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設(shè)M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n，求m與n的數(shù)量關(guān)系口圖1圖2圖3問(wèn)題2（2022武漢中考?jí)狠S題第（3）問(wèn)）如圖2,拋物線y二ax2+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方，直線PA,PB與y軸分別交于E,F兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OFOC是否為定值？問(wèn)題3（2022武漢中考?jí)狠S題第（3）問(wèn)）如圖3,將拋物線y=x2+4x+3平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)Q（0,3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E,F兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸的負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)P,使APEF的內(nèi)心在y軸上？問(wèn)題4（2022武漢元調(diào)壓軸題第（3）問(wèn)）如圖4,拋物線y=x2+（1-m）x-m交x軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)E(m,2)作一直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn)，連接AP,AQ分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，求證：OM?ON是一個(gè)定值口問(wèn)題5(2022武漢四調(diào)壓軸題第(3)問(wèn))如圖5,點(diǎn)C為拋物線y=12x2-3x+92的頂點(diǎn)，直線y二kx(k>0)與拋物線相交于A，D兩點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)A的下方)，若B是拋物線上點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，直線BD交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求證：PC二CM圖4圖5這些都是拋物線與多直線相交的壓軸題,類似的,還有很多,不一一列出.為了有效的解決這類問(wèn)題,先看如下基本命題基本命題：直線l與拋物線y二ax2+bx+c交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB，則直線l的解析式是y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxBD略證：設(shè)直線l：y=mx+n,聯(lián)立y=ax2+bx+c,y=mx+n,得ax2+(b-m)x+c-n=0,所以xA+xB二m-ba,xA?xB二c-na,所以m=a(xA+xB)+b,n二c-axAxB,口所以直線l：y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxB推論直線l與拋物線y=ax2+bx+c有唯一公共點(diǎn)A,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA,則直線l的解析式是y=(2axA+b)x+c-ax2A運(yùn)用上述基本命題及推論,我們可以按照統(tǒng)一的思維方式,有效地解決上述一類拋物線與多直線相交的壓軸題.現(xiàn)從問(wèn)題1至問(wèn)題5中選3個(gè)簡(jiǎn)解如下問(wèn)題1簡(jiǎn)解作EH〃y軸交MN于H,由前面基本命題可得：口NE：y=2nx-n2,ME：y=2mx-m2,MN：y=(m+n)x-mn,聯(lián)立y=2nx-n2,y=2mx-m2，解得xE=m+n2,yE=mn,口所以SAMNE=12HE?(m-n)=12[(m+n)?m+n2-mn-mn](m-n)=14(m-n)3=2，所以m-n=2問(wèn)題2簡(jiǎn)解由前面基本命題可得：PA：y=[a(xA+xP)+c]x+c-axAxP，PB：y=[a(xB+xP)+c]x+c-axBxP，因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，所以xA+xB=0，所以O(shè)E+OF二(-c+axA?xP)+(-c+axB?xP)口=-2c+a(xA+xB)xP=-2c=2OC，所以0E+0F0C=2問(wèn)題4簡(jiǎn)解由x2+(1-m)x-m=0，得x1=-1,x2=m,□所以A(-1，0)，由前面基本命題可得：PQ：y=(xP+xQ+1-m)x-m-xPxQ，AQ：y=(-1+xQ+1-m]x-m+xQ，AP：y=(-1+xP+1-m]x-m+xP，因?yàn)辄c(diǎn)E(m,2)在直線PQ上,□所以2=(xP+xQ+1-m)m-m-xPxQ，所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，所以O(shè)M?ON=|-m+xP|?|-m+xQ|口=|m2-m（xP+xQ）+xPxQ|=2口點(diǎn)評(píng)在上述解法中，都是選取拋物線與直線交點(diǎn)（公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)為參數(shù)，表達(dá)直線解析式y(tǒng)二kx+b中的k與b,進(jìn)而表示出各條直線的解析式，順利地解決相關(guān)問(wèn)題.為了以后稱呼的方便，不妨將這種解法冠名為“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”3.上述幾個(gè)問(wèn)題除了運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”外，每個(gè)問(wèn)題都有自身獨(dú)有的解法.但對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言，面對(duì)一個(gè)個(gè)獨(dú)特的解題方法，猶如一盤散沙，不知所云，難以駕馭，再遇到類似的問(wèn)題時(shí)依然是束手無(wú)策.運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，對(duì)于“拋物線與多直線相交”的一類問(wèn)題，都可以順利解決.且看如下一例問(wèn)題6拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,平移直線BC分別交拋物線圖6于M,N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），若拋物線上存在一定點(diǎn)P（P與M不重合），使得ZPMN-ZPNM=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)口簡(jiǎn)解如圖6,過(guò)P作PH丄y軸于H,設(shè)PM交y軸于點(diǎn)D所以ZMDO=ZNEO,□所以EH=HD,所以yD+yE=2yP由前面基本命題可得：PN：y=(2-xp-xN)x+xPxN+3，PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，因?yàn)镸N〃BC,□所以2-xM-xN=-l,所以xM+xN=3,口所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，又2yP=2（-x2P+2xP+3），所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，口所以點(diǎn)P（12,154）□點(diǎn)評(píng)對(duì)于問(wèn)題6，筆者曾請(qǐng)就讀于985高校的幾個(gè)往屆學(xué)生來(lái)做，四人中只有一人解答出來(lái)了，可見(jiàn)本題殺傷力還是有點(diǎn)大.運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”能夠較為順利地解決，就在于這種方法選取的參數(shù)少，每個(gè)參數(shù)之間又易于建立關(guān)聯(lián)問(wèn)題6除了運(yùn)用上述“通法”外，至少還有兩種特殊方法.第一種方法：在證明了等腰三角形PDE后，構(gòu)造以PM和PN為斜邊的兩個(gè)直角三角形相似，進(jìn)而建立點(diǎn)P,M，N坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo).這種構(gòu)造方法對(duì)于初中生來(lái)講，難度就有點(diǎn)大，難以把握.第二種方法，運(yùn)用高中知識(shí)，在證明了等腰三角形PDE后，得出直線PM和PN的斜率之和為零，建立等量關(guān)系求解對(duì)于“拋物線與多直線相交”一類問(wèn)題，運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，都可以順利解決.下面不妨提供幾個(gè)練習(xí)問(wèn)題問(wèn)題7拋物線y=-x2+1的頂點(diǎn)M在y軸上，與x軸交于A,B兩點(diǎn)圖7圖8如圖7，若向上平移直線y=12x交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，直線BPBQ分別交y軸于C,□D兩點(diǎn)，求OC+OD的值如圖8,直線y=-2x+b與拋物線交于P,Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AP,AQ分別交y軸于C,D兩點(diǎn)，求證:OC=OD.□問(wèn)題8如圖9，已知A(-2，t)為拋物線y=14x2上一點(diǎn)，B(-2，3),P為點(diǎn)A左側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA交直線y=-x-3于點(diǎn)M，直線PB交拋物線于點(diǎn)N,連接MN，求證：AB〃MN圖9圖10圖11問(wèn)題9已知直線y二kx-2k+3(k#0)與拋物線y=a(x-2)2(a>0)相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))口不論k取何值，直線y二kx-2k+3必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);如圖10，已知B，C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=a(x-2)2的對(duì)稱軸對(duì)稱.當(dāng)a=12時(shí)，口求證：直線AC必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn);如圖11，拋物線y二a(x-2)2的頂點(diǎn)記為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE丄x軸，垂足為E，與直線BD交于點(diǎn)F，求線段EF的長(zhǎng).教學(xué)啟示1.數(shù)學(xué)是人類思維的體操，在培養(yǎng)人的聰明才智方面起著巨大的作用.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中除了要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能外，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力貫穿在教學(xué)的全過(guò)程已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：要真正打好基礎(chǔ)，有兩個(gè)必經(jīng)的過(guò)程即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過(guò)程.“由薄到厚”是學(xué)習(xí)、接受的過(guò)程，“由厚到薄”是消化、提煉的過(guò)程.筆者認(rèn)為，多題一解，使眾多一大類問(wèn)題，在統(tǒng)一簡(jiǎn)單的思維方式下便可獲得解題思路，是讓學(xué)